Home Exercise 1 - Math Intro

שאלה 1    Derivatives
< 1_1500>

Calculate the first and second derivatives of the following function:
  1. \( f(x) = \frac{1+x}{1-x} \)
  2. \( f(x) = x^2 e^{8x+\cos x} \)
  3. \( f(x) = 8(x\ln x-x)^3 \)
  4. \( f(x) = x^x \)

שאלה 2    Differential Matching
< 1_1600>

Match the following differential equations:
a) \( y''(t)=\omega^2 y(t) \)
b) \( y''(t)=-\omega^2 y(t) \)
c) \( y'(t)=-\omega y(t) \)
d) \( y'(t)=\omega y(t) \)
e) \( y'(t)=-2\omega^2 t y(t) \)
f) \( y''(t)=-c_1 t^{-2} \)

with the following specific solutions:

i) \( 7\sin(\omega t) \)
ii) \( 17e^{\omega t} \)
iii) \( c_1e^{-\omega t} \)
iv) \( c_1\ln(\omega t) \)
v) \( c_1e^{-(\omega t)^2} \)
vi ) \( 2e^{i\omega t} \)
vii) \( 0 \)

Here,
\( i\equiv \sqrt{-1} \) is the imaginary unit, and c 1 and \( \omega \) are constants.
Note: there are equations/solutions with more than one solution/equation.

שאלה 3    Taylor Expansion
< 1_1904>

Expand the following functions to the 4th order using the Taylor expansion. Take x << 1:

a. \( f(x)=\sin(x) \)
b. \( f(x)=\cos(x) \)
c. \( f(x)=e^x \)
d. \( f(x)=\ln(1+x) \)
e. \( f(x)=(1+x)^\alpha \)

Show explicit calculations. A final answer alone will not be accepted!

שאלה 4    זהות טריגונומטרית
< 1_1204>


השתמש בזהויות
\(\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\quad,\quad\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)
בכדי להוכיח את הזהות הטריגונומטרית הבאה:
\(a\cos\theta+b\sin\theta=c\cos\left(\theta+\phi\right)\)
כאשר \(a,b,c,\phi\) קבועים ממשיים.
בטא את \(c,\phi\) בעזרת \(a,b\)

שאלה 5    לכסון מטריצה
< 3_1907>

עבור המטריצה הבאה:
\( A=\left(\begin{array} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array} \right) \)
א. מצא ערכים עצמיים
ב. מצא ווקטורים עצמיים.


שאלה 6    Euler's Formula
< 3_1908>

הוכח את נוסחת אויילר \( e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \) עבור \( \theta \) ממשי. השתמש בפיתוח לטור טיילור סביב \( \theta=0 \) (טור מקלורן) של כל אגף בנוסחה והראה כי הטורים זהים.