masses on a ring

exercise 3_2912
נתונות שתי מערכות, האחת בעלת שתי מסות זהות והאחרת בעלת שלוש מסות זהות מסודרות בצורה סימטרית כפי שמתואר. בכל אחד מהמקרים הקפיצים זהים בעלי קבוע k והמסות הן m . בנוסף נתון כי המסות והקפיצים יכולים לנוע באופן חופשי על פני מסילות מעגליות.
pic

א) כתבו את משוואות התנועה ומצאו את המודים ואת התדירויות העצמיות עבור כל אחת מהמערכות. שימו לב שבשני המקרים צריכה להיות תדירות עצמית אפס (למה?)

ב) מצאו את המודים והתדירויות העצמיות עבור כל מערכת, ע"י שימוש בסימטריה של המערכת בצורה הבאה:
1. כתבו את משוואות התנועה בצורה \( \ddot{\vec{X}} = - A \vec{X} \)
2. מצאו את פעולת הסימטריה בצורת מטריצת \( S \) כך שיתקיים \( AS = SA \) .
3. חשבו את הוקטורים העצמיים של מטריצת הסימטריה.

האם קיבלתם אותם מודים בשתי השיטות? למה?