Home Exercise 1 - Units and Vectors

שאלה 1    וקטורים ויחידות
< 1_1104>

נתונים הוקטורים \( \bar{\mbox{A}} \) , \( \bar{\mbox{B}} \) .

כך ש
\( |{\bar{A}}|=12 [Newton] \ \ \ \alpha=0 \ [Rad] \)
\( |{\bar{B}}|=20[Newton] \ \ \ \beta=\pi \ [Rad] \)

\( \alpha \) היא הזוית של הוקטור \( \bar{\mbox{A}} \) ביחס לכיוון החיובי של ציר ה \( x \)
\( \beta \) היא הזוית של הוקטור \( \bar{\mbox{B}} \) ביחס לכיוון החיובי של ציר ה \( x \)

א. חשבו \( \bar{\mbox{C}}=\bar{\mbox{A}}+\bar{\mbox{B}} \) תנו את התשובה \( \bar{\mbox{C}} \) ברכיביו וגם בגודל ובכיוון.
ב. המירו את התשובה ל \( [Dyne] \) .

היחידות של \( [Newton] \) הן \( \frac{kg \times meter}{sec^2} \) . ניוטון הוא יחידה לכח במערכת היחידות SI, (הנקראת גם MKS).

של \( [Dyne] \) הן \( \frac{gram \times centimeter}{sec^2} \) . דין הוא יחידה לכח במערכת היחידות CGS

שאלה 2    מעבר יחידות
< 1_1108>


:אדם נאלץ ליטול תרופה לפי המרשם הבא
קח טיפה אחת עבור כל 15 פאונד של משקל גוף כפול מנה ארבע פעמים ביום.
.על בקבוק התרופה כתוב שהוא מכיל 8 גרם של חומר פעיל ובבקבוק נשארה חצי מהכמות של הנוזל
עוד ידוע לך שבכפית יש 64 טיפות וכיוון שבביתך יש רק כפות כף אחת זהה בכמות לזו של 3 כפיות. בנוסף גרם אחד של חומר פעיל נכנס לתוך 2 כפות נוזל.

לכמה ימים יספיק לך הבקבוק אם ידוע לך שמשקלך הוא 128 פאונד?


שאלה 3    משפט הקוסינוסים
< 1_1401>

הוכיחו את משפט הקוסינוסים בעזרת חשבון וקטורי. (למשל חיבור/חיסור וקטורים, מכפלה סקלרית)

\( \large b^2=a^2+c^2-2ac\cos\theta \)

A triangle of vectors


שאלה 4    Vector algebra
< 1_1402>

Given two vectors, \( \vec{V} \) and \( \vec{W} \) , with norms, v and w respectively. The angle between them is \( \phi \)
a) Find the norm of the vector \( \vec{V} \) - \( \vec{W} \) , i.e. \( | \vec{V}-\vec{W}| \) .
b) Find the angle \( \psi \) between the vectors \( \vec{V}-\vec{W} \) and \( \vec{V} \) .
c) Calculate (a) and (b) for:     v=12 w=9     and \( \phi=0 , \frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} , \pi \)
d) Draw the vectors \( \vec{V} \) , \( \vec{W} \) and \( \vec{V}-\vec{W} \) for \( \phi=\frac{\pi}{6} \) .

שאלה 5    וקטורים
< 1_1407>

נתונים שלושה ווקטורים : \( \vec a=2\hat i-2\hat j -\hat k \) , \( \vec b=6\hat i-3\hat j +2\hat k \) , \( \vec c=4\hat i-1\hat j +3\hat k \)
א.חשבו את האורך של כל ווקטור.
ב.מהי הזווית בין הווקטור \( \vec a + \vec b + \vec c \) לבין כל אחד מהווקטורים \( \vec a, \vec b,\vec c \) ?
ג.האם הווקטורים יוצרים משולש ?

שאלה 6    Trigo functions
< 1_1201>

Find the value of the two trigonometric functions \( \sin \theta \) and \( \cos \theta \) for the following angles
  1. \( \ 0^{\circ} \)
  2. \( \ 30^{\circ} \)
  3. \( \ 45^{\circ} \)
  4. \( \ 60^{\circ} \)
  5. \( \ 90^{\circ} \)
All the angles are given in degrees, you may check your answer with a calculator. Hint: draw a right triangle and use Pythagoras theorem.

שאלה 7    Trigo proofs
< 1_1202>

Proof the following identities,
  1. \( \ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos \alpha \sin \beta \)
  2. \( \ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin \alpha \sin \beta \)
  3. \( \ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \)

Hint: Use Pythagoras theorem and the following diagrams