קפיצים

exercise 3_3510

מערכת קפיצים

נתונה מערכת של \( N \times M \) מסות מחוברות בקפיצים ברשת מלבנית בגודל \( A \times B \) ומסביבה מסגרת קשיחה. קבועי הקפיץ שונים בכל ציר \( (K_x, K_y) \) . אנחנו נתעניין בתנודות קטנות של המסות בציר \( z \) (מאונך לרשת).


1. מהו יחס הנפיצה ואופני התנודה של המערכת?
2. נסמן את הקואורדינטה של כל מסה ע"י \( (n_x, n_y) \) המתארת את מספר המסה בכל ציר. ברגע \( t=0 \) מקנים לכל מסה תזוזה בכיוון \( z \) הניתנת ע"י: \( h(n_x,n_y) = h_0 \cos\left(\frac{\pi n_x}{N}\right) \sin\left(\frac{2\pi n_x}{N}\right) \sin\left(\frac{\pi n_y}{M}\right) \)
מהי צורת הרשת בזמן \( t \) ?

נתונה רשת דומה, אינסופית, ללא גבולות עם אותם קבועי קפיץ כמו במקרה הסופי. נעבוד בגבול שבו המרחק בין שכנים קרובים הוא קטן מאוד ביחס לאורך הגל (גבול הרצף).

3. מהו היחס הנפיצה במקרה זה?
4. נתון כי בזמן \( t=0 \) נע על הרשת פולס שמרכזו בראשית צירים שרירותית (הרשת אינסופית אז לא משנה איפה שמים את הראשית):
\( h(x,y) = h_0 e^{-(x^2+y^2)/a^2}e^{i(px+qy)} \)
כאשר \( p,q \) הם מספרי גל חיוביים וגדולים ביחס ל \( 1/a \) מהי צורת הרשת בכל זמן \( t>0 \) ?
מספיק לרשום ביטוי אינטגרלי (אין צורך לפתור את האינטגרל )