שדה מגנטיזציה

exercise 3_3408


תנודות מגנטיזציה במישור \( x-y \) של גביש מגנטי מתוארות ע"י הפונקציה הוקטורית \( \vec{M}(x,y,t)=M_x(x,y,t)\hat{x}+M_y(x,y,t)\hat{y} \) , המקיימת את מערכת משוואות הגלים, מסדר ראשון, המצומדות:

\( i\frac{\partial{M_x}}{\partial t}=v\frac{\partial{M_y}}{\partial x}-\mu M_x\quad \quad\quad\quad -i\frac{\partial{M_y}}{\partial t}=v\frac{\partial{M_x}}{\partial y}-\mu M_y\quad \)
כאשר \( \mu, v \) קבועים.
1. הראו שהפונקציות: \( M_x(x,y,t), M_y(x,y,t) \) מקיימות כל אחת בנפרד משוואת גלים מהצורה: \( \frac{\partial^2{M}}{\partial t^2}=A\frac{\partial^2{M}}{\partial x\partial y}-B M \) . מהם \( A, B \) ?
2. מצאו את יחס הנפיצה שצריך להתקיים כך שהפונקציה ההרמונית \( \vec{M}(x,y,t)=\vec{M}_0 e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t\right)} \) תהיה פתרון של מערכת המשוואות ( \( \vec{M}_0 \) הוא וקטור קבוע ) .
מצאו ביטוי ליחס האמפליטודות ולהפרש הפאזה בין \( M_x \) , \( M_y \) .
3. מצאו את מהירות הפאזה ומהירות החבורה (כוקטורים) במישור.
(שימו לב כי ההגדרה של מהירות פאזה כוקטור היא בעייתית לרוב ורק גודל מהירות הפאזה הוא פרמטר מוגדר היטב אשר מתאר את ה"קושי" של הגל להתקדם בתווך הספציפי, או לחילופין את קצב השינוי של הפאזה. במקרים מסוימים , כמו כאן, ניתן לפרק את קצת השינוי הזה לרכיבים נפרדים וכך להגדיר וקטור)