Home Exercise 11 - Transmission and Reflection of Wavefunction

שאלה 1    פוטנציאל מדרגה
< 3_4327>

נתון פוטנציאל המתואר ע"י:

\( V(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & \mbox{ if } \quad x > 0\\ V_0 & \mbox{ if } \quad 0>x\\ \end{array} \right. \)

נתון חלקיק בעל מסה m עם פונקציית גל מהצורה \( Ae^{-ikx} \) הפוגע מימין במחסום פוטנציאל.

א. מהי אנרגיית החלקיק \( E \)
ב. כתוב צורת הפתרון ל x>0 (כולל גל חוזר) ואת הצורה ל x<0 עבור מקרים בו \( E>V_0 \) וגם \( 0<E<V_0 \) .

ג. כתוב את מקדם ההחזרה והעברה עבור שני המקרים

ד. השווה את סעיף ב לצפוי לחלקיק בתורה הקלאסית.


שאלה 2    מחסום ריבועי
< 3_4325>

נתון מחסום פוטנציאל המתואר ע"י:

\(V(x)=\begin{cases} 0 & x<0\\ V_{0} & 0<x<L\\ 0 & x>L \end{cases}\)

חלקיק בעל מסה \( m \) ואנרגייה \( E \) הנע משמאל לימין מגיע למחסום
א. הראה כי \( e^{ikx} \) הינו נע ימינה וכי \( e^{-ikx} \) נע שמאלה.

ב. איך נראת פונקציית הגל בכל אחד מהתחומים באנרגיה נמוכה מגובה המחסום?

ג. השתמש בתנאי שפה וכדי לקבל סט משוואות סגורות המתארות את הקבועים של הבעיה (אין צורך לפתור)

ד. הראה שכאשר האקספוננט החיובי באיזור המחסום זניח סיכוי המינהור הוא קטן, מה הם התנאים לכך? ומהו סיכוי למנהור במקרה כזה?
נתון כי סיכוי המנהור הוא \( T\sim \frac{|\psi(L)|^2}{|\psi(0)|^2} \)


שאלה 3    חלקיק בבור חצי אינסופי
< 3_4345>

נתון חלקיק בעל מסה \( m \) הנע בפוטנציאל מהצורה \(U\left(x\right)=\begin{cases} \infty & x>0\\ 0 & 0<x<d\\ V_{0} & x>d \end{cases}\)
המתאר בור פוטנציאל חצי אינסופי. אנרגיית החלקיק מקיימת \( V_0 > E > 0 \)
א. כתוב את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן בתוך הבור ומימין לבור. השתמש במשתנים \( k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \) ו \( \alpha=\frac{\sqrt{2m\left(V_{0}-E\right)}}{\hbar} \) .
מהם פתרונות המשוואה בכל איזור? הסבר מדוע הפתרון מימין לבור חייב להיות מתואר רק על ידי אקספוננט דועך .
ב. מהם תנאי השפה שפונקציית הגל צריכה לקיים? הראה כי מתקיים הקשר הבא בין \( \alpha \) ל \( k \) :
\( k\cot\left(kd\right)=-\alpha \)
הסבר כיצד ניתן למצוא את האנרגיות העצמיות והמצבים העצמיים של החלקיק ( כלומר כתוב את המשוואות שצריך לפתור כדי למצוא את כל המקדמים בפונקציית הגל ואת האנרגייה, אין צורך לפתור את המשוואות ) .
ג. בהנחה שיש יותר מפתרון אחד אפשרי עבור \( E \) , שרטט גרף סכמטי של צפיפות ההסתברות עבור שני המצבים העצמיים בעלי האנרגיות הכי נמוכות. הסבר מה ההבדלים העיקריים בין שני המצבים שציירת ( רמז: מה ההבדל במספר הגל בתוך הבור? מה ההבדל במרחק הדעיכה מימין לבור? איך זה בא לידי ביטוי בגרפים ? )