Home Exercise 10 - Schrodinger Equation and Wave Functions

שאלה 1    Wavefunction normalization
< 3_4302>

נתונה פונקציית הגל הבאה הבאה:
\( None \)
א) מצא\י את \( a \) ע"י נרמול הפונקציה.

ב) מצא\י את פונקציית צפיפות ההסתברות \( p(x) \) .

ג) מהי ההסתברות למצוא את \( x \) בתחומים הבאים:

  • \( -9 < x < 1 \)
  • \( x \geq 1 \)
  • \( x < 0 \)
  • \( -6\leq x\leq -5 \)

    ד) מהי התוחלת של \( x \) ?


  • שאלה 2    Particle in a symmetric well
    < 3_4305>

    נתון חלקיק שמסתו \( m \) הנמצא בבור פוטנציאל אינסופי הבא:
    \(V\left(x\right)=\begin{cases} 0 & -\frac{d}{2}<x<\frac{d}{2}\\ \infty & \text{else} \end{cases}\)

    א. מצא/י פונקציות עצמיות \( \psi_n(x) \) וערכים עצמיים של אנרגיית החלקיק.

    ב. איך משתנה ההפרש בין רמות אנרגיה כאשר משנים את רוחב הבור \( d \) ?

    ג. האם לפונקציות העצמיות יש זוגיות מוגדרת? אם כן, האם היא תלויה ב \( n \) ?

    ד. מצא/י את ערכי התוחלת של \( x \) עבור מצב עצמי מסוים.


    שאלה 3    Free Particle on a Ring
    < 3_4303>

    נתון מודל חד מימדי לחלקיק חופשי הכלוא על טבעת באורך \( L \) . נרשום את משוואת שרדינגר לחלקיק חופשי במימד אחד ונדרוש את תנאי השפה:

    \( \psi(x,t) = \psi(x+L,t) \) .

    א) הראה\י שפתרונות מהצורה \( \varphi_n(x,t) = A_{n} e^{-i(\omega_{n} t-k_{n}x)} \) מהווים פתרונות לבעיה בתנאי ש \( k_n = \frac{2\pi}{L} n \) . מצא\י את יחס הנפיצה \( \omega_n(k_n) \) . והראה\י שמתקיים \( \omega_{n}=\omega_{-n} \) .

    ב) מצא\י את \( A_n \) .

    ג) הראה\י שהפתרונות שהוגדרו מהווים בסיס אורתונורמלי \( \int_{0}^{L}\varphi_{n} \varphi^{*}_{m}dx = \delta_{n m} \) .

    ד) נגדיר מצב חדש \( \psi_1(x,t) = C\varphi_{1}+D\varphi_{2} \) . הראה\י שגם מצב זה מהווה פתרון למשוואת שרדינגר. מצא תנאי על \( C \) ו \( D \) בכדי שהמצב יהווה מצב קוונטי תקין.

    ה) בהנתן תנאי התחלה \( \psi(x,0) = f(x) \) , מצא\י דרך לחשב את המקדמים \( C_n \) .

    ו) הכלל את התנאי מסעיף (ד) למצב כללי של המערכת \( \psi(x,t) = \sum_{n}{C_{n}\varphi_{n}} \) .