Periodic Boundary conditions

exercise 3_2206


נתונה מערכת של N מסות m, בחד מימד, במרחק מנוחה של a זו מזו. המסות השכנות מחוברות ביניהן בקפיץ, כמו כן המסות מחוברות בקפיץ למוט קשיח ומקובע, שאינו יכול לנוע, כמתואר בשרטוט. קבוע הקפיץ בין המסות למוט הוא \( K_1 \) וקבוע הקפיץ בין המסות הוא \( K_2 \) . אורך המנוחה של הקפיצים הוא \( a_0 \) . נתון כי \( a>a_0 \) . המסות יכולות לנוע רק בכיוון האנכי (y בציור). התעלמו מכח הכובד. הניחו תנאי שפה מחזוריים, כלומר המסה הראשונה מחוברת למסה ה N-ית בקפיץ \( K_2 \) .




א) כתבו את משוואת הכוחות עבור כל מסה ומצאו את אופני התנודה במערכת. כלומר את הוקטורים העצמיים והתדירויות העצמיות של המטריצה המתארת את צימוד המסות.


ב) (סעיף רשות) חזרו על הסעיף הקודם למקרה שבו מנתקים את המסה הראשונה מהמסה ה N-ית (כלומר מבטלים את תנאי השפה המחזוריים) , אך המערכת עדיין נשארת סופית. נסו לנחש פתרון אשר יקיים את תנאי השפה החדשים. שימו לב שהפתרון צריך להיות מחזורי גם בזמן וגם במקום.