Home Exercise 12 - Hydrogen Atom

שאלה 1    אטום המימן
< 3_4330>

פונקציית גל של אלקטרון באטום המימן במצב היסוד היא
\( \Psi(r)= \frac{1}{\pi^{1/2}a_0^{3/2}}e^{-r/a_0} \)
כאשר \( a_0 \) הוא הרדיוס של בוהר.
1) בדוק את נרמול הפונקציה (שים לב שאלמנט הנפח הוא \( d^3r =4\pi r^2 dr \) כאשר \( 4\pi \) נובע מאינטגרל על זוויות).
2) מה הסיכוי של האלקטרון להיות במרחק r הגדול מרדיוס בוהר?
3) מה הסיכוי של האלקטרון להיות בתוך הגרעין, כאשר רדיוס הגרעין \( 6.686\cdot 10^{-15} m \) ? (ניתן לפתח \( e^{-2r/a_0}\approx 1-\frac{2r}{a_0} \) )
4) מהי פונקציית מצב יסוד עבור אלקטרון יחיד באטום כשמטען הגרעין הוא Ze?
5) חשב את ממוצע האנרגיה הפוטנציאלית והשווה לתוצאה המתאימה של מודל בוהר. \( <U(r)>=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 a_0} \)


שאלה 2    אטום המימן ועקרון אי הוודאות
< 3_4346>

נתונה פונקציית הגל של אלקטרון במצב היסוד של אטום המימן:
\( \psi\left(r\right)=\frac{1}{\pi^{1/2}a_{0}^{3/2}}e^{-r/a_{0}} \)
הראה כי עבור פונקציית גל זו מתקיים עקרון אי הוודאות, בין אי הודאות במקום ובתנע ע“פ השלבים הבאים :
א. נמק ע“י שימוש בסימטריה של הבעיה מדוע ערכי התצפית של מיקום האלקטרון בצירים השונים מתאפסים, \( \left\langle x\right\rangle =\left\langle y\right\rangle =\left\langle z\right\rangle =0 \) וכן ערכי התצפית של התנע בכיוונים השונים מתאפסים \( \left\langle p_{x}\right\rangle =\left\langle p_{y}\right\rangle =\left\langle p_{z}\right\rangle =0. \)
ב. חשב את ממוצע המרחק בריבוע \( \left\langle r^{2}\right\rangle \) .
ג. השתמש בהגדרת אופרטור התנע בריבוע בהצגת המקום ( שאנחנו מכירים ממשוואת שרדינגר ) \( \hat{p}^{2}=-\hbar^{2}\nabla^{2} \) לחישוב ממוצע ריבוע התנע של האלקטרון \( \left\langle p^{2}\right\rangle \)
רמז : השתמש ב \( \nabla^{2} \) בקואורדינאטות כדוריות ( ניתן למצוא בויקיפדיה ) .
ד. נמק מדוע \( \left\langle x^{2}\right\rangle =\left\langle y^{2}\right\rangle =\left\langle z^{2}\right\rangle =\frac{1}{3}\left\langle r^{2}\right\rangle \) ו \( \left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =\left\langle p_{y}^{2}\right\rangle =\left\langle p_{z}^{2}\right\rangle =\frac{1}{3}\left\langle p^{2}\right\rangle \)
ה. על פי הסעיפים הקודמים חשב את \( \Delta x,\Delta y,\Delta z \) ו \( \Delta p_{x},\Delta p_{y}\Delta p_{z} \) והראה כי \( \Delta x\Delta p_{x}=\Delta y\Delta p_{y}=\Delta z\Delta p_{z}\geq\frac{\hbar}{2} \) .

שאלה 3    mixed infinite well state
< 3_4913>



חלקיק בבור פוטנציאל ברוחב L
החלקיק נמצא במצב \( \phi=A\phi_1+\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_3+\frac{1}{\sqrt{3}}\phi_4 \)
אנחנו כבר יודעים מהן האנרגיות והמצבים העצמיים
א. מהו A?
ב. מהו ממוצע ואי ודאות באנרגיה?
ג. מהו ממוצע המיקום במצב מעורב זה? (אנחנו למדנו איך עושים את זה עבור מצב עצמי,אבל האם זה באמת משנה?)