תנודות של ממברנה מלבנית

exercise 3_3505

ממברנה מלבנית בעלת מתיחות אחידה ליחידת אורך T ומםה ליחידת שטח \( \rho \) מבצעת תנודות קטנות בניצב למישור x-y . אורך צלעות הממברנה a ו- b , והיא אחוזה בכל ארבע שפותיה.

  1. מהן התדירויות העצמיות של הממברנה?
  2. שרטטו את האזורים בהם הממברנה לא זזה, כאשר היא בתדירות העצמית הנמוכה ביותר, המעוררת הראשונה והמעוררת השנייה.
  3. הניחו כעת כי הממברנה ריבועית: a=b .
    • הראו כי ישנן תדירויות המתאימות לשני אופני תנודה שונים.
    • האם יש תדירויות המתאימות לשלושה אופני תנודה שונים? (התשובה היא כן - מצאו אחת כזו לפחות ושרטטו את האזורים בהם הממברנה לא זזה במקרה הזה)
    • נתון כי תנודות הממברנה במקרה מסוים הן הסכום של שני אופני התנודה בעלי התדירות \( \omega^2 = 5 \frac{\pi^2}{a^2}\frac{T}{\rho} \) . לשני אופני התנודה אותה אמפליטודה ופאזה. מצאו ושרטטו את "קווי הצומת" (הקווים שלאורכם הממברנה אינה זזה).
    • כנ"ל לגבי התדירות \( \omega^2 = 10 \frac{\pi^2}{a^2}\frac{T}{\rho} \) .