Home Exercise 7 - Dispersion, Fourier Analysis

שאלה 1    פוריה של אקספוננט
< 3_1305>

טרנספורם פוריה של אקספוננט דועך

מצאו את התמרת הפוריה של הפונקציה: \( f(x) =e^{-a|x|} \) כאשר \( a>0 \)



שאלה 2    רוחב חבילת גלים בזמן ובתדר
< 3_3409>

נניח שיש לנו חבילת גלים \( \psi\left(t\right)=Ae^{i\omega_{0}t}\sum_{m=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}e^{i\frac{m\Delta\omega t}{N-1}} \) שמורכבת מסכום \( N \) גלים בעלי אמפליטודות זהות \( A \) אך תדירויות שונות \( \omega_{m}=\omega_{0}+\frac{m\Delta\omega}{N-1} \) ו \( m=-\frac{N-1}{2},-\frac{N+1}{2},...,\frac{N-1}{2} \) , \( \omega_{0},\Delta\omega \) קבועים בעלי יחידות של תדירות זוויתית . כלומר החבילה שלנו מורכבת מגלים בעלי תדר סביב \( \omega_0 \) כאשר רוחב החבילה בתדר \( \Delta\omega \) .
א . הסבר בעזרת ציור (מעגל היחידה) ומתמטיקה מהו רוחב חבילת הגלים בזמן ?
ב . איזה יחס מינימאלי מתקיים בין הרוחב בזמן לרוחב בתדר ?
ג . הסבר בצורה אינטואיטיבית (תוך שימוש בשפה של התאבכות) מה בעצם קורה .

שאלה 3    מהירות פאזה ומהירות חבורה
< 3_3400>

עבור גלי אור, מגדירים את מקדם השבירה להיות \( n=\frac{c}{v_\phi} \) כאשר v φ מהירות הפאזה. נתון \( n^2=1-\frac{\omega_{0}^2}{\omega^2} \) .
א) הראה\י כי \( \omega^2=\omega_0^2+c^2k^2 \) (שים/י לב כי k יכול להיות מרוכב).
ב) עבור המקרה \( \omega>\omega_0 \) , מהי מהירות הפאזה ומהירות החבורה עבור גלים אלה?
ג) הראה/י שבתדירויות \( \omega\geq\omega_0 \) מתקיים \( v_g\leq{c}\leq{v_\phi} \) .
ד) מהו תחום התדירויות הזוויתיות ω , שבו \( k^2 \) הוא שלילי? מה היא המשמעות ? מה יקרה לגל בעל \( None \) שלילי?

שאלה 4    חבילת גלים
< 3_3403>

נתונה חבילת הגלים הבאה \( a(k)=\left\{\matrix{1,&|k-k_0|\le k_1\\ 0,& |k-k_0|> k_1}\right. \) .
באשר \( k_0, \; k_1 \) הם קבועים כך ש- \( k_0 \gg k_1 \) .
הנח כי יחס הנפיצה \( \omega(k) \) סביב \( k_0 \) נתון בקירוב טוב ע"י שני האיברים הראשונים בפיתוח טיילור \( \omega(k)\approx\omega_0+\alpha(k-k_0) \) .
מצא את ההתפתחות בזמן של חבילת הגלים הנ"ל.
זהה את מהירות החבורה ומהירות הפאזה באיזה מהירות מתקדמת חבילת הגלים?