Exercises in Physics 3 - latest additions


CONTRIBUTIONS/e_60_1_026.html sol

מערכות בדידות

נתונות שתי מסות m המחוברות ביניהן בקפיץ k, ומחוברות לקירות בעזרת שני קפיצים בעלי קבוע k גם כן.
ברגע ההתחלה, שתי המסות משוחררות ממנוחה, כאשר מסה אחת מוזזת למרחק a_0 (לאורך הקפיץ) ביחס לנקודת שיווי המשקל.
  1. מהן התדירויות העצמיות ומהם הוקטורים העצמיים?
  2. מהו המיקום של שתי המסות?
  3. חזור על הסעיף הקודם עבור תנאי התחלה בהם שתי המסות משוחררות ממנוחה ושתיהן מוזזות למרחק a_0 באותו הכיוון.
  4. חזור על שני הסעיפים הראשונים במקרה שקבוע הקפיץ שמחבר בין שתי המסות הוא 'k. מה קורה הקפיץ הזה חלש מאוד?

CONTRIBUTIONS/e_60_1_027.html sol

Coupled pendulums

Consider a linear array of coupled pendulums (motion in the z direction, lengths l, masses M, springs constant K and the equilibrium distance between the masses a) driven periodically with \omega^2 < g/l at z=0 and attached to a rigid wall at z=L. Show that if \Psi(z=0,t) = A_0\cos\omega t, then \Psi(z,t) = A(z)\cos\omega t where A(z) = A_0 \frac{\exp(-\kappa z) - \exp(-\kappa L)\exp(-\kappa(L-z))}{1-\exp(-2\kappa L))} and \kappa^2 = \frac{M}{K a^2}\left(\frac{g}{l}-\omega^2\right).
Notice that for L\to \infty this becomes simply A(z) = A_0 \exp(-\kappa z).

CONTRIBUTIONS/e_60_1_028.html sol

מערכת בדידה אינסופית


נתונים טור ארוך מאד של \mu _s = 0.3 מסות \mu _s = 0.3 שוות בגודלן המחוברות אחת לשנייה בקפיצים זהים \mu _s = 0.3 . המסה הימנית הקיצונית מואלצת לנוע בתנועה מחזורית בתדירות \mu _s = 0.3 ובאמפליטודה \mu _s = 0.3.  קבלו ביטוי לאמפליטודת ההתנועה של מסה בנקודה כללית \mu _s = 0.3.

עבור :

א. המסה השמאלית ביותר מחוברת לקיר.
ב. המסה השמאלית ביותר לא מחוברת כלל.
ג. המסה השמאלית ביותר מואלצת לנוע בתדירות \mu _s = 0.3 ובאמפליטודה זהה, כאשר זוית המופע בין 2 הכוחות אפס.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_801.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_802.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_803.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_805.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_808.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_810.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_811.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_822.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_823.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_824.html
CONTRIBUTIONS/e_60_1_826.html
CONTRIBUTIONS/e_60_2_001.html

הקדמה


מצא/י את יחס האי וודאות גל גל המתקדם במרחב (כפונקציה של x)

CONTRIBUTIONS/e_60_2_002.html

הקדמה

מצא/י את התמרת פורייה של הפונקציות הבאות:
א)  a^b \frac{\partial p}{\partial x} בתחום  a^b \frac{\partial p}{\partial x}
ב)  a^b \frac{\partial p}{\partial x}
ג) את הפונקציה:


CONTRIBUTIONS/e_60_2_003.html

הקדמה

נתונים האופרטורים הבאים: 
a^b \frac{\partial p}{\partial x}     a^b \frac{\partial p}{\partial x}    a^b \frac{\partial p}{\partial x}       
א) האם מטריצות אלה אוניטריות?
ב) נתונים הוקטורים  a^b \frac{\partial p}{\partial x}a^b \frac{\partial p}{\partial x} . וקטורים אלו מהווים ו"ע של איזה מהאופרטורים?

CONTRIBUTIONS/e_60_2_004.html

Frank - Hertz

בניסוי Frank – Hertz עם מימן אטומי נמצאו נפילות זרם במתחים  10.21V ו-12.1V
א) מהן רמות האנרגיה המתאימות (במימן) לנפילות זרם? מהי האנרגיה של כל רמה?
ב) הסבר/י מדוע נפלטת קרינה ב-3 אנרגיות שונות.

CONTRIBUTIONS/e_60_2_005.html

הקדמה

מצא/י את התמרת פורייה של הפונקציות הבאות:
א)  a^b \frac{\partial p}{\partial x}
ב)  a^b \frac{\partial p}{\partial x}

CONTRIBUTIONS/e_60_2_006.html

הקדמה

תכונותהים של מטריצות אוניטריות הם: a^b \frac{\partial p}{\partial x}
הראה/י כי  a^b \frac{\partial p}{\partial x}  אוניטרית


CONTRIBUTIONS/e_60_4_051.html sol

אופני תנודה

סמסטר א', מועד א', תשנ"ט

מצאו את אופני התנודה של מערכת המסות המתוארת בציור, כאשר המסות יכולות לנוע רק בכיוון האנכי, בהנחת תנודות קטנות.

בזמן \mu _s = 0.3 הזיזו את המסה התחתונה מרחק \mu _s = 0.3 כלפי מעלה מנקודת שיווי המשקל שלה, ושחרר את המערכת ממנוחה, מה תהיה תנועת כל אחת מהמסות לאחר מכן?

fig


CONTRIBUTIONS/e_60_4_052.html

תנודות

מיתר (צפיפות ρ, מתיחות T_0 ) באורך L תפוס בשני קצותיו. בזמן t=0  צורתו ישרה והמיתר מקבל מכה בקטע שאורכו 2a שמרכזו ב- x=c. המכה מקנה למיתר בקטע זה מהירות התחלתית v_0 . מצא את צורת המיתר בכל זמן.

CONTRIBUTIONS/e_60_4_053.html

מטען בקו תמסורת

הראו כי בקו התמסורת שבשרטוט המשוואה למטען הינה זהה למשוואת הזרם שהתקבלה בהרצאה.

\mu _s = 0.3

fig


CONTRIBUTIONS/e_60_8_001.html

A Pendulum

A pendulum is made of a uniform disk with radius 10.3 cm and mass
488g, attached to a 52.4 cm long uniform rod with mass 272 g. (a)
Calculate the rotational inertia of the pendulum about the pivot.
(b) What is the distance between the pivot and the center of mass
of the pendulum? (c) Calculate the small angle period of oscillation.
figure

CONTRIBUTIONS/e_60_8_002.html

A Particle in Simple Harmonic Motion

A 12.3 kg particle is in simple harmonic motion with an amplitude
of 1.86 mm. The maximum acceleration the particle has is $7.93km/s^{2}$.
(a) Find the period of the motion. (b) What is the maximum speed of
the particle? (c) Calculate the total mechanical energy of the oscillator.

CONTRIBUTIONS/e_60_8_003.html

An Object Attached To a Bottom of a Vertical Spring

A 5.22 kg object is attached to the bottom of a vertical spring and
made to vibrate. The maximum speed of the object is 15.3 cm/s and
the period is 645 ms. Find (a) the force constant of the spring, (b)
the amplitude of the motion, and (c) the frequency of oscillation.

CONTRIBUTIONS/e_60_8_004.html

Two Blocks and a Spring

Two blocks (m=1.22 kg and M=8.73 kg) and a spring (k=344 N/m) are
set on a table with no friction. The cofficient of static friction
between the blocks is 0.42. Find the maximum possible amplitude of
the simple harmonic motion if there is no slipping between the blocks.
figure

CONTRIBUTIONS/e_60_8_005.html

Block Connected to a Spring

An oscillator is made of a block of mass 512 g connected to a spring.
When it oscillates with amplitude 34.7 cm, it repeats its motion ever
0.484 s. Find (a) the period, (b) the frequency, (c) the angular frequency,
(d) the force constant, (e) the maximum speed, (f) the maximum force
exerted on the block.

CONTRIBUTIONS/e_60_8_006.html

Object Moves on a Frictionless Table

A 5.13-kg object moves on a frictionless table, because it is attached
to a spring with force constant 9.88 N/cm. The object is displaced
53.5 cm and given an initial velocity of 11.2 m/s back toward the
equilibrium position. Find (a) the frequency of the motion, (b) the
initial potential energy of the system, (c) the initial kinetic energy
and (d) the amplitude of the motion.

CONTRIBUTIONS/e_60_8_007.html

A Block is Hung from a Spring

A 4.00 kg block is hung from a spring with a force constant of 5.00
N/cm. A 50.0 g bullet is fired into the block from below with a speed
of 150 m/s and comes to rest in the block. (a) What is the amplitude
of the resulting simple harmonic motion?

(b) What fraction of the original kinetic energy of the bullet appears
as mechanical energy in the oscillator?

CONTRIBUTIONS/e_60_8_008.html

A Bullet Strikes a  Block Attached to a Spring

A block of mass M, at rest on a horizontal, frictionless table, is
attached to a spring with force constant K. A bullet with mass m and
speed v strikes the block. The bullet remains stuck in the block.
What is the amplitude of the resulting simple harmonic motion, in
terms of m, M, v, and k.
e_60_8_008_p.JPG

CONTRIBUTIONS/e_60_8_009.html

An Object Hangs from a Spring

A 2.14 kg. object hangs from a spring. A 325-g object hung below it
stretches the spring another 1.80 cm. The second (325 -g) object is
taken away and the second one is set into oscillation. Find the period
of the motion.

CONTRIBUTIONS/e_60_8_010.html

A Block Attached to a Spring

An oscillator is made of a block attached to a spring (K = 456 N/m).
At some time t, the position (measured from the equilibrium location),
velocity and acceleration of the block are x=0.112m,v_{x}=-13.6m/s,a_{x}=-123m/s^{2.}Calculate
(a) the frequency, (b) the mass of the block, and (c) the amplitude
of oscillation.

CONTRIBUTIONS/e_63_1_016.html sol

Parallel-plate transmission line

Show that the self-inductance of a parallel-plate transmission line (see the figure) is given by \frac{L}{a} = \frac{4\pi g}{c^2 w} for alternating current as well as for steady current, as long as the wavelength is long compared with the plate thickness d_0. You can use the Ampere's law as your starting point and see the discussion in Sec. 4.2, Berkeley Vol. 3.
pic
Fig. : The driving force (not shown) provides a potential difference V(t) between the plates at z=0 and furnishes the current I(t) which (at any instant) is going out in the +z direction onto one plate and returning in the -z direction on the other. The dimension a is an arbitrary length along the z direction, taken to be small compared with the wavelength of the traveling waves.

CONTRIBUTIONS/e_63_1_017.html sol

Irreversible impedance matching

Consider a coaxial transmission line having 50 ohm characteristic impedance which is joined to one having 100 ohm characteristic impedance.
  1. How can you insert an ordinary resistor so that an incident pulse traveling from the 50 ohm line is transmitted without generating any reflected pulse. We want to know how many ohms the resistance has, and we want a schematic sketch showing the center conductor and outer conductor of each of the lines at the place where they join and showing the resistors connected. (Do not worry about "distributing" the resistor. If the wavelengths are long compared with the diameter of the cable, there is no need to distribute the resistance.)
  2. What is the size of the transmitted pulse? (Suppose a +10-volt pulse is incident.)
  3. Now suppose a +10-volt pulse is sent down this line in the other direction, i.e. from the 100 ohm line to the 50 ohm line. What happens? Find the reflected and transmitted pulse heights.
  4. Next consider the problem of transmitting a pulse from the 100 ohm line to the 50 ohm line without generating any reflection. What should be the resistance value and how should it be connected at the place where the lines are joined? What is the pulse height transmitted if +10 volts is inkcident? What happens now when a +10-volt pulse is incident from the 50 ohm to the 100 ohm line?

CONTRIBUTIONS/e_63_1_018.html sol

מטוטלות מצומדות

נתונות מטוטלות מצומדות באורך l_1 מ- z=0 עד z=L. החל מ- z=L אורך המטוטלות מתקצר ל- l_2 והחלק הזה ממשיך עד אינסוף. תנועת המטוטלת השמאלית היא מחזורית בעלת g/l_1 < \omega^2 < g/l_2. מצא את צורת הגל במערכת (בשני האזורים).


CONTRIBUTIONS/e_63_1_019.html sol

Nonreflecting coating

A glass lens has been coated with a nonreflecting coating that is one quater-wavelength in thickness in the coating for light of vacuum wavelength \lambda_0. The index of refraction of the coating is \sqrt{n}; that of the glass is n. Take the index of refraction to be constant, independent of the frequency, over the visible frequency spectrum. Let I_{ref} denote the time-averaged reflected intensity and I_{0} the incident intensity, for light at normal incidence. Show that the fractional reflected intensity has the following dependence on the wavelength of the incident light:
\frac{I_{ref}}{I_0} = 4 \left[\frac{1-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right]^2 \sin^2 \left[\frac12 \pi \left(\frac{\lambda_0}{\lambda}-1\right)\right]
where \lambda is the vacuum wavelength of the incident light. Take n=1.5 for glass. Suppose \lambda_0=550\ nm (green light). Then I_{ref} is zero for green. What is I_{ref}/I_0 for blue light of vacuum wavelength \lambda_0=450\ nm ? What is it for the red light of vacuum wavelength \lambda_0=650\ nm?

CONTRIBUTIONS/e_63_4_100.html sol

מהירות חבורה בקו תמסורת

נתון קו תמסורת בצורה הרגילה (התעלמו מהמתח V בציור) המרחק בין תאים בקו התמסורת הוא \mu _s = 0.3:
fig

א. מצאו את יחס הנפיצה בקו התמסורת.

שני זרמים בעלי תדרים שונים \mu _s = 0.3 ו\mu _s = 0.3 עם אמפליטודה זהה נשלחים בכיוון החיובי, כאשר ב\mu _s = 0.3 גל הזרם מקבל את ערכו המקסימלי.

ב. רשמו את משוואות הגל של שני הזרמים ומצאו את מהירות ההתקדמות של הגלים, מהן אותן מהירויות.

ג. מה המהירות היחסית בין שני הגלים, מה המהירות היחסית בגבול הרצף\mu _s = 0.3.

ד. רשמו את הגל המתאר את סך הזרם העובר בקו התמסורת, רשמו אותו כמכפלה של שני גלים בעלי מהירויות שונות מצאו את מהירויות הגלים.

ה. בגבול בו התדירויות קרובות מאד זו לזו, כלומר  \mu _s = 0.3 זהו מהן המהירויות של שני הגלים.


ו. בגבול של סעיף ה. איזו מהירות תמיד גדולה יותר? באיזה תנאי המהירויות משתוות?

CONTRIBUTIONS/e_63_4_101.html sol

גלים במים

מהירות הפאזה במים רדודים היא \mu _s = 0.3 כאשר \mu _s = 0.3 היא תאוצת הכובד ו\mu _s = 0.3 הוא עומק המים. נתונה בריכה בעלת קרקעית מדורדת כבאיור 
כך שעומק המים הוא \mu _s = 0.3

fig

א. נתון גל הנע במים בזוית של \mu _s = 0.3 למדרגה, כמתואר באיור. בהנחה שעל גלי מים פועלים אותם חוקי החזרה ושבירה כמו לאור, מצאו את כיוון תנועת הגל באזורים 2,3.

ב. איך צריכה להשתנות זווית הפגיעה הנ"ל, כך שלא יכנס גל לאזור 3?

ג. נתון גל אחר הנע במאונך למדרגה באזור 1, בעל אורך גל \mu _s = 0.3 מה יהיו אורכי הגל שלו כאשר ינועו באזורים 2,3?

ד. מצאו את מקדמי ההעברה וההחזרה עבור המעברים מתחום1 לתחום 2 ומתחום 2 לתחום 3.

ה. כאשר הגל מסעיף ג' פוגע במדרגה מצא את הגל החוזר בתחום הראשון החוזר מהמדרגה \mu _s = 0.3 ואת הגל בתחום הראשון החוזר מהמדרגה אחרי שעבר לתחום 2 וחזר משם.

ו. עבור איזה ערך של D סכום שני הגלים יקבל את ערכו המינימלי

ז. מדוע סכום שני הגלים לא מייצג את הגל הכולל הנע בכיוון שמאל בתחום ה1? איך אפשר למצוא את הגל הכולל?


CONTRIBUTIONS/e_63_7_001.html

ילד על רפסודה 

ילד עומד על רפסודה במרחק מהחוף. הילד מתחיל לקפוץ בתדירות קבועה, 12 קפיצות בחצי דקה. הגלים שהוא יוצר מגיעים לחוף תוף .
א. מהו אורך הגל?
ב. מהי תדירות הגלים וזמן המחזור

CONTRIBUTIONS/e_63_7_002.html

גל רוחבי 

גל רוחבי מתקדם לאורך מיתר מתוח. ההפרעה מתוארת ע"י הביטוי:  .
א. מצא את 
ב. מצא את כיוון התקדמות הגל  - שמאלה / ימינה

CONTRIBUTIONS/e_63_7_003.html

גל עומד 

חוט מתוח בעל צפיפות מבצע תנודות של גל עומד בעל הצורה: .  כאשר נתונים בסנטימטרים, ו- בשניות.
א. מהו המרחק בין שני צמתים שונים.
ב. מהי מהירותו של חלקיק חוט הממוקם ב- בזמן ?
ג. מהי המתיחות בחוט?ץ

CONTRIBUTIONS/e_63_7_004.html

גלים 

א. כמה גלים עם אורך גל של  , יכנסו בקטע במרחב שאורכו שווה לעובי של חתיכת נייר,  .
ב. על איזה קטע היה ניתן לפרוש את אותו מספר גלים (מסעיף א') שהם גלי מיקרו, כלומר  , כאשר מהירות האור היא 

CONTRIBUTIONS/e_63_7_005.html

גלים 

כינור מוטבע בבריכת שחיה בחתונתם של שני צוללנים. מהירות הקול במיים טהורים היא .
מהו אורך הגל של התו "לה", , המנוגן ע"י הכינור?ץ

CONTRIBUTIONS/e_63_7_006.html

מיתר וגיטרה

מיתר באורך של  R מתוח על צוואר גיטרה וקשור משני צדדיו.
ע"י פריטה ניתן ליצור גל עומד בגיטרה מהצורה:  R.
א. מהם אורכי הגל האפשריים ? (רמז: יש להשתמש בתנאי השפה)
ב. גיטריסט חוסם עם אצבעו Rמהמיתר. אם פורטים בצד הארוך של המיתר, מהם אורכי הגל האפשריים?



CONTRIBUTIONS/e_63_7_007.html
שני גלים

שני גלים זהים נעים לאורך מיתר (האמפליטודה היא A).
א. מהו הפרש הפאזה הדרוש ע"מ ליצור התאבכות הורסת?
ב. מהו הפרש הפאזה הדרוש ע"מ ליצור התאבכות בונה (כלומר גל חדש בעל אמפליטודה מקסימאלית)
ג. אם יצרנו גל בעל תדירות של , בצד אחד של המיתר, כמה זמן אח"כ יש ליצור גל זהה מאותה נקודה, ע"מ שתהייה התאבכות בונה?

CONTRIBUTIONS/e_63_7_008.html

פונק' הגל

א.  רשום/י את הביטוי עבור פונק' הגל בתרשים הבא:


ב. מצא/י את מהירות הגל, אורך הגל, תדירות וזמן המחזור.  

CONTRIBUTIONS/e_63_7_009.html

גלים נעים

א. אלו מהגלים הבאים מהווה גל נע.
ב. לכל גל נע שמצאת בסעיף א', מצא/י את מהירותו.

CONTRIBUTIONS/e_66_4_100.html sol

פולס בתווך דיספרסיבי

חבילת גלים נעה ימינה בתווך אינסופי, צורתה של חבילת הגלים ב- \mu _s = 0.3 היא

\psi(x,t=0)=\left{\begin{matrix} v_0, & -L/2%3Cx%3CL/2%20\cr%200%20, &%20\mbox{otherwise}%20\end{\matrix}%20\right.

מצא ביטוי אינטגרלי לצורת הפולס, בעזרת הביטוי תארו את התנהגות הפולס בשני המקרים

  1. יחס הדיספרסיה בתווך הוא לינארי \mu _s = 0.3.
  2. יחס הדיספרסיה איננו לינארי והוא מהצורה \mu _s = 0.3, במקרה זה נחקור את התנהגות הפולס בזמנים קצרים \mu _s = 0.3.
    על מנת להבין את התנהגות הפולס במקרה זה יש לרשום את הביטוי המלא לפולס, לפתח את הביטוי עד סדר ראשון עבור \mu _s = 0.3, ולזהות ההתנהגות של הגל בכל אחד מהסדרים.
    לצורך זה השתמשו בביטוי המתאים ל- \mu _s = 0.3 קטן:
    \int \frac{\cos(k x)}{k} = Ci( k x) = \approx 0.577 + \log k +\log x

האיור מתאר את ההתפתחות בזמן בזמנים קצרים \mu _s = 0.3 של שני הגלים (ראו אנימציה ב-html).

gg


CONTRIBUTIONS/e_66_4_110.html
נגן גיטרה כיוון שני מיתרים בעלי אורך שווה וצפיפות שונה. צפיפות המיתר הראשון (ביחידות של g=9.8\frac{m}{sec}) הוא A כאשר A צפיפות המיתר השני.
התדירות הנמוכה ביותר של המיתר הראשון היא g=9.8\frac{m}{sec}.


א. כאשר הנגן מכפיל את המתיחות במיתר הראשון הוא מגלה כי אין פעימות בין שני המיתרים. מהו יחס המתיחויות ההתחלתי בין שני המיתרים? מצאו את תדירות הפעימה בין שני המיתרים לפני שהנגן הכפיל את המתיחות. ידוע כי מהירות הקול במיתר הינה g=9.8\frac{m}{sec}.

הנגן מחבר את שני המיתרים בטור ויוצר גל הנע במיתר הראשון, מצא את מקדם ההחזרה של הגל מהגבול בין המיתרים.


CONTRIBUTIONS/e_66_4_111.html
שתי מסות מחוברות בקפיץ זו לזו ולקיר כבציור, המסה הימנית מחוברת רק מצידה השמאלי. 

רשמו את משוואת הכוחות, מצא מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה. 
נתון כי בA המסות בשיווי משקל ולמסה השמאלית ניתן מהירות התחלתית g=9.8\frac{m}{sec}. רשמו ביטוי למיקום המסות כפונקציה של הזמן.
מצאו מיקום המסה הימנית כאשר היא תשנה כיוונה בפעם הראשונה.

q3

CONTRIBUTIONS/e_66_4_112.html
ספינת חלל הטסה משמאל לימין פוגשת בספינת חלל שנייה הטסה בכיוון ההפוך.

א.  הקפטן הנמצא בראש הספינה השניה בנקודה A רואה את הספינה הראשונה חולפת על פניו בזמן של g=9.8\frac{m}{sec} במערכת שלו. אסטרונאוטים על גבי הספינה הראשונה מדדו עם שני שעונים (מסונכרנים) את הזמן בו 'B וA נפגשים ואת הזמן בו 'A וA נפגשים. ההפרש בין שני הזמנים הללו הוא g=9.8\frac{m}{sec}. מצאו את המהירות היחסית g=9.8\frac{m}{sec} בין ספינות האויר ואת האורך העצמי g=9.8\frac{m}{sec} של הספינה הראשונה.

q3

ב. מה האורך של הספינה הראשונה במערכת הספינה השנייה.

ג. בהנחה כי האורכים העצמיים של שתי הספינות זהים מצא את הפרש הזמנים g=9.8\frac{m}{sec} בין הרגע בו הקצוות השמאליים (A ו'A) נפגשים במערכת הספינה השנייה, לבין הרגע בו הקצוות הימניים (B ו'B) נפגשים באותה מערכת.

q3


CONTRIBUTIONS/e_69_1_014.html sol sol

ממברנה ריבועית

נתונה ממברנה ריבועית בעלת צפיפות משטחית r, בגודל LxL, הנמצאת במישור x-y, ומתוחה במתיחות אחידה ליחידת אורך T. שלוש צלעות הממברנה ב-x=0, x=L ו-y=0 מוחזקות במנוחה, בעוד שהצלע y=L חופשיה, פרט לנקודת האמצע (x=L/2,y=L) שמוחזקת ואינה יכולה לנוע. חשבו את אופני התנודה של הממברנה.
pic

CONTRIBUTIONS/e_69_1_015.html sol

מנחה גלים

נתונה תיבת תהודה בעלת חתך מלבני a \times b , אך אינסופית במימד השלישי (ראה איור). הגלים בתיבה מקיימים את משוואת הגלים \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 \psi .
אמפליטודת הגל מתאפסת על דפנות התיבה. נתון כי v = 3\cdot 10^4 \ cm/sec.
pic
  1. מהו יחס הנפיצה עבור גל שמתקדם לאורך הציר האינסופי של התיבה?
  2. מהי תדירות הסף (המינימאלית) \omega_c במערכת על מנת שגלים יתקדמו בתיבה?
  3. מצאו את מהירות הפאזה ומהירות החבורה עבור גל עם תדירות \omega = \sqrt{\frac{7}{5}}\omega_c.
  4. מצאו את עומק החדירה (המרחק בו אמפליטודת הגל דועכת פי 1/e מערכה המקורי) עבור גל בתדירות \omega = \sqrt{\frac{3}{5}}\omega_c.


CONTRIBUTIONS/e_69_1_016.html sol

Ocean swell

A storm raging far out to sea will make itself felt initially by the arrival of waves of long wavelength (why?). Waves up to about 100 m are typical. Explain how it is possible in principle to estimate how far away the storm is by observing the rate of decrease of the wavelength at the shore. For the numerical estimation suppose that the observed time between the arrival of two successive wave crests is 10 sec and it decreases at the slow rate of 0.6 sec per hour.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_017.html sol

Water waves

If a fairly large stone of diameter D is dropped into deep water, most of the energy will go into gravity waves whose wavelengths are roughly 2D. Show that the ring of disturbed water has an approximate diameter (g D t^2/\pi)^{1/2} where t is the time interval after the stone was dropped in.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_018.html sol

Water waves

Show that the phase velocity for deep-water waves influenced by both gravity g and surface tension \sigma is given by
v_\phi^2 \approx \frac{g}{k}+\frac{\sigma k}{\rho}.
Show that the phase velocity is a minimum when k^2 = \rho g/\sigma, and calculate this minimum value.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_019.html sol

גלי מים

גל גרביטציה הרמוני באורך באמפליטודה A גל \lambda מתקדם לאורך ציר z בבריכת מים שעומקה h. מצאו ביטוי לאנרגיה הקינטית, הממוצעת על מחזור הגל, של טיפת מים בעלת מסה m בגובה y מהקרקעית (א) בקירוב המים הרדודים, (ב) בקירוב המים העמוקים. שימו לב מהירות התנועה של טיפת המים נתונה ע"י הנגזרת בזמן של הגל. בטאו את התוצאות באמצעות הפרמטרים הנתונים לעיל ותאוצת הכובד g.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_020.html

מדוע השמים כחולים?

קבלו את חוק הפיזור של ריילי P \prop 1/\lambda^4. מהו יחס העוצמות בין פיזור אור בצבע אדום לבין פיזור בצבע כחול.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_021.html

Waveguide

A rectangular waveguide has internal transverse dimensions of 5x10 cm.
  1. What is the frequency in megacycles per sec of the lowest frequency electromagnetic wave that will pass down the guide without being attenuated?
  2. Show by a sketch the direction and variation with position of the electric field for this wave.
  3. Find the phase and group velocity (expressed as a multiple of c) for a wave with frequency equal to 5/4 of the lowest frequency that is passed without attenuation.
  4. Find the mean attenuation length for a wave with frequency 4/5 of the lowest frequency not attenuated.
  5. For the waves in (3) and (4) calculate the Poynting vector and the radiation pressure on a perfectly reflecting object.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_022.html sol

משוואות מקסוול

חלקיק בעל מסה \mu _s = 0.3 נע במהירות \mu _s = 0.3 כך ש \mu _s = 0.3 במישור XY ונכנס ב \mu _s = 0.3 לאזור בו שורר שדה מגנטי אחיד \mu _s = 0.3 עם \mu _s = 0.3.

על ידי מציאת תאוצת החלקיק. מצא את השדה החשמלי שנמדד על ידי צופה הנמצא ב \mu _s = 0.3 הרחק מהחלקיק.מה קיטוב השדה החשמלי?

מהו השדה החשמלי ומהו קיטובו כפי שנמדד ב \mu _s = 0.3 ?

CONTRIBUTIONS/e_69_1_023.html

משוואות מקסוול

הראה כי רכיב ה \mu _s = 0.3 של השדה החשמלי הנוצר כתוצאה מלוח אינסופי במישור XY המורכב ממטענים הנעים יחדיו בתנועה הרמונית בציר ה \mu _s = 0.3  באותה תדירות אמפליטודה ופאזה הוא בצורה:

\mu _s = 0.3

כאשר \mu _s = 0.3 מסמן את מהירות המטענים.

CONTRIBUTIONS/e_69_1_024.html sol

גלים

א. מצאו תנאי עבורו השדה החשמלי:  a הוא פתרון של משוואת הגלים.
ב. מצאו את מהירות הגל.
ג. מצאו את השדה המגנטי a
ד. חשבו את צפיפות ההספק של הגל (הספק ליח' שטח).
ה. מציבים משטח ריבועי בעל שטח A במישור xz בנק' a. המשטח בולע את כל הגל הפוגע בו. רשמו ביטוי לכמות האנרגיה שתעבור אל המשטח בין  a ו- a .

CONTRIBUTIONS/e_69_1_025.html sol

קרינת דיפול

מצאו הקשר בין זמן החיים אופייני של מולקולה מעורערת לבין אורך הגל הנפלט ממנה.  הניחו כי המולקולה הינה אוסילטור מרוסן שקיבל תוספת אנרגיה (היא הערעור) \mu _s = 0.3 בזמן \mu _s = 0.3.  והאנרגיה דועכת כ  \mu _s = 0.3 כאשר \mu _s = 0.3 הוא זמן החיים האופייני של המולקולה. יש להניח כי האנרגיה דועכת לאט בהשוואה לזמן המחזור.


CONTRIBUTIONS/e_69_1_026.html sol

גלי מים

מים מקיימים בקירוב יחס נפיצה כאשר היא a כאשר a היא תדירות זוויתית, a מספר הגל, a  תאוצת הכובד, a  צפיפות המים,  a מתח פנים וa עומק המים.

מטאור נופל בלב ים ויוצר גל המתפשט מנקודת הפגיעה. במקום רחוק מנקודת הפגיעה בזמן a לגל יש חזית גל ישרה בעלת חתך של משולש שווה שוקיים עם רוחב בסיס a וגובה a.
א. חשב את ספקטרום a בזמן a כאשר הוא עובר את המקום הנ"ל.
ב. בהנחה שאורך הגל השולט הוא a וש a, מצאו ביטוי מקורב ליחס הנפיצה. השתמשו בביטוי על מנת לחשב את מהירות החבורה של הגל.
ג. רשום ביטוי עבור צורת הגל בזמן a, אין צורך לפתור האינטגרל.
ד. רכיב מונוכרומטי של הגל בעל אורך גל a מתקדם לאורך החוף ונע במים בעומק a.

חזית הגל יוצרת זווית של 30 מעלות עם קו החוף, כאשר הוא נתקל במדרגה, בה העומק קטן לa.
מהי הזווית בין החזית לחוף לאחר המעבר לאזור הרדוד? מה אורך הגל שם?

aa


CONTRIBUTIONS/e_69_1_027.html

עקיפה, משולש

מצאו את צורת העקיפה כתוצאה מסדק דו מימדי בצורת משולש שווה שוקיים שבסיסו וגובהו שווים L.


CONTRIBUTIONS/e_69_1_028.html

עקיפה, קונבולוציה

מצאו את צורת העקיפה כתוצאה מארבעה סדקים מרובעים המסודרים באופן הבא:

aa


CONTRIBUTIONS/e_69_1_029.html

עקיפה

מצאו את צורת העקיפה כתוצאה משני סדקים ריבועיים באורך \mu _s = 0.3, שמרכזיהם מרוחקים מרחק \mu _s = 0.3 זה מזה, כאשר קיים הפרש פאזה \mu _s = 0.3 בין הגל היוצא מסדק אחד לגל היוצא מהסדק השני. רשמו את הקשר בין הפרש הפאזה לזוית ההזזה של השיא המרכזי.


CONTRIBUTIONS/e_72_1_008.html sol

התאבכות

נתונה מערכת של שני סדקים מקבילים אינסופיים בה לכל סדק רוחב a, והמרחק בין מרכזי הסדקים הוא h. לכל סדק מוצמד מקטב המאפשר אך ורק מעבר של קרנייםהמקוטבות בכיוונו. הזווית בין כיווני המקטבים היא \alpha. נתון כי קרני האור הפוגעות במסך אינן מקוטבות, ואורך הגל שלהן הוא \lambda. כיצד נראית תבנית ההתאבכות של האור כפונקציה של זווית הפיזור \theta? מה קורה עבור המקרים \alpha=0, \ \alpha=\pi/2?
pic

CONTRIBUTIONS/e_72_2_001.html

אינטרפרומטר מך - זנדר

ממש/י את אינטרפרומטר מך - זנדר בעזרת מטריצת beam splitter.

CONTRIBUTIONS/e_72_7_001.html

התאבכות 

מהו הפרש הפאזה בין שני גלים נעים זהים עם אמפליטודה הנעים לאורך מיתר מתוח, אשר חיבורם ייצור גל חדש עם אמפליטודה של

CONTRIBUTIONS/e_73_1_002.html sol

אופטיקה גאומטרית

קרן אור באוויר (n=1) פוגעת בגוף שצורתו חצי עיגול ברדיוס R ומקדם שבירה n. נקודת הפגיעה של הקרן היא במרחק x ממרכז העיגול. זווית הפגיעה של הקרן היא f, כמתואר בציור.
pic
  1. מהי זוית הסטיה a של הקרן ?
  2. מהי הזוית בכל אחד מהגבולות הבאים: 
    1. x=0
    2. n=1
    3. f=p/2
  3. מה קורה במקרה האחרון (III) כאשר nx/R>1  ?

CONTRIBUTIONS/e_76_1_004.html
a) Express LS in Terms of J,L nad S.
b) Calculate the possible values of LS for L=1 and S=1.
c) Estimate the strength of the magnetic field produced by the electron's orbital motion which results in the two sodium lines (5.889 ,5895.92).
d) Calculate the value of K in (b) using the information given in (c) and S=1/2.


CONTRIBUTIONS/e_76_2_010.html

גלי חומר

א) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{E}\Delta{t}\geq\frac{\hbar}{4\pi}
ב) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{x}\Delta{\lamb}\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}
ג) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא (תנע זוויתי וזווית במעגל): \Delta{E}\Delta{t}\geq\frac{\hbar}{4\pi}

CONTRIBUTIONS/e_76_2_011.html

אינטרפרומטר של מאך - זנדר

מתוך דרישת האוניטריות של המטריצה המתארת beam splitter, מצא/י את ערכיה המספריים והראה שמתווספת פאזה של  a^b \frac{\partial p}{\partial x} לגל המוחזר יחסית לגל העובר.

CONTRIBUTIONS/e_76_4_010.html

גלי חומר

א) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{E}\Delta{t}\geq\frac{\hbar}{4\pi}
ב) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{x}\Delta{\lamb}\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}

CONTRIBUTIONS/e_78_2_003.html sol
CONTRIBUTIONS/e_78_2_004.html
CONTRIBUTIONS/e_78_2_345.html sol sol

Photoelectric effect

Consider a plane-wave solution of Maxwell's equations in a vacuum:

where is a constant vector pointing along the -axis, is a constant
vector pointing along the -axis, and (and is the
speed of light). As we know from Physics 2, the flux of energy density in this wave is
given by the Poynting vector .

(a) Suppose the above plane wave illuminates a flat metal square of size by
lying in the -plane. Write down the time-averaged flux of energy
onto the metal square and show that it does not depend on the frequency
of the wave.

(b) It is discovered that the metal square loses electrons if the frequency is above a
threshold: . Suppose that all the energy of the plane wave goes to the
electrons that it ejects from the square, and that it gives an equal amount of energy
to each electron that it ejects from the square. Sketch a graph showing the
average flux of electrons from the square as a function of  .
Indicate the value of the slope and the intercept.

CONTRIBUTIONS/e_78_4_050.html sol

Davisson Gerner

קרן של אלקטרונים בעלי אנרגיה זהה נופלים על משטח בזוית \mu _s = 0.3 המרחק בין המישורים \mu _s = 0.3. מקסימום של הקרניים המוחזרות התקבל כאשר מתח ההאצה של האלקטרונים הוא \mu _s = 0.3 והמקסימום שני התקבל ב\mu _s = 0.3 כאשר \mu _s = 0.3 . מצא את \mu _s = 0.3. נתון אנרגיית המנוחה של האלקטרון \mu _s = 0.3. והגודל \mu _s = 0.3.



CONTRIBUTIONS/e_78_4_051.html sol

גלי חומר

קרינת X באורך גל  \lambda=2\AA מפוזרת פיזור בראג מסדר ראשון מגביש. זווית הפיזור (בין הקרן הנכנסת ליוצאת) היא θ. המרחק בין המישורים המפזרים הוא  d=3\AA.
אם במקום קרני X מתפזרים ניטרונים, מה צריכה להיות האנרגיה הקינטית שלהם על מנת שזווית הפיזור לא תשתנה?
( m_n=1.66\times10^{-27}kg)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_034.html

אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

הפונקציה היוצרת של פולינומי הרמיט מוגדרת באמצעות
F(S,q)=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_n(q)S^n
השתמשו במשוואה הדיפרנציאלית של פולינומי הרמיט:
\frac{d^2H_n}{dq^2}-2q\frac{dH_n}{dq}+2nH_n=0
א) מצאו את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית של הפונקציה היוצרת.
ב) הראו שהפונקציה:
F(S,q)=e^{-S^2+2Sq}
היא פתרון של המשוואה מסעיף א'.
ג) חשבו מתוך הפונקציה היוצרת את H_0,H_1,H_2
ד) הראו ש:
\frac{dH_n(q)}{dq}=2nH_{n-1}(q) 


CONTRIBUTIONS/e_80_1_035.html

אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

 
א) חשבו את אלמנטי המטריצה של x בבסיס של הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסילטור הרמוני:

<n|x|m>=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)x\psi_m(x)dx=\sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}+\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]
ב) חשבו את אלמנטי המטריצה של p בבסיס של הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסילטור הרמוני:

<n|p|m>=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)\frac{\hbar d}{i dx}\psi_m(x)dx=i\sqrt{{\hbar \mu\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}-\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]


CONTRIBUTIONS/e_80_1_036.html

אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

בעזרת הגדרת הפונקציה היוצרת של פולינומי הרמיט
F(S,q)=e^{-S^2+2Sq}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_n(q)S^n
הראו ש:
א) H_n(q)=(-1)^ne^{q^2}\frac{d^n}{dq^n}e^{-q^2}
ב) H_{n+1}(q)-2qH_n(q)+2nH_{n-1}(q)=0 
ג) H_n(-q)=(-1)^nH_n(q)
ד) H_n(q)=\sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]}\frac{n!(-1)^m}{m!(n-2m)!}(2q)^{n-2m}

CONTRIBUTIONS/e_80_1_037.html

אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

השתמשו ביחס האורתוגונליות של פולינומי הרמיט:
  \int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}dq=2^nn!\sqrt{\pi}\delta_{nm}
א) חשבו את אלמנטי המטריצה של ההמילטונין H בבסיס הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסצילטור הרמוני.

ב) חשבו את הערך הממוצע של של האנרגיה הקינטית ושל האנרגיה הפוטנציאלית  עבור הפונקציה העצמית הnית.
 העזרו בתוצאות:
<n|x|m>=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)x\psi_m(x)dx=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}+\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]
<n|p|m>=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_n(x)\frac{\hbar d}{i dx}x\psi_m(x)dx=\sqrt{{\hbar m\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}+\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]
ג) בעזרת  \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}(2n+1)  מצאו ביטוי עבור E_n( \Delta x) ואת הערך של \Delta x עבורו E_n מינימאלי.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_038.html

פולינומי הרמיט

הראו שניתן לפתור אנטגרלים מהצורה:
\int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^kdq

לכל k בעזרת הקשר:

\sum_l\frac{(2ts)^l}{l!}\int_{-\infty}^{\infty}dqq^ke^{-(q-(t+s))^2}=\sum_{n,m}\frac{s^nt^m}{n!m!}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^kdq

פתרו את האנטגרל (עבור k=0,1):

  \int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}qdq ' \int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}dq


CONTRIBUTIONS/e_80_1_039.html sol

אוסילטור הרמוני - יחסי חילוף

א) בעזרת הביטויים עבור אלמנטי המטריצות בבסיס הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסצילטור הרמוני.
<n|x|m>=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}+\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]
<n|p|m>=i\sqrt{{\hbar m\omega}}\left[\sqrt{\frac{n}{2}}\delta_{n-1,m}-\sqrt{\frac{(n+1)}{2}}\delta_{n+1,m}\right]
<n|H|m>={\hbar \omega}(n+\frac{1}{2})\delta_{n,m}
 חשבו את יחסי החילוף הבאים: \left[x,p\right]\left[H,p\right], \left[H,x\right]

ב) השתמשו בתוצאות של תרגיל e_80_1_038:

\sum_l\frac{(2ts)^l}{l!}\int_{-\infty}^{\infty}dqq^ke^{-(q-(t+s))^2}=\sum_{n,m}\frac{s^nt^m}{n!m!}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^kdq

 כדי לחשב את האינטגרל (k=2):
\int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^2dq
ועל מנת למצוא את אלמנטי המטריצה של האופרטור x^2 בבסיס הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסצילטור הרמוני.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_047.html

אופרטורים ופונקציות גל


פונקצית הגל של אלקטרון היא:
\varphi(x) = U(x) e^{ikx}
באשר ידוע כי U(x) היא פונקציה ממשית מנורמלת,U(x)=U(-x) וכן  \int|U(x)|^2x^2dx=a^2.

א) האם \varphi(x) היא פונקציה עצמית של אופרטור התנע \hat p = \frac{\hbar\partial}{i\partial x} ? של אופרטור המקום \hat x?
ב) איך תלויים הממוצעים < \hat x >, < \hat p >, \Delta x ^2 = <x^2>-<x>^2 במצב \varphi(x) בפרמטרים a,k?
ג) מהו הסיכוי למצוא את החלקיק באזור x<0?

(בוחן 2004)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_048.html

אופרטורים ופונקציות גל


אופרטור הזוגיות P מוגדר על ידי:
\hat P \varphi(x) = \varphi(-x)

א) האם  P הרמיטי?
ב) מהו יחס החילוף [\hat P , \hat x]
ג) הפונקציות U_1(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}\cos(\frac{\pi x}{2 a}),U_2(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}\sin(\frac{\pi x}{2 a}) הן פונקציות עצמיות של האנרגיה עבור חלקיק בבור אינסופי [-a,a].האם הן פונקציות עצמיות של P? אם כן - מה הערכים העצמיים? מהו הערך הממוצע של P בכל מצב?
ד) החלקיק נמצא במצב המתואר על ידי פונקצית הגל \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[U_1(x)+U_2(x)] . האם זוהי פונקציה עצמית של P? אם כן - מהו הערך העצמי? מהו הממוצע של P במצב \varphi(x)?

(בוחן 2004)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_049.html

אופרטורים

נתון אופרטור נורמלי A.
אילו מן האופרטורים הבאים אוניטריים או הרמיטיים, נמקו:
א) B=e^{i(A+A^\dagger)}.
ב) C={i(A-A^\dagger)}.
ג) D=\frac{1-iF}{1+iF} באשר האופרטור F מוגדר באמצעות F=AA^\dagger.
ד) G=e^{i(A-A^\dagger)}.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_050.html

תוחלת האנרגיה

נתונות פונקציות \psi_i(x,t)  מנורמלות המקיימות:

\psi(x,t)

הראו שניתן לחשב את ממוצע האנרגיה באמצעות:

<E>_t=\sum_i |\psi_i|^2E_i



CONTRIBUTIONS/e_80_1_051.html

הצגה מטריצית של אופרטורים

במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של ההמילטוניאן בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
   H=\hbar\omega_0\left(2\ - i\ 0\\ i\ \  2\ \ 0 \\  0  \ \  0  \ \  3 \right)

א) מצאו את הוקטורים העצמיים של ההמילטוניאן המסומנים על ידי |a>,|b>,|c> ואת הערכים העצמיים המתאימים סמנו על ידי E_a,E_b,E_c.
ב) נתון: |\psi(t=0)>=\frac{3}{5}|a>+\frac{4}{5}|c>  (ערכי האנרגיות העצמיות של הוקטורים |a>,|c> מקיימים שE_a=3E_c).
לאחר כמה זמן תחזור המערכת בודאות למצבה ההתחלתי בפעם הראשונה ?
ג)מצאו את <E>,<E^2>,\Delta E .  מה ההסתברות למדוד כל אחד מערכי האנרגיה?
ד) בבסיס הנתון ההצגה המטריצית של האופרטור A היא:
A=\left(\lambda_1\ 0\ 0\\0\ \lambda_2\ 0\\0\ 0\ \lambda_3\right)
עבור אילו ערכים של הפרמטרים \lambda_i האופרטור A מתלכסן סימולטנית עם ההמילטוניאן?

CONTRIBUTIONS/e_80_1_052.html

הצגה מטריצית של אופרטורים

נתון חלקיק בעל מסה  m, אשר נמצא תחת השפעת הפוטנציאל:
 V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
ובעל אנרגיה המקיימת E\le\frac{5}{2} \hbar \omega.
א. השתמשו בתוצאות של תרגיל  (e_80_1_035) על מנת להציג את האופרטורים p,x בבסיס המצבים העצמיים של האנרגיה.
ב. חשבו את יחס החילוף [p,x] .
ג. מכינים את המערכת במצב:
|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{5}}(|0>+2|1>)
חשבו את את <x>_t ואת <x^2>_t.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_053.html

חלקיק חופשי

1. הראו שעבור חלקיק חופשי, הביטוי הכללי עבור פונקצית גל בזמן t:

 \Psi(x,t)=\sum_n c_n \psi_n \exp[-\frac{i}{h}E_n t] 

אקוויולנטי לביטוי האינטגרלי:

 \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dkg(k)e^{ikx-iwt}

2. נתונה פונקצית גל של חלקיק חופשי בזמן t=0:

\Psi(x,t=0)=A \exp[-a|x|]

מצאו את המקדמים c_n ו g(k) .

CONTRIBUTIONS/e_80_1_054.html

תוחלת האנרגיה

עבור פונקצית גל כללית בזמן t:

 \Psi(x,t)=\sum_n c_n \psi_n(x) \exp[-\frac{i}{h}E_n t] 

הראו שניתן לחשב את תוחלת האנרגיה באמצעות הביטוי:

<E>_t=\sum_n |c_n|^2E_n

הכוונה:

\psi(x,t)


CONTRIBUTIONS/e_80_1_055.html

אוסצילטור הרמוני

שחזרו את התוצאות של תרגיל  (e_80_1_016) ללא שימוש במשפט ארנפסט,

הראו כי עבור אוסילטור קוואנטי
H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2

מתקבל
<x>_t=<x>_0\cos{\omega t}+\frac{<p>_0}{m\omega}\sin{\omega t}

הכוונה- השתמשו בהתפתחות בזמן של פונקצית גל כללית.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_056.html

הצגה מטריצית של אופרטורים

נתון חלקיק בעל מסה  m, אשר נמצא תחת השפעת הפוטנציאל:
 V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
ובעל אנרגיה המקיימת E\le\frac{5}{2} \hbar \omega.
א. השתמשו בתוצאות של תרגיל  (e_80_1_035) על מנת להציג את האופרטורים p,x בבסיס המצבים העצמיים של האנרגיה.
מכינים את המערכת במצב:
|\Psi>=\frac{1}{\sqrt{5}}(|0>+2|1>)
ב. חשבו את <x>_t ואת <x^2>_t.
ג. חשבו את <[p,x]> .



CONTRIBUTIONS/e_80_1_057.html

אופרטורים

א) עבור אופרטורים A,B,C כלליים הוכיחו את זהות יעקובי
\left[A,\left[B,C\right]\right]+\left[B,\left[C,A\right]\right]+\left[C,\left[A,B\right]\right]=0

ב) עבור אופרטורים A,B כלליים הוכיחו
\left(AB\right)^\dagger=B^\dagger A^\dagger

ג) הוכיחו: אם A,B הרמיטיים, אזי גם C=i\left[A,B\right] הרמיטי.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_058.html

בור פוטנציאל אינסופי עם מדרגה

נתון בור פוטנציאל 
V(x)=\left{\infty\ \ x<0\\0\ \ 0<x<a\\V_0\ \ a<x<b\\\infty\ \ b<x

א) רשום את משוואת שרדינגר בתחומים השונים עבור חלקיק בעל מסה m.
ב) נתון כי רמת האנרגיה הראשונה היא E_0 כאשר E<V_0, פונקציית הגל בתחום זה נתונה ע"י  \psi(x)=Asin(kx). מצאו את הקשר בין k ל E_0.
ג) מניסויים שנערכו בבור זה נמצא שאורך גל דה-ברולי במצב היסוד הוא \lambda=2a, חשבו את אנרגיית מצב היסוד.
ד) בניסויים נמצא שהסיכוי של חלקיק במצב יסוד להמצא בתחום 0<x<a הוא 90%, מנתון זה חשבו את |A|.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_062.html

אופרטור היטל

מרחב הילברט מיוצג ע"י אוסף המצבים העצמיים המנורמלים של האנרגיה:
H|n>=E_n|n>\ \ \ \left{|n>,\ n=0,1,2,3,...\right}
אופרטור השלכה P_n מוגדר ע"י:
P_n|\psi>=<n\|psi>|n>

א) האם P_n הרמיטי?
ב) מה המטריצה המייצגת את P_n בבסיס הנ"ל?
ג) מה הערכים העצמיים של P_n ?
ד) הוכיחו כי:
\sum_n{P_n}=\hat I
ה) הוכיחו כי  P_n P_m=P_n \delta_{nm}.
ו) האם P_n אוניטרי?
ז)  הוכיחו כי
 H=\sum_n{E_nP_n}
ח) הוכיחו כי
P_n=\prod_{m\ne n}\frac{\hat H - E_m}{E_n-E_m}

CONTRIBUTIONS/e_80_1_073.html

משוואות תנועה - משפט אהרנפסט

עבור המילטונין מהצורה:

H=\frac{p^2}{2m}+V(x)

 הראו שמתקיים:

\frac{d}{dt}<p>=-<\frac{\partial V(x)}{\partial x}>

\frac{d}{dt}<x>=\frac{1}{m}<p>

  
ע"י שימוש במשוואות התנועה של הייזנברג.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_079.html

יחסי חילוף

א. מצאו את הקשר בין יחסי חילוף לסוגרי פואסון:

\{g,f\}=\frac{1}{i\hbar}[g,f]+O(\hbar)
 
ב. נתונים שני אופרטורים המקיימים  [A,B]=\lambda A,

קבלו את הזהות:   Ae^B=e^\lambda e^B A.

ג. בעזרת הקשר בין יחסי החילוף לאי-הודאות של שני אופרטורים הרמיטיים קבלו שפונקצית הגל של אוסצילטור הרמוני היא פונקצית הגל המינימלית הנובעת מיחסי אי הודאות בין אופרטור התנע לאופרטור המיקום.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_085.html

תמונת הייזנברג - אופרטורי סולם

בתמונת הייזנברג התלות בזמן של האופרטור A ניתנת על ידי:
A_H(t)=U^\dagger (t)AU(t)
             (כאשר: U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}  )
1. הראו שההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני הוא:
  H=\hbar \omega\left(a^\dagger a+1/2\right)       
כאשר אופרטורי הסולם הפועלים על המצבים העצמיים של ההמילטוניאן (|n> ) מקיימים:
a|n>=\sqrt{n}|n-1>
a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>
העזרו בהגדרת אופרטור המספר:
N=a^{\dag}a
2.  בעזרת הזהות:   Ae^B=e^\lambda e^B A המתקיימת עבור [A,B]=\lambda A, הוכיחו כי: 
 a e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}=e^{-i\omega t} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}a ומצאו את a_H(t)=U^\dagger (t)aU(t)


CONTRIBUTIONS/e_80_1_086.html

תמונת הייזנברג - אופרטורי סולם

בתמונת הייזנברג התלות בזמן של האופרטור A ניתנת על ידי:
A_H(t)=U^\dagger (t)AU(t)
             (כאשר: U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}  )
ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני הוא:
  H=\hbar \omega\left(a^\dagger a+1/2\right)       
כאשר עבור מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (|n> ) מתקיים:
a|n>=\sqrt{n}|n-1>
a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>
1. בעזרת הזהות:   Ae^B=e^\lambda e^B A המתקיימת עבור [A,B]=\lambda A, הוכיחו כי: 
 a^\dagger e^{\frac{i}{\hbar}Ht}=e^{-i\omega t} e^{\frac{i}{\hbar}Ht} a^\dagger

2. השתמשו בסעיף הקודם ובתוצאות השאלה  e_80_1_085  בכדי לקבל את x_H(t) ואת p_H(t)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_087.html

אוסצילטור הרמוני- אופרטורי סולם

נגדיר צמד אופרטורי סולם (הורדה והעלאה) באמצעות פעולתם על המצבים העצמיים של ההמילטוניאן של אוסצילטור הרמוני (|n> ) :

a|n>=\sqrt{n}|n-1>
a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>

1. בטאו בעזרת אופרטורי הסולם את האופרטורים:
 \hat{x}, \  \hat{p}, \  \hat{H}

2. חשבו את יחס החילוף:  [a,a^\dagger]


3. חשבו את הממוצע של   V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2  במצב |n>.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_089.html

תמונת הייזנברג

במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של האופרטורים A,B ושל ההמילטונין, H, בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
B=b\left(1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\\0\ 1\ 0\right)  , A=a\left(0\ 1\ 0\\1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\right) , H=\hbar\omega_0\left(1\ \ 0\ \ \ 0\\0\ -1\ \ 0\\0\ \ 0\ -1\right)

א) מכינים את המערכת בזמן 0 במצב:  |\Psi_a>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|u_1>+|u_2>)  .
חשבו את את <A>_t,<B>_tבשני אופנים שונים (תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר).

ב) מכינים את המערכת בזמן 0 במצב:  |\Psi_b>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|u_2>+|u_3>)  .
חשבו את את <A>_t,<B>_tבשני אופנים שונים (תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר).

ג) אילו מהממוצעים תלויים בזמן ולמה?

CONTRIBUTIONS/e_80_1_098.html

אופרטורי סולם

בעזרת אופרטורי הסולם,
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha x+i\frac{p}{\alpha\hbar })'a^\dagger=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha x-i\frac{p}{\alpha\hbar })'\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}
 הראו כי עבור אוסילטור קוואנטי
H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2
מתקבל
<x>_t=<x>_0\cos{\omega t}+\frac{<p>_0}{m\omega}\sin{\omega t}

CONTRIBUTIONS/e_80_1_099.html

מצבים קוהרנטיים ואופרטורי סולם

ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני הוא:
  H=\hbar \omega\left(a^\dagger a+1/2\right)       
המצבים הקוהרנטיים, |\alpha> מוגדרים:
|\alpha>\equiv C_{\alpha}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n>
באשר המצבים |n> הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן המקיימים:
a|n>=\sqrt{n}|n-1>
a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>
1. מצאו את הנרמול של המצבים הקוהרנטיים מתוך הדרישה:
<\alpha|\alpha>=1
2. האם המצבים הקוהרנטיים הם מצבים עצמיים של האופרטורים
a, a^{\dagger},N=a^{\dagger}a
ואם כן, מהם הערכים העצמיים?


CONTRIBUTIONS/e_80_1_1000.html
For electrons in a cubic metal or gas molecules in a container, the value l of the side length is so large that the energy levels can be regarded as forming a continuous spectrum. Determine the number of states with energies in the interval between E and E+dE for this case.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_1001.html
a) Draw a graph of the Fermi-Dirac distribution function versus energy for T~0K.
b) Obtain an expression for Ef0, the fermi energy at T=0K, for an electron gas in a metal.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_1002.html
Describe a 4 4 matrix of a semi-reflecting mirror while t is the transmit.
 The Mach-Zehnder Interferometer is built from two semi-reflecting mirrors and two regular mirrors.
A regular mirror has a return amplitude of 1 so that the only effect to a beam that hits it, is a phase change of π.
A beam of particles is split at the first semi-reflecting mirror to two beams that go through two different optical
courses so that one grows a difference of φ in its phase from the other.
They reunite in the second semi-reflecting mirror and the particles can exit in one of two channels.
• Derive an expression to the transmit
• Make sure that the sum of the probability s is one.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_1031.html

אוסילטור הרמוני דו מימדי

פוטנציאל של אוסילטור הרמוני דו מימדי הוא מהצורה V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(x^2+y^2\right).
עבור פוטנציאל מסוג זה ניתן להשתמש בשני צמדים של אופרטורי העלאה והורדה הנתונים על ידי:
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha x+i\frac{p_x}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha y+i\frac{p_y}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ \alpha=\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}
(והצמודים ההרמיטיים שלהם)
א) בטאו את ההמילטוניאן בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה וחשבו את האנרגיות העצמיות. מהי רמת הניוון של המערכת ?
ב) בטאו את התנע הזוויתי L_z בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה. הוכיחו שהביטוי שהתקבל הרמיטי. השתמשו ביחס החילוף בין אותם אופרטורים כדי לחשב את יחס החילוף [L_z,H].
ג) עבור רמת האנרגיה המתאימה לניוון מסדר שני, מצאו וקטורים עצמיים המשותפים לאופרטורים L_z,H. הראו כי מצבים אלה אינם מנוונים ביחס לאופרטור  L_z.
ד) חיזרו על סעיף ג' עבור רמת האנרגיה המתאימה לניוון מסדר שלישי.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_106.html

אוסילטור הרמוני בשניים ושלושה מימדים

פתרו את משוואת שרדינגר עבור אוסילטור הרמוני בשניים ושלושה מימדים.
הראו שהאנרגיה היא מהצורה  E=\hbar \omega (n+\frac{d}{2})
ושהניוון מתקבל מהביטוי  g_n=(n + d -1 \\ d-1 )
באשר d הוא המימד.



CONTRIBUTIONS/e_80_1_107.html

אוסילטור הרמוני בקואורדינטות גליליות

פתרו את משוואת שרדינגר עבור אוסילטור הרמוני בקואו' גליליות.
הפוטנציאל של אוסצילטור הרמוני איזוטרופי הוא: V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(\rho^2+z^2\right).
השוו את האנרגיה ואת דרגת הניוון לתוצאה המתקבלת בקואורדינטות קרטזיות.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_108.html

משוואת שרדינגר בקואורדינטות גליליות

נתון פוטנציאל בקואורדינטות גליליות V(\rho) (התלוי ב\rho בלבד).

א. רישמו את ההמילטוניאן בקואורדינטות גליליות.

ב. הראו שההמילטוניאן מתחלף עם  \hat p_z,\hat L_z.

 ג. הראו שפונקציות הגל של המצבים הסטציונרים הן בהכרח מהצורה:

\Psi_{E,n,k}(\rho,\varphi,z)=f(\rho)e^{in\varphi}e^{ikz}



CONTRIBUTIONS/e_80_1_109.html

אוסילטור הרמוני דו מימדי

נתון אוסילטור הרמוני דו מימדי עם הפוטנציאל
V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(x^2+y^2\right)+\lambda xy
א) בצעו החלפת משתנים על מנת שלא יהיו איברים מעורבים בהמילטוניאן. מהי מטריצת המעבר מ- x,y למשתנים החדשים ?
ב) מצאו את המצבים העצמיים ואת רמות האנרגיה.
ג) מהם התנאים לקיומם של ניוונים? תארו את הניוונים הנוצרים.
ד) חזרו על הסעיפים הנ"ל כאשר מוספים לפוטנציאל את האיבר \frac{1}{2}m\omega^2_2 z^2. מהם התנאים על \omega_2 לקיומם של ניוונים נוספים? תארו את הניוונים הנוצרים.



CONTRIBUTIONS/e_80_1_114.html

פולינומי לג'נדר והרמוניות ספריות

הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר היא:
T(w,s)=\left(1-2ws+s^2\right)^{-1/2}=\sum_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
א. חשבו את P_0(w) ואת P_1(w) על ידי גזירה של הפונקציה היוצרת.
ב. השתמשו בפונקציה היוצרת על מנת לקבל את יחס הרקורסיה:
 (l+1)P_{l+1}(w)=(2l+1)wP_{l}(w)-lP_{l-1}(w).
רמז: שימו לב לקשר בין \frac{dT}{ds}  לבין T.
ג. באמצעות סעיף ב' חשבו את P_2(w) ואת P_3(w).
ד. קבלו את Y_{2,-1}(\cos\theta,\varphi) ואת Y_{3,0}(\cos\theta,\varphi).
השתמשו בתוצאות סעיף ג' ובקשרים:
Y_{l,m}(\cos\theta,\varphi)=(-1)^{|m|}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_{l,|m|}(\cos\theta)e^{im\varphi}
P_{l,m}(w)=\sqrt{(1-x^2)^m}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_115.html

פולינומי לג'נדר והרמוניות ספריות

הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר היא:
T(w,s)=\left(1-2ws+s^2\right)^{-1/2}=\sum_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
א. חשבו את P_0(w) ואת P_1(w) על ידי גזירה של הפונקציה היוצרת.
ב. השתמשו ביחס הרקורסיה:
 (l+1)P_{l+1}(w)=(2l+1)wP_{l}(w)-lP_{l-1}(w).
על מנת לחשב את P_2(w) , P_3(w) ואת P_4(w).
ד. קבלו את Y_{3,-1}(\cos\theta,\varphi) ואת Y_{4,0}(\cos\theta,\varphi).
השתמשו בתוצאות סעיף ג' ובקשרים:
Y_{l,m}(\cos\theta,\varphi)=(-1)^{|m|}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_{l,|m|}(\cos\theta)e^{im\varphi}
P_{l,m}(סx)=\sqrt{(1-x^2)^m}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_119.html

צפיפות מצבים- בור אינסופי תלת מימדי

נתון בור הפוטנציאל התלת מימדי:

 V(x,y,z)=\{ {\ \ \  0<x<L\\0, 0<y<L\\ \ \ 0<z<L}\\ \infty, else 

א. מצאו את המצבים העצמיים בהנחה שתנאי השפה הם מחזוריים.

ב. בהנחה שבכל אחד מהמצבים עם ערך אנרגיה המקיים E<E_F (אנרגיה נמוכה מאנרגית פרמי) מאוכלסים שני אלקטרונים בדיוק (בעלי ספין הפוך, אין צורך להבין מה זה ספין כדי לפתור תרגיל זה) מצאו את צפיפות האלקטרונים:   n=\frac{N}{L^3}    באשר N הוא מס' האלקטרונים.

ג. בטאו את האנרגיה הכוללת במערכת באמצעות הצפיפות n.



CONTRIBUTIONS/e_80_1_123.html

הצגה מטריצית בבסיס הרמוניות ספריות

עבור  l=1, מצאו את אלמנטי המטריצה של L_x בבסיס ההרמוניות הספריות.

השתמשו ב:

L_x=-i\hbar \left(-\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)

Y_{1,0}(\theta,\varphi)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}\cos\theta
Y_{1,\pm 1}(\theta,\varphi)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2 \pi}}\sin\theta e^{\pm i \varphi}

<l'm'|A|lm>=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\theta \sin\theta Y_{l'm'}^*(\theta,\varphi) A Y_{lm}(\theta,\varphi)


CONTRIBUTIONS/e_80_1_129.html

חלקיק בפוטנציאל תלת מימדי בגליליות


חלקיק חסר ספין מוגבל לנוע על משטח גלילי בעל רדיוס R וגובה L.

א. מצאו את הפונקציות העצמיות והאנרגיות העצמיות של המערכת. מה הניוון של כל רמת אנרגיה?

ב. אילו מאופרטורי התנע הזויתי ואופרטורי התנע חילופיים עם ההמילטונין?

ג. מצאו את הערכים העצמיים של האופרטורים החילופיים עם ההמילטונין שמצאתם בסעיף ב' ובטאו באמצעותם את האנרגיות העצמיות של המערכת.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_131.html

אוסילטור הרמוני בקואורדינטות כדוריות

הפוטנציאל של אוסילטור הרמוני בקואו' כדוריות הוא: V=\frac{1}{2}m\omega^2r^2.

קבלו ממשוואת שרדינגר משוואה דיפרנציאלית עבור החלק הרדיאלי של פונקצית הגל.

השתמשו בהפרדת המשתנים \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{l,m}(\theta,\varphi) ושימו לב כי L^2Y_{l,m}(\theta,\varphi)=\hbar^2l(l+1)Y_{l,m}(\theta,\varphi).

באמצעות ההגדרה R(r)=\frac{u(r)}{r} קבלו משוואה דיפרנציאלית מהצורה:
\frac{d^2u}{d\rho^2}=\left(\frac{l(l+1)}{\rho^2}-\lambda+\rho^2\right)u
(העזרו בהחלפת משתנים)

באמצעות ניתוח הפתרון באינסוף וקרוב לראשית מצאו את האנרגיות העצמיות ואת דרגת הניוון שלהן.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_132.html

פוטנציאל מרכזי וההרמוניות הספריות

הראו שעבור המילטונין עם פוטנציאל מרכזי ההרמוניות הספריות הן פונקציות עצמיות המשותפות להמילטונין ולאופרטורים  L^2, \ L_z.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_133.html

האופרטור הוקטורי של לנץ


    האופרטור הוקטורי A מוגדר ע"י:

\hat{\vec{A}}=\frac{1}{2m}(\hat{\vec{p}}\times\hat{\vec{L}}-\hat{\vec{L}}\times\hat{\vec{p}})-\frac{e^2\hat{\vec{r}}}{r}

א.     האם A הרמיטי ?

ב.      הוכיחו כי עבור אטום המימן, A איננו תלוי בזמן.

ההמילטוניאן של אטום המימן:  H=\frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r}




CONTRIBUTIONS/e_80_1_135.html

אטום המימן

אטום מימן נמצא בזמן t=0 בפונקצית הגל:
\psi(\vec{r},t=0)=\frac{1}{\sqrt{14}}\left( 2|100>-3|200>+|322> \right)

כאשר |nlm> מייצג מצב עצמי של האנרגיה E_n, ריבוע התנע הזוויתי \hbar^2l(l+1) ומרכיב - z של התנע הזוויתי \hbar m.

1. עבור כל אחד מהאופרטורים H,L^2,L_z מה הערכים שניתן למדוד ומה ההסתברות למדוד כל אחד מהם?

2. חשבו עבור כל אופרטור את הממוצע באמצעות  <A>=\sum_a a P(a).

3. במדידת אנרגיה התקבל הערך E_2.  עבור כל אחד מהאופרטוריםL_x,L^2,L_z מצאו את אלמנטי המטריצה של האופרטורים בתת המרחב הנפרש ע"י המצבים המנוונים השייכים לערך אנרגיה זה. לאחר מדידת האנרגיה, מה הערכים של שניתן למדוד ומה ההסתברות למדוד כל אחד מהם עבור כל אחד מהאופרטורים?



CONTRIBUTIONS/e_80_1_138.html

תנע זויתי

נתון ההמילטוניאן H=\frac{1}{2I} (L_x^2+L_y^2)

בזמן t=0 המערכת נמצאת במצב: \Psi(\theta,\varphi,t=0)=A\frac{3}{\sqrt{\pi}}[1-\frac{3}{2}(\cos\theta+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta e^{i\varphi})]

א. מצאו אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של H.
ב.אילו ערכים ניתן לקבל במדידה של L^2 \ , \ L_z
וומהי ההסתברות למדידת כל אחת מהתוצאות?
ג. כתבו את \Psi(\theta,\varphi,t)


(מבחן 2007, מועד א')

CONTRIBUTIONS/e_80_1_139.html

תנע זויתי- קריסה

ההמילטוניאן של מערכת מסוימת נתון על-ידי

H=\frac{\omega}{\hbar} (L^2+L_xL_y+L_yL_x)
מדידה של L^2 נתנה את התוצאה 2\hbar^2. הסעיפים הבאים מתייחסים למערכת מיד לאחר המדידה.

א. מהן רמות האנרגיה של החלקיק ומהם המצבים העצמיים ? (20)

ב.בזמן t=0 מדדו את L_z וקיבלו את התוצאה 0. חשבו את |\psi(t)>. (7)

ג. חשבו את <\vec{L}>_t (לאחר המדידה שהתבצעה בסעיף ב'). (7)



(מבחן 2006, מועד א')

CONTRIBUTIONS/e_80_1_153.html

ספין חצי

נתון שרכיב ה- z של ספין אלקטרון הוא\frac{1}{2}\hbar . נגדיר ציר z' שיוצר זוית \theta עם ציר z,והיטלו על מישור xy יוצר זווית \phi עם ציר x. נגדיר אופרטור S_{z'} הנותן את היטל הספין גל האלקטרון לציר z'.
א) מהם ערכי התוחלת <S_{x}>,<S_y> במצב זה?
ב) מצאו את הוקטורים העצמיים  והערכים העצמיים של  S_{z'} (הציגו את המצבים העצמיים בבסיס של S_{z}).
ב) מה ההסתברות למדידת כל ערך עצמי של S_{z'}?

(מבחן 2007, מועד ג')

CONTRIBUTIONS/e_80_1_154.html

ספין 1/2 בשדה מגנטי

חלקיק עם ספין 1/2 נתון בשדה מגנטי B בכיוון ציר z. ההמילטוניאן המתאר את המערכת הוא: H=\frac{eB}{mc}S_z.
נגדיר ציר z' שיוצר זוית \theta עם ציר z,והיטלו על מישור xy יוצר זווית \phi עם ציר x. נגדיר אופרטור S_{z'} הנותן את היטל הספין של האלקטרון לציר z'.
א. מה הערכים העצמיים והמצבים העצמיים של ההמילטונין? מה ההצגה המטריצית של האופרטור U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}  בבסיס מצבים אלו?
ב. בזמן t=0 מדדו S_{z'}=\frac{\hbar}{2}. מצאו את |\Psi(t)>. מה הסיכו למדוד S_{z'}=-\frac{\hbar}{2} בזמן t?
ג. מתי הסיכוי למדוד S_{z'}=\frac{\hbar}{2} יהיה 1?
ד. חשבו את ערכי התצפית  <S_x>_t,<S_y>_t,<S_z>_t .

CONTRIBUTIONS/e_80_1_155.html

חלקיק בפוטנציאל מרכזי- אטום מימן

חלקיק בעל מסה M נע בשלושה ממדים בפוטנציאל מרכזי.

א) הוכיחו את כלל הסכום \sum_n(E_n-E_{n'})|[x_i]_{nn'}|^2=\frac{\hbar^2}{2M} העזרו בחישוב יחס החילוף [[H,x_i],x_j].

ב) חשבו במפורש את אלמנטי המטריצה  <n=2,l,m|z|n=3,l=0,m=0>  עבור כל ערכי l,m האפשריים באטום המימן.

ג) השתמשו בתוצאה של חלק (א) כדי לקבל חסם עליון לאברי המטריצה שקיבלתם בחלק (ב) והראו כי התוצאה המפורשת שקיבלתם מקיימת חסם זה.

ד) חיזרו על סעיפים (ב) ו(ג) עבור אלמנטי המטריצה <n=2,l,m|y|n=1,l=0,m=0> .



CONTRIBUTIONS/e_80_1_156.html

פולינומי לגר

הפונקציה היוצרת של פולינומי לגר היא: g_k(x,z)=\frac{\exp(-\frac{xz}{1-z})}{(1-z)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}L_n^k(x)z^n.

הוכיחו בעזרת הפונקציה היוצרת : L_n^k(x)=\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^m(k+n)!}{m!(n-m)!(k+m)!}x^m עבור k>-1 .

העזרו בסכום: \frac{1}{(1-x)^m}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(m+k-1)!}{k!(m-1)!}x^k  .



CONTRIBUTIONS/e_80_1_157.html

ספין 1/2 בשדה מגנטי

אלומת אלקטרונים עם ספין 1/2  מועברת דרך שדה מגנטי בנסוי שטרן-גרלך. במערכת צירים נתונה האלקטרונים מתוארים על ידי הספינור  \frac{1}{\sqrt{5}}\left(-2i\\    1\right) .
נגדיר ציר z' שיוצר זוית \theta עם ציר z, והיטלו על מישור xy יוצר זווית \phi עם ציר x.

1) רשמו ביטוי כללי ליחס בין העוצמות של האלומות שיתפצלו מהאלומה הנ"ל אם השדה המגנטי הוא בכוון  ציר z'.

2)  באיזה כוון יש להציב את השדה המגנטי כדי שהאלומה תתפצל לשתי אלומות בעלות עוצמה שווה?

3)  מהו יחס העוצמות של שתי האלומות כאשר השדה המגנטי הוא בכוון (111)?

4)  על המצב הנתון לעיל מופעל שדה מגנטי בכוון ציר-z, כך שההמילטוניאן שלו הוא   H=\frac{eB}{mc}S_z.  מהו המצב בזמן  t  ?

5) מהם הערכים הממוצעים של שלושת מרכיבי הספין ומהן סטיות התקן שלהם בזמן זה?



CONTRIBUTIONS/e_80_1_158.html

מטריצות פאולי

א) הראו כי מטריצות פאולי מקיימות עבור "האנטי-קומוטטור"
\left[\sigma_i,\sigma_j\right]_+\equiv \sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}

ב) הראו כי
\det(\sigma_i)=-1
\text{trace}(\sigma_i)=0
\sigma_1\sigma_2\sigma_3=i\hat{1}

ג) מהו התנאי על הA וB כך שהביטוי  A\hat{1}+i\vec{B}\cdot\vec{\sigma} יתן מטריצה אוניטרית.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_189.html

תמונת הייזנברג

במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של האופרטורים A,B ושל ההמילטונין, H, בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
B=b\left(1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\\0\ 1\ 0\right)  , A=a\left(0\ 1\ 0\\1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\right) , H=\hbar\omega_0\left(1\ \ 0\ \ \ 0\\0\ -1\ \ 0\\0\ \ 0\ -1\right)

1) אילו מבין האופרטורים הללו ניתנים ללכסון משותף? מצאו את הבסיס \left{|v_i>\right} (המנורמל) בו 2 מהאופרטורים מלוכסנים.

2) מכינים את המערכת בזמן 0 במצב:

א)            |\Psi_a>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|u_1>+|u_2>) 
ב)            |\Psi_b>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|u_2>+|u_3>)
ג)  |\Psi_c>=\frac{1}{\sqrt{3}}(|u_1>-|u_2>+|u_3>)

חשבו את את <A>_t,<B>_tבשני אופנים שונים.

3) אילו מהממוצעים תלויים בזמן ולמה?

CONTRIBUTIONS/e_80_1_207.html

תוחלת ושונות

נתונה הפונקצה המנורמלת f(x) = A\exp{(-x^2/a^2)} .
  1. מהו A (מתוך נרמול)?
  2. בטאו את התוחלת ואת השונות \langle x \rangle, \Delta x^2 =\langle x^2 \rangle-\langle x \rangle^2.
  3. חשבו את F(k)=\mathcal{F}[f(x)].
  4. בעזרת סעיף 3 בטאו את התוחלת ואת השונות \langle k \rangle, \Delta k^2 =\langle k^2 \rangle-\langle k \rangle^2.
  5. חשבו את המכפלה \Delta k \Delta x  ואת התלות שלה בפרמטר a.

    \langle x \rangle=\int x f(x) dx   ,  \langle x^2 \rangle=\int x^2 f(x) dx
 פונקצית גאמה:     \Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \;\;\; \Gamma(z+1)=z\Gamma(z), \;\;\; \Gamma(3/2)=\sqrt{\pi}/2

CONTRIBUTIONS/e_80_1_208.html

טרנספורם פוריה

הוכיחו את התכונות הבאות של טרנספורם פוריה:

א) F[xf(x)]=i\frac{d}{dk}g(k) 

ב) F[e^{ik_0x}f(x)]=g(k-k_0)

ג) \mathcal{F}[f(ax+b)]=\frac{1}{|a|}e^{ik\frac{b}{a}}F(k)


הסימון הוא לפי:
\mathcal{F}[f(x)]=F(k) 

CONTRIBUTIONS/e_80_1_209.html

תוחלת ושונות

נתונה הפונקצה המנורמלת f(x) = A\exp{(-x^2/a^2)} .
  1. מהו A (מתוך נרמול)?
  2. בטאו את התוחלת <x>, ואת השונות   \Delta x ^2= <x^2>-<x>^2 .
  3. חשבו את F(k)=\mathcal{F}[f(x)].
  4. בעזרת סעיף 3 בטאו את התוחלת <k>, ואת השונות    \Delta k ^2= <k^2>-<k>^2 .
  5. חשבו את המכפלה \Delta k \Delta x ואת התלות שלה בפרמטר a.
 פונקצית גאמה:     \Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \;\;\; \Gamma(z+1)=z\Gamma(z), \;\;\; \Gamma(3/2)=\sqrt{\pi}/2

CONTRIBUTIONS/e_80_1_210.html

מצבים סטציונרים

עבור פוטנציאל שאינו תלוי בזמן פונקצית הגל ניתנת להפרדת משתנים.
קבלו ופתרו משואה דיפרנציאלית עבור החלק התלוי בזמן ואת מש' שרדינגר שאינה תלויה בזמן.
הראו שצפיפות ההסתברות המתקבלת מפונקצית הגל התלויה בזמן אינה תלויה בזמן.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_211.html

משוואת שרדינגר- מצבים סטציונרים

עבור פוטנציאל שאינו תלוי בזמן הניחו כי קיימת פונקצית גל הניתנת להפרדת משתנים.

קבלו ופתרו משואה דיפרנציאלית עבור החלק התלוי בזמן ואת מש' שרדינגר שאינה תלויה בזמן.

הראו שצפיפות ההסתברות המתקבלת מפונקצית הגל התלויה בזמן אינה תלויה בזמן.

הראו שקומבינציות לינאריות של פונקציות סטציונריות הן פתרונות של משואת שרדינגר וקבלו את ההתפתחות בזמן.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_215.html

צפיפות ההסתברות של התנע


הראו כי הגודל |g(k)|^2 הוא צפיפות ההסתברות של התנע.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_228.html

מדרגת פוטנציאל

חלקיק בעל מסה m ואנרגיה E פוגע משמאל במדרגת פוטנציאל מהצורה:

V(x)=\left{0 \ , \ x < a \\ V_1 \ , \ |x|\le a \right.

מתקיים ש:
 0<V_1<V_2<E

א. מצאו את מקדם ההעברה T. הכוונה- העזרו בפורמליזם של המטריצה M ובקשר: T=\frac{J_trans}{J_in} .

ב. השתמשו בתוצאה הנ"ל כדי לקבל את מקדם ההעברה T_1 כאשר קיימת רק המדרגה השמאלית ואת מקדם ההעברה T_2 , כאשר קיימת רק המדרגה הימנית. האם קיים רוחב מסוים, a, המקיים ש T_2=T?

CONTRIBUTIONS/e_80_1_247.html

פונקציות גל וזרם צפיפות הסתברות


פונקצית הגל ההתחלתית של חלקיק חופשי היא:
\Psi(x,t=0) =A e^{ik_0x}+B e^{-ik_0x}
מצאו את \vec{J}(x,t).

CONTRIBUTIONS/e_80_1_248.html

פונקצית הגל, רציפות ושרדינגר

פונקצית הגל ההתחלתית של חלקיק חופשי היא:
\Psi(x,t=0) =A_1 e^{ik_1x}+A_2 e^{ik_2x}
מצאו את
 \rho(x,t), \vec{J}(x,t)
והראו שמשוואות הרציפות ושרדינגר מתקיימות.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_249.html

אופרטורים פיסיקליים

הראו שהאופרטורים

 \hat{x}, \  \hat{p}, \  \hat{H}

הינם הרמיטיים.

עבור אופרטור הרמיטי מתקיים ש:

\hat{A}^+  = \hat{A}

ולכן:

(\hat{A} \psi, \psi)= (\psi,  \hat{A} \psi)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_250.html

הרמיטיות של אופרטורים

נניח כי \hat{A} הוא אופרטור הרמיטי.  נסמן ב-\psi_i(x) את הוקטורים העצמיים של \hat{A}.  נסמן ב-\alpha_i את הערכים העצמיים בהתאמה.
הוקטורים העצמיים מהווים סט אורתונורמלי שלם כך שכל פונקציית גל ניתנת לרישום ע"י:
 \phi(x)=\sum_i b_i\psi_i(x).
1. הראו כי אם  \phi(x)  מנורמלת אז:

 \sum_i |b_i|^2=1.
2. הראו כי:
 <\hat{A}>= (\phi,  \hat{A} \phi)=\sum_i \alpha_i|b_i|^2.

3. הראו שההמילטונין,  \hat{H} , הינו אופרטור הרמיטי.



CONTRIBUTIONS/e_80_1_251.html

הצגה מטריצית של אופרטורים

במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של ההמילטוניאן בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
   H=\hbar\omega_0\left(2\ - i\ 0\\ i\ \  2\ \ 0 \\  0  \ \  0  \ \  3 \right)

א) מצאו את הוקטורים העצמיים של ההמילטוניאן המסומנים על ידי |a>,|b>,|c> ואת הערכים העצמיים המתאימים סמנו על ידי E_a,E_b,E_c.
ב) נתון: |\psi(t=0)>=\frac{3}{5}|a>+\frac{4}{5}|c>  (ערכי האנרגיות העצמיות של הוקטורים |a>,|c> מקיימים שE_a=3E_c).
לאחר כמה זמן תחזור המערכת בודאות למצבה ההתחלתי בפעם הראשונה ?
ג)מצאו את <E>,<E^2>,\Delta E .  מה ההסתברות למדוד כל אחד מערכי האנרגיה?


CONTRIBUTIONS/e_80_1_252.html

חלקיק בפוטנציאל משולב

חלקיק נע בפוטנציאל החד-מימדי:
   V(x)=\left{\infty\ \ \ \ \ \ \ , x<0\\\frac{mw^2x^2}{2} \ \ , x>0

א) מצאו את ערכי האנרגיות העצמיות ואת המצבים הסטציונריים.
ג) נתון שהחלקיק נמצא במצב היסוד של המערכת בזמן t=0. חשבו את<x>_t .


CONTRIBUTIONS/e_80_1_253.html

חלקיק חופשי

1. הראו שעבור חלקיק חופשי, הביטוי הכללי עבור פונקצית גל בזמן t:

 \Psi(x,t)=\sum_n c_n \psi_n \exp[-\frac{i}{h}E_n t] 

אקוויולנטי לביטוי האינטגרלי:

 \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dkg(k)e^{ikx-iwt}

2. נתונה פונקצית גל של חלקיק חופשי בזמן t=0:

\Psi(x,t=0)=A \exp[-a|x|]

מצאו את המקדמים c_n ו g(k) .

CONTRIBUTIONS/e_80_1_330.html

פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת  F(S,q)    של הפולינומים P_n(q)  מוגדרת באופן:
F(S,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}P_n(q)S^n

א. בטאו את הפולינום P_n(q) ע"י שימוש בפונקציה היוצרת  F(S,q)  ובנגזרותיה.


ב. הראו שבהנתן יחס אורתוגונליות של הפולינומים  P_n(q) מהצורה:

\int_{-\infty}^{\infty}P_n(q)P_m(q)dq=A_n\delta_{n,m}

מתקיים השוויון:

\int_{-\infty}^{\infty}F(S,q)F(R,q)dq=\sum_nA_n\frac{(SR)^n}{(n!)^2}





CONTRIBUTIONS/e_80_1_332.html

המילטונין דו חלקיקי


נתונים שני חלקיקים חופשיים בעלי אינטראקציה התלויה במרחק ביניהם:
H= \frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}+V(x_1-x_2)

בטאו את ההמילטונין באמצעות הקואורדינטות  x, \ \ r  (המיקום היחסי ומרכז המסה בהתאמה)  והתנעים p_x, \ \ p_r  בהתאם.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_333.html

המילטונין דו חלקיקי


נתונים שני חלקיקים חופשיים זהים בעלי אינטראקציה התלויה במרחק ביניהם:
H= \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+V(x_1-x_2)

א. בטאו את ההמילטונין באמצעות הקואורדינטות  x, \ \ r  (המיקום היחסי ומרכז המסה בהתאמה)  והתנעים p_x, \ \ p_r  בהתאם.

ב. נתונה פונקצית הגל הדו- חלקיקית:
\varphi(x,r) = A e^{-a|x|} e^{ikr}
איך תלויים הממוצעים < \hat x >, < \hat p_r >, \Delta x ^2 = <x^2>-<x>^2 במצב \varphi(x,r) ומקדם הנירמול A, בפרמטרים a,k?

ג. מהו הסיכוי למצוא את החלקיקים באזור x<0?


CONTRIBUTIONS/e_80_1_800.html

קוונטיזציה של בוהר

השתמשו בתנאי הקוונטיזציה של בוהר:

\oint p dx = h n

והראו שעבור פוטנציאל של אוסצילטור הרמוני:
 H=\frac{p^2}{2m}+\frac{mw^2x^2}{2}

מתקבל כי רמות האנרגיה מקיימות:

\Delta E = \hbar w

CONTRIBUTIONS/e_80_1_900.html

פוטנציאל סימטרי

נתון פוטנציאל סימטרי המקיים:

V(x)=V(-x)

הראו שפתרונות משוואת שרדינגר הסטציונרית עבור פוטנציאל כזה הם בעלי זוגיות מוגדרת (סימטריים או אנטי-סימטריים).


CONTRIBUTIONS/e_80_1_987.html

בור פוטנציאל

חלקיק בעל מסה m ואנרגיה E נע בתוך בור פוטנציאל מהצורה:

V(x)=\left{0 \ , \ |x|\le a \\ V_0 \ , \ |x|\le a \right.

מתקיים ש:
 0<E<V_0

א. הראו שפתרונות משוואת שרדינגר עבור בור זה הם בעלי זוגיות מוגדרת (סימטריים או אנטי-סימטריים).

ב. מצאו ביטוי עבור פונקציות הגל הסימטריות.

ג. רישמו תנאי עבור האנרגיות של פונקציות הגל הסימטריות.

ד. הראו כי בגבול שבו  b \rightarrow a מתקבלות פונקציות הגל ורמות האנרגיה של בור אינסופי.

CONTRIBUTIONS/e_80_1_988.html

בור פוטנציאל - פונקצית דלתא

חלקיק נע בהשפעת פוטנציאל V(x)=-\alpha \delta (x).
מצאו פתרון עבור אנרגיות שליליות.


CONTRIBUTIONS/e_80_1_989.html

מטריצת הפיזור

נתון מחסום פוטנציאל מהצורה   V(x)=-u_0\delta(x-a)  באשר u_0>0.

עבור E>0, פתרון משוואת שרדינגר הוא מהצורה:

\psi(x)=\left{A\exp{ikx} +B\exp{-ikx}\ \ x<-a\\ F\exp{ikx} +G\exp{-ikx}\ \ a<x
k \equiv \frac{\sqrt{2m(E)}}{\hbar}
א) מצאו את המטריצות M וS המקיימות:  
\left(A\\B\right)=\left(M_{11} \ M_{12}\\M_{21} \ M_{22}\right)
\left(B\\F\right)=\left(S_{11} \ S_{12}\\S_{21} \ S_{22}\right)\left(A\\G\right)

ב) עבור a=0 , הפוטנציאל סימטרי, ולכן ניתן להציג את המטריצה M בצורה:
M=\left(e^{i\mu}\cosh(\lambda)  \ \ i\sinh(\lambda)\\ -  i\sinh(\lambda) \ \ e^{i\mu}\cosh(\lambda)   \right)
מצאו את המקדמים \mu,\lambda .

ג) הראו שבגבול שבו u_0 \rightarrow 0
המטריצות M,S מקיימות:
M=\left(0  \ \ 1\\ 1 \ \ 0 \right) , S=\left(1  \ \ 0\\ 0 \ \ 1 \right)

CONTRIBUTIONS/e_80_1_993.html

פונקצית גל

נתונה פונקצית גל מהצורה:

 \psi(x,t)

כאשר \psi(x,t) הן פונקציות מנורמלות המקיימות:

\psi(x,t)

א) מצאו את  \psi(x,t) , \rho(x,t).

ב) האם בזמן כלשהו מתקיים ש \rho(x,t)=\rho(x,0)? מה מאפיין את הזמן הזה?

CONTRIBUTIONS/e_80_1_994.html

מטריצת פיזור של בור פוטנציאל

נתון בור פוטנציאל ריבועי
V(x)=\left{V_0 \ , \ |x| > a \\ 0 \ , \ |x|\le a \right.
עבור E>0, פתרון משוואת שרדינגר בתחומים שמחוץ לבור הוא מהצורה:

\psi(x)=\left{A\exp{ikx} +B\exp{-ikx}\ \ x<-a\\ F\exp{ikx} +G\exp{-ikx}\ \ a<x
k \equiv \frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}
מתנאי השפה ניתן לקבל קשר מהצורה:

\left(A\\B\right)=\left(M_{11} \ M_{12}\\M_{21} \ M_{22}\right)

א) חשבו את אלמנטי המטריצה M_{ij} עבור  E>0 .

ב) עבור גל מישורי המגיע מ - x=-\infty, חשבו את מקדמי העברה והחזרה T=|t|^2,R=|r|^2 עבור  E>0.

ג) ציירו באופן גס את מקדם ההעברה כפונקציה של האנרגיה. (ניתן להעזר בתוכנות למיניהן, למשל Mathematica).

CONTRIBUTIONS/e_80_1_995.html

משפט ארנפסט

עבור המילטונין מהצורה:

H=\frac{p^2}{2m}+V(x)

 הראו שמתקיים:

  \frac{d}{dt}<p>=-<\frac{\partial V(x)}{\partial x}>
 
 

CONTRIBUTIONS/e_80_1_996.html

בור פוטנציאל אינסופי

חלקיק נתון בבור פונטנציאל אינסופי בין 0 ל- a. פונקצית הגל ההתחלתית היא
\psi(x,0)=\left{\frac{2b}{a}x\ \  , 0<x<a/2\\2b(1-\frac{x}{a}) \ \  , a/2<x<a
א) מצאו את b.
ב) מצאו את  \psi(x,t)  , את <x>_t ואת <x^2>_t.
ג) מצאו את <p>_tואת  <E>_t .

CONTRIBUTIONS/e_80_1_997.html

טור פוריה

פתחו לטור פוריה את הפונקציה f(x)=x^2 בתחום [-\pi,\pi].

 השתמשו בפיתוח זה כדי להוכיח:

א.
 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}
ב.
\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{n^2}}=-\frac{\pi^2}{12}


CONTRIBUTIONS/e_80_1_998.html

טרנספורם פוריה

חשבו את טרנספורם פוריה של:

א)       \chi_{[-a,a]}(x)=\left{1\ \abs{x} \le a \cr 0 \ x>a

ב)         \exp{-a |x|} , a>0  

ג)        \chi_{[-a,a]}(bx+c)
 

CONTRIBUTIONS/e_80_1_999.html
בסיס אורתוגונלי


הראו כי 
\cos(n \pi x / L)   , \sin(n \pi x / L)
הוא בסיס אורתוגונלי בתחום  
[-L,L].
 

CONTRIBUTIONS/e_80_2_001.html

בור פוטנציאל אינסופי דו מימדי

נתון בור פוטנציאל אינסופי דו מימדי. רוחב כל צלע היא L
1. מצא את המצבים העצמיי
CONTRIBUTIONS/e_80_2_002.html

בור פוטנציאל אינסופי דו מימדי

נתון בור פוטנציאל אינסופי דו מימדי. רוחב כל צלע הוא a,2a בהתאמה
1. מצא את המצבים העצמיי
CONTRIBUTIONS/e_80_2_003.html

פיזור + מינהור

נתון מחסום פוטנציאל ברוחב d
CONTRIBUTIONS/e_80_2_004.html

זרם הסתברות

הוכח את משוואת שימור הזרם במקרה התלת מימדי:

CONTRIBUTIONS/e_80_2_005.html

בור פוטנציאל אינסופי תלת מימדי

נתון בור פוטנציאל אינסופי תלת מימדי. רוחב כל צלע היא L
1. רשום את משוואת שרדינגר בשלושה מימדים
2. רשום את תנאי השפה של המערכת
3. פתור את המשוואה הדיפרנציאלית באמצעות הפרדת משתנים
4. מצא את המצבים העצמיי
CONTRIBUTIONS/e_80_2_006.html

Calculate the components of L in spherical variables.


CONTRIBUTIONS/e_80_2_007.html

Calculate |L|, Lz and the angle teta between them for orbital f electron.


CONTRIBUTIONS/e_80_2_008.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_009.html

תנע זויתי

עבור l=2 מצא הצגה מטריצית של האופרט
CONTRIBUTIONS/e_80_2_010.html

אטום המימן

נתון כי מצב האלקטרון באטום מתואר באמצעות פונקצית הגל:

כאשר a הוא רדיוס בוהר א. מצא את A
ב. מצא את התנע הזויתי בכיוון z
ג. מצא את התנע הכולל
ד. מצא את האנרגיה של האלקטרון.
ה. האם קיימים מצבים קוונטים אחרים
CONTRIBUTIONS/e_80_2_011.html

אטום המימן

א. מהו המר
CONTRIBUTIONS/e_80_2_012.html

שר
CONTRIBUTIONS/e_80_2_018.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_019.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_020.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_021.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_022.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_023.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_024.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_025.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_026.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_027.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_028.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_029.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_039.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_040.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_041.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_042.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_043.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_044.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_045.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_046.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_047.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_048.html


CONTRIBUTIONS/e_80_2_049.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_027.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_028.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_029.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_030.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_031.html
a) Show that the eigenvalues of a Hermitian operator are real.
b) Show that eigenvectors that correspond to different eigenvalues of a Hermitian operator are orthogonal.

CONTRIBUTIONS/e_81_2_032.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_033.html

for every psi_(x). Is C^ Hermitian?


CONTRIBUTIONS/e_81_2_034.html


CONTRIBUTIONS/e_81_2_035.html
Show that the norm of the state vector evolving from the Schrodinger equation
remains constant.

CONTRIBUTIONS/e_81_2_036.html
CONTRIBUTIONS/e_81_2_037.html

פוטנציאל הרמוני

עבור משוואת שרדינגר הבאה:
א. רשום את המצבים העצמים והאנרגיות העצמיות
ב. חשב את (כל הסעיפים בשאלה מתייחסים לחלקיק במצב עצמי)
ג. חשב את
הסעיפים הבאים הם לבית:
ד. מצא את האנרגיה הקינטית הממוצעת ואת האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת. (גם באמצ
CONTRIBUTIONS/e_81_2_038.html

אופרטור הרמיטי

נאמר כי אופרטור הוא הצמוד ההרמיטי של אם מתקיים כי

יחסי חילוף

  1. הוכיחו כי אם אז גם
    נתון ששני אופרטורים A ו-B מקיימים [[\hat A,\hat B], \hat A]=[[\hat A,\hat B], \hat B]=0 
  2. הוכיחו ש:  [\hat A,\hat B^n]=n[\hat A,\hat B]\hat B^{n-1}
  3. היעזרו בסעיף הקודם וחשבו את  [f(\hat x),\hat p].
    רמז: ניתן לפתח את f(\hat x)  בטור טיילור.

CONTRIBUTIONS/e_82_2_051.html
Using Newton's second law, find an expression for the relativistic velocity of a particle of charge q moving in a circle or radius R at right angles to a magnetic field B.


CONTRIBUTIONS/e_84_2_022.html

אוסצילטור הרמוני

א) מצא/י את האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת של אוסצילטור הרמוני.
ב) מצא/י את האנרגיה הקינטית הממוצעת של אוסצילטור הרמוני.
ג) הראה/י שעקרון האי ודאות מתקיים עבור כל n.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_023.html

שרדינגר

עבור פונקציות גל \Psi_i\ ,\Psi_j  רציפות, תנאי האורתונורמליות הוא  \int \Psi_i\Psi_jdx=\delta_{ij}=\left\{\text\{0\ \ i\not{j}\\1\ \ i=j} .
א) הראה/י כי a^b \frac{\partial p}, a^b \frac{\partial p} הן אורתונורמליות.
ב) נסמן  \Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Psi_1+A\Psi_2 , ונתון כי -iA ממשי וחיובי. מהו A ?
 ג) מהי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב  \Psi_1 ?
ד) מהי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב \Psi_2  ?
ה) נתון האופרטור a^b \frac{\partial p} . מהי התוחלת של אופרטור זה כאשר הוא מודד  את (פועל על) פונקציית הגל  \Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Psi_1+A\Psi_2 ?
ו) אי הודאות במדידת אופרטור E מוגדרת כשונות של אופרטור זה. כלומר: \Delta{\hat{E}}=\sqrt{<\hat{E}^2>-<\hat{E}>^2}} , כאשר a^b \frac{\partial p} .
 מצא/י את אי הודאות במדידת אופרטור E.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_024.html

שרדינגר

נניח כי  a^b \frac{\partial p}{\partial x} ו- a^b \frac{\partial p}{\partial x} הם פתרונות של משוואת שרדינגר ב"ת בזמן.
א) הראה/י כי  a^b \frac{\partial p}{\partial x} אינו פתרון של משוואת שרדינגר ב"ת בזמן.
ב) הראה/י כי  a^b \frac{\partial p}{\partial x} מהווה פתרון של משוואת שרדינגר  התלויה בזמן.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_025.html

משוואת שרדינגר - מנהור

א) בליבו של טרנזיסטור (הרכיב ממנו בונים מעבדי מחשבים – צ'יפ) נמצאמחסום פוטנציאל. הערך/י מהו העובי המינימאלי של המחסום (ומכאן גם גודלו המינימאלי של הטרנזיסטור) כך שלפחות 90% מהאלקטרונים לא יברחו דרכו ע" י מנהור.
נתונים נוספים: אנרגיית האלקטרון היא \epsilon=1eV , גובה המחסום
הוא V0=5 eV.
ב) תן/י ביטוי להסתברות המעבר של חלקיק מעל בור פוטנציאל בגובה –V0 ורוחב a.
pic

CONTRIBUTIONS/e_84_2_026.html

שרדינגר

א) בהיותך מהנדס/ת במפעל לייצור שבבים מגיעה דרישה מההנהלה ליצור קבל לוחות כך שזליגת המטען דרך הקבל תהיה בשיעור קטן יותר מ-a^b \frac{\partial p}{\partial x}. נתון  רוחב הקבל (המרחק בין הלוחות) של  5Å ונתון מחסום פוטנציאל  בחומר     הדיאלקטרי (בין לוחות הקבל) של 10V. אנרגיית האלקטרון בקבל   היא קטנה כ-0.1eV. האם ניתן לייצר קבל כזה?
ב) נתון כי אלקטרון בעל אנרגיה השווה לאנרגיה שיש להשקיע על מנת ליינן אלקטרון מהרמה השלישית באטום המימן מגיע משמאל למדרגת פוטנציאל הבאה. חשב/י את ההסתברות שהאלקטרון יוחזר ממדרגת הפוטנציאל.

ג) פתור/י עבור המקרה בו אנרגיית האלקטרון היא 2V0.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_027.html

שרדינגר

נתונה מטוטלת במשקל 1 kg בקצהו של מוט קל באורך 1 m. המטוטלת מתנודדת במשרעת של 0.1 m.
א) מצא/י תדירות התנודות.
ב) מצא/י אנרגיית התנודות.
ג) הערך/י את המספר הקוונטי עבור התנודה.
ד) מצא/י את המרווח בין שתי רמות אנרגיה סמוכות. הסבר/י מדוע תנועת המטוטלת נראת רציפה.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_028.html

שרדינגר

א) מה היא האי ודאות מקום-תנע עבור חלקיק הנמצא תחת פוטנציאל של אוסצילטור הרמוני ברמה הראשונה (מעל לרמת היסוד)?
ב) מה היא האי ודאות מקום-תנע עבור חלקיק הנמצא תחת פוטנציאל של אוסצילטור הרמוני ברמה השמינית (מעל לרמת היסוד)?
ג) נתונה פונקצית הגל של אוסצילטור הרמוני:
\psi(\vec r,t)=\sqrt2A\psi_{1}e^{-\imath E_1t/\hbar}+\frac{A}{\sqrt2}\psi_{2}e^{-\imath E_2t/\hbar}+A\psi_{3}e^{-\imath E_3t/\hbar}
כאשר \psi_n הם הפונקציות העצמיות של האוסצילטור ההרמוני.
מצא/י את A )A ממשי).
ד) מה היא האנרגיה הממוצעת בזמן t?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_029.html

שרדינגר


נתונה פונקציית גל של אטום דמוי מימן  \Psi(r)=Ce^{-\frac{r}{a}}, כאשר נתון כי a_0=\frac{1}{2}\AA\ ,a=\frac{a_0}{Z}  - הוא רדיוס בוהר ו-Z הוא המספר האטומי.
א) חשב/י את קבוע הנרמול (C).
ב) מצא/י את ההסתברות לכך שהאלקטרון ימצא בתוך הגרעין, כאשר רדיוס הגרעין הוא  r_N=6.686\times10^{-12}m=6.686fm ו-Z=73.
ג) מה ההסתברות שהאלקטרון נמצא באזור x,y,z>0?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_030.html

שרדינגר - תנע זוויתי

הראה/י באופן מפורש כי   עבור \hat{L}^2\Psi_{nlm}=\hbar^2l(l+1)\Psi_{nlm}:
א) l=0, m=0
ב) l=1, m=0
ג) l=1, m=1

CONTRIBUTIONS/e_84_2_031.html

שרדינגר

אם V היא האנרגיה הפוטנציאלית באטום המימן, מצא/י עבור רמת היסוד:
א) את האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת.
ב) את האנרגיה הממוצעת.
ג) את האנרגיה הקינטית הממוצעת.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_032.html

אפקט זימן

נתון אטום הנמצא ברמה המעוררת השנייה בשדה מגנטי a^b \frac{\partial p}{\partial x}. אם לפני הפעלת השדה המגנטי אורך גל הבליעה הוא a^b \frac{\partial p}{\partial x}, מהם אורכי הגל לבליעה לאחר הפיצול?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_033.html

אינטרקציית ספין מסילה

הערך/י את עוצמת השדה המגנטי הנוצר על ידי תנועת האלקטרון המסילתית שתוצאתה בפיצול קווי D של הנתרן.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_034.html

ניסוי שטרן גרלך

אלומה של אטומי מימן נפלטת בטמפרטורה של 400K ועוברת דרך שדה מגנטי למרחק של מטר אחד. לשדה מגנטי זה גרדיינט שעוצמתו 10 טסלה למטר.
א) מהו הכח הפועל על האטומים?
ב) בהנתן האנרגיה הקינטית של האטומים שווה ל-2kT, מצא/י את מהירותם.
ג) לאיזה מרחק תסטה האלומה מהכיוון המקורי שלה?
ד) מה היה קורה לו האטום היה במצב אנרגטי n=3?
ה) מה היה קורה לו לאלקטרונים היה ספין 1?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_035.html

ספין

נתונה פונקציית הגל של אטום מימן a^b \frac{\partial p}{\partial x}:
                      
א) הראה/י כי פונקציית הגל מנורמלת.
ב) מצא/י את התוחלת של רכיב z של הספין.
ג) מהי אי הוודאות בכיוון z של הספין?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_036.html

ספין

מצא/י ביטוי עבור  a^b \frac{\partial p}{\partial x} בעזרת המספרים הקוונטיים  j, s, l וחשב/י את הערכים האפשריים של a^b \frac{\partial p}{\partial x}  עבור  a^b \frac{\partial p}{\partial x}.

CONTRIBUTIONS/e_84_2_037.html

אינטרקציית ספין מסילה

א) לאטום הנתרן 11 אלקטרונים. מהן הרמות המאוכלסות באטום וכמה אלקטרונים בכל רמה?
ב) sodium D הם שני קווים בספקטרום של נתרן (5889.95Å, 5895.92Å) הנוצרים בעקבות אינטרקציית ספין מסילה עבור l=1. מצא/י את גודלו של המקדם K (בנוסחה עבור הפרשי רמות האנרגיה ספין-מסילה: a^b \frac{\partial p}{\partial x} )

CONTRIBUTIONS/e_84_2_038.html

אינטרקציית ספין מסילה ואפקט זימן

א) בהיעדר שדה מגנטי חיצוני ובהזנחת אפקט ספין - מסילה, אך ללא הזנחת הספין, מהו הניוון של רמת האנרגיה ה-n?
ב) ללא הזנחת אפקט ספין - מסילה, מהם הניוונים בשתי רמות האנרגיה n=1 ו n=2?
ג) כעת שמים את אטום המימן בשדה מגנטי חיצוני, כיצד מתפצלות שתי רמות האנרגיה כעת? מה הניוון?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_039.html

ספין

א) כתוצאה מכך שהאלקטרון והגרעין מסתובבים האחד סביב השני, מושרה שדה מגנטי באטום. האלקטרון מבצע  אינטרקציה עם שדה מגנטי זה, וכתוצאה מכך ישנו פיצול (באופן ממוצע) באנרגיה מהצורה:
     a^b \frac{\partial p}{\partial x}  .
     הערך/י את הפיצול ברמות האנרגיה הראשונה והשנייה
ב) מדוע השתמשו באטומי כסף בניסוי שטרן גרלך?


CONTRIBUTIONS/e_84_2_040.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_041.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_042.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_043.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_044.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_045.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_046.html
 


CONTRIBUTIONS/e_84_2_047.html

פונציאל תלת מימדי

חלקיק בעל מסה m נע בהשפעת הפוטנציאל:

1. מצאו את הפונקציות העצמיות של פוטנציאל זה
2. רשמו את ששת רמות האנרגיה הנמוכות ביותר ואת הניוון של כל רמה.
נתון כי רמת האנרגיה הנמוכה ביותר היא

CONTRIBUTIONS/e_84_2_048.html

פוטנציאל הרמוני - אבולוציה

מכינים חלקיק בפוטנציאל הרמוני במצב
א. מצא את
ב. הראה כי מבצע אוסילציות

CONTRIBUTIONS/e_84_2_049.html

פוטנציאל הרמוני - אבולוציה

בזמן t=0 פונקצית הגל היא מהצורה

א. איזה אנרגיות ניתן למדוד? באיזה הסתברות?
ב. מצאו את האנרגיה הממוצעת .
ג. רשמו באופן מפורש (פונקציונלית) את עבור n=1,2,3 ואת ההתפתחות בזמן של


CONTRIBUTIONS/e_84_2_050.html

שרדינגר


נתונה פונקציית גל של אטום דמוי מימן  \Psi(r)=Ce^{-\frac{r}{a}}, כאשר נתון כי a_0=\frac{1}{2}\AA\ ,a=\frac{a_0}{Z}  - הוא רדיוס בוהר ו-Z הוא המספר האטומי.
א) חשב/י את קבוע הנרמול (C).
ב) מצא/י את ההסתברות לכך שהאלקטרון ימצא בתוך הגרעין, כאשר רדיוס הגרעין הוא  r_N=6.686\times10^{-15}m=6.686fm ו-Z=73.
ג) מה ההסתברות שהאלקטרון נמצא באזור x,y,z>0?

CONTRIBUTIONS/e_84_2_051.html

אטום המימן - תנע זוויתי

הראה/י באופן מפורש כי עבור :
א) l=0, m=0
ב) l=1, m=0
ג) l=1, m=1

מתקיים: \hat{L}^2\Psi_{nlm}=\hbar^2l(l+1)\Psi_{nlm}

כאשר \hat{L}^2 = -\hbar^2 \left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)

CONTRIBUTIONS/e_87_1_030.html

Relativity

אריק ובנץ נעים במהירות 0.6c יחסית זה לזה. בזמן t'=t=0 שניהם נמצאים באותו מקום.
כעבור 5 שנים לפי שעונו, אריק שולח הבזק אור לבנץ.
א. כמה זמן לפי שעונו של אריק דרוש להבזק להגיע לבנץ?
ב. כמה זמן לפי שעונו של בנץ עובר עד ש
- נפלט ההבזק
- נקלט ההבזק
ג. מה המרחק בינהם ברגע קליטת ההבזק לפי כל אחד?

CONTRIBUTIONS/e_87_1_031.html

Special Relativity

A rod of length l_0 lies in the x'y' plane of ots rest system and makes an angle \theta_0 with the x' axis.
What is the length and orientation of the rod in the lab system x,y in which the rod moves to the right with velocity v?


CONTRIBUTIONS/e_87_1_032.html

Special Relativity

One of the most prominent spectral lines of hydrogen is the H_\alpha line, a bright red line with a wavelength of 656.1\cdot 10^{-9}m.
the H_\alpha line measured on earth from opposite ends of the sun's equator differ in wavelength by 9\cdot 10^{-12}m.
Assuming that the effect is caused by rotation of the sun, find the period of rotation. The diameter of the sun is 1.4\cdot 10^{9}m

CONTRIBUTIONS/e_87_1_033.html

Special Relativity

A photon of energy E_0 collides with a free particle of mass m_0 at rest.
if the scattered photon flies off at angle \theta, what is the scattering angle of the particle, \varphi?


CONTRIBUTIONS/e_87_1_034.html

יחסות

על חלקיק בעל אנרגיה E פועל כח \vec{F} = \vec{v}\times\vec{B} , כאשר v הינה מהירות החלקיק ו B הינו ווקטור קבוע. הראה שהחלקיק נע במעגל ומצא את זמן הסיבוב.
פיזיקה 1 לפיזיקאים, 2008 ב

CONTRIBUTIONS/e_87_2_024.html sol

יחסות

צופה הנמצא ב-x=600 m  במערכת S רואה הבזק אור אדום ממקור הנמצא ב- x=0, ולאחר a^b \frac{\partial p}{\partial x} הוא רואה הבזק אור כחול ממקור הנמצא ב-x=300m.




א) מה הפרש הזמן בין שני ההבזקים במערכת S ?
ב) האם המאורעות (ההבזקים) הם דמויי זמן או מרחב?
ג) מהי המהירות של צופה במערכת S’ כדי שהמאורעות יתרחשו באותו מקום?
ד) במערכת S’ ההבזק האדום התרחש בזמן a^b \frac{\partial p}{\partial x}, וההבזק הכחול בזמן a^b \frac{\partial p}{\partial x}. לפי סעיף ב', האם a^b \frac{\partial p}{\partial x} או a^b \frac{\partial p}{\partial x} ?
ה) חשב/י את a^b \frac{\partial p}{\partial x}

CONTRIBUTIONS/e_87_2_025.html

יחסות

א) הוכח/י כי 4-וקטור האורך, אינווריאנטי תחת טרנספורמציית לורנץ.
ב) הוכח/י כי משוואת הגלים a^b \frac{\partial p}{\partial x} אינווריאנטית תחת טרנספורמציית לורנץ.
ג) מה ניתן להסיק מכך?

CONTRIBUTIONS/e_87_2_026.html sol

יחסות

נניח כי מקור פולט אור בתדר f. הראה/י כי מקלט הנע במהירות v יקלוט את האור בתדר a^b \frac{\partial p}{\partial x} .

CONTRIBUTIONS/e_87_2_027.html

יחסות

הוכח/י בעזרת טרנספורמציית לורנץ את נוסחת חיבור המהירויות.

CONTRIBUTIONS/e_87_2_028.html

יחסות

א) הראה/י כי במהירויות נמוכות ניתן לכתוב את האנרגיה הקינטית של גוף כ-a^b \frac{\partial p}{\partial x}
ב) מהי המהירות המקסימלית שבה יכול לנוע גוף כלשהו, כך שניתן יהיה לרשום את האנרגיה הקינטית שלו כ-a^b \frac{\partial p}{\partial x}  עם שגיאה הקטנה מ-0.5%?
ג) מצא/י ביטוי מתוקן עבור החוק השני של ניוטון עבור גוף בעל מסת מנוחה m0 הנע במהירות v.

CONTRIBUTIONS/e_87_2_029.html

יחסות

א) הראה/י כי מהירות האור קבועה בכל מערכת ייחוס.
ב) הראה/י כי עבור גוף הנע במהירות האור, כל גוף אחר (הנע במהירות הקטנה ממהירות האור) מתרחק ממנו במהירות האור.
ג) כיצד יראה גוף הנע במהירות האור גוף אחר הנע במהירות האור באותו הכיוון? כיצד הוא יראה גוף הנע במהירות האור בכיוון ההפוך?

CONTRIBUTIONS/e_87_2_030.html

יחסות

מהירות האור במים עומדים נתונה על ידי  a^b \frac{\partial p}{\partial x}, כאשר n הוא מקדם השווה ל-4/3. ע"פ Fizeau (בניסוי שנערך ב-1851, כלומר לפני תורת היחסות) ניתן לרשום את מהירות האור במים זורמים במהירות V על ידי הנוסחא הניסיונית: 
                                                                                                                     a^b \frac{\partial p}{\partial x}                       

כאשר המקדם k (שהתקבל באופן ניסיוני) הוא 0.44. מצא/י את גודלו של k ע"פ תורת היחסות (ניתן להניח ש-V קטן ביחס ל-cn). מה הייתה גודלה של השגיאה בנוסחה הניסיונית של Fizeau?

CONTRIBUTIONS/e_87_2_031.html

יחסות - אקוויוולנטיות מסה - אנרגיה

חלקיק מסיבי נע בכיוון \hat{x} ומתפרק לשני חלקיקים חסרי מסה. האחד נע בכיוון \hat{x}, והשני נע בכיוון -\hat{x} עם מחצית מהאנרגיה של החלקיק הראשון. מהי מהירותו של החלקיק המקורי?  פתור/י במערכת החלקיק המסיבי.

CONTRIBUTIONS/e_87_2_032.html

כמה מסה הופכת לכמה אנרגיה?

מסה של כדור אקמול היא 320 mg. אם ניתן היה להפוך את כל מסת כדור האקמול לאנרגיה במנוע של מכונית, לאיזה מרחק יכלה לנסוע המכונית על כדור אקמול?
נתוניםצריכת אנרגיה של מנוע ממוצע (שנת 95')  \hat{x}, צריכת דלק \hat{x}


CONTRIBUTIONS/e_87_2_033.html

יחסות פרטית

החללית Rotzimfactor נעה אל עבר כדו"ה במהירות 0.7c. בחלקה הקדמי של החללית נמצא תינוק יחסותי המתחיל לזחול במהירות 0.3c (שניהם במערכת כדו"ה) אל עבר סכין הנמצא על שולחן הנמצא 5 מטרים (במערכת החללית) ממנו. ליד השולחן יושב אביו של התינוק (נקרא לו א') אשר מנסה לתפוס את הסכין לפני התינוק. זמן התגובה של א' הוא 20nsec.
א) האם א' יספיק להגיע לסכין לפני התינוק?
ב) האם אמו של התינוק, המתבוננת בחללית מכדו"ה, תבחין באירועים באותו הסדר (כלומר תראה את התינוק זוחל ואח"כ את האב מנסה להגיע לסכין, או להפך)?
ג) בחללית הנ"ל, נזרקים שני כדורים האחד אל עבר השני משני קצות החללית ובעת התנגשותם נוצר כדור חדש כמתואר באיור:




הנתונים במערכת כדו"ה ומסת המנוחה של כ"א מהכדורים היא m. מצא/י את מסת המנוחה של הכדור החדש ואת מהירותו  במערכת החללית.
ד) כעת, נזרקים שני כדורים זהים, הימני באנרגיה  a^b \frac{\partial p}{\partial x}, והשמאלי באנרגיה a^b \frac{\partial p}{\partial x}  (שני הנתונים במערכת כדו"ה). מצא/י את מסת המנוחה של הכדור החדש ואת מהירותו במערכת החללית. האם נכון המשפט (הסבר/י כמובן...): "מסת התוצרים בהתנגשות היא מקסימלית כאשר מהירות הגופים המקוריים זהה במערכת מרכז המסה."?

CONTRIBUTIONS/e_87_2_034.html
CONTRIBUTIONS/e_87_2_035.html sol sol
CONTRIBUTIONS/e_87_2_036.html sol

פיצוץ בגלקסיה

חללית טסה לכוכב B במהירות קבועה של v=-0.96c.
בזמן t=0 היא חולפת על פני כוכב A.
לאחר 28 שנים במערכת כוכב A התפוצץ כוכב הנמצא בין כוכב A לכוכב B, במרחק 350 שנות אור מכוכ
CONTRIBUTIONS/e_87_2_037.html sol sol

טרנספורמציית לורנץ

1. מצא מתוך טרנספורמציית לורנץ


את הטרנספורמציה ההפוכה
2. הראה כיצד ניתן לקבל את התארכות הזמן מתוך טרנספורמציית לורנץ
3. הראה כיצד ניתן לקבל את התקצרות האורך מתוך טרנספורמציית לורנץ

CONTRIBUTIONS/e_87_2_038.html sol

אופנועים

1. שני אופנועים A ו B יוצאים מראשית הצירים. אופנוע A נוסע בכיוון במהירות 0.75c ואופנוע B נוסע בכיוון במהירות 0.9c
מה מהירות B אותה מודד רוכב A ?

CONTRIBUTIONS/e_87_2_039.html
Proove the following relations, in the particle's rest frame:


CONTRIBUTIONS/e_87_2_040.html


CONTRIBUTIONS/e_87_2_041.html

יחסות - חיבור מהירויות

הוכח/י בעזרת טרנספורמציית לורנץ את נוסחת חיבור המהירויות u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}}.

CONTRIBUTIONS/e_87_2_051.html
Using Newton's second law, find an expression for the relativistic velocity of a particle of charge q moving in a circle or radius R at right angles to a magnetic field B.


CONTRIBUTIONS/e_87_4_050.html sol

עבירת תנועה - דופלר

עבריין תנועה בגין נסיעה באור אדום טען כי בשל אפקט דופלר האור ברמזור הוסח מאדום לירוק, ומכאן הוא זכאי.

באיזו מהירות עליו לנסוע כדי לקבל את האפקט הנ"ל?

באיזו מהירות עליו לנסוע אילו לא התקיימה היחסות הפרטית?

תדירות אורכי הגל:  ירוק :500nm,  אדום: 700nm


CONTRIBUTIONS/e_87_4_051.html sol

ילד עם כדורים

נתון ילד המשחק בכדורים על גבי ספינת חלל הנעה אל עבר כדו"א במהירות g=9.8\frac{m}{sec}

במשחק הראשון זורק הילד שני כדורים אחד אחרי השני אל עבר דופן החללית במהירות g=9.8\frac{m}{sec} במערכת החללית, הכדור הראשון פגע בדופן החללית g=9.8\frac{m}{sec} לפני השני (גם כן במערכת החללית). מצא/י את המרחק העצמי בין הכדורים.

במשחק השני הילד שם חומר נפץ בכדורים וזרק אותם אחד אחרי השני במהירות g=9.8\frac{m}{sec} כך שהמרחק בניהם (במערכת החללית) הוא g=9.8\frac{m}{sec} ברגע מסוים התפוצצו הכדורים סימולטנית (במערכת העצמית). מצא/י את הפרש הזמן בין התפוצצות שני הכדורים במערכת החללית

במהלך ההתפוצצות של הכדורים הם פלטו אור באורך גל של g=9.8\frac{m}{sec} במערכת החללית. באיזה אורך גל תבחין אימו של הילד הנמצאת בכדו"א?

במשחק הבא, לקח הילד כדור בעל מסת מנוחה g=9.8\frac{m}{sec} וזרק אותו כך שהאנרגיה הקינטית שלו (במערכת החללית) היא g=9.8\frac{m}{sec}. מצא/י את תנע הכדור.

הכדור מהסעיף הקודם התנגש בכדור זהה הנמצא במנוחה (במערכת החללית). כתוצאה מהתנגשות זו נוצר כדור חדש. מצא/י את מהירותו ואת מסת המנוחה שלו

CONTRIBUTIONS/e_87_4_052.html sol

פיזור קומפטון

כתוצאה מפיזור קומפטון עם אלקטרון במנוחה, אורך הגל של פוטון בעל אנרגיה של g=9.8\frac{m}{sec} השתנה ב-20%.

א) מצא/י את האנרגיה הקינטית של האלקטרון לאחר הפיזור.
ב) מהו התנע של האלקטרון לאחר הפיזור?
ג ) מהם זוויות הפיזור של האלקטרון והפוטון?
ד) אותו הפוטון מפוזר על ידי אלקטרון הנע לעברו. לאחר הפיזור הפוטון מתקדם בזווית של 180° לכיוון התקדמותו המקורי. מצא/י את מהירותו המקורית של האלקטרון, אם ידוע כי תדר הפוטון לא משתנה.

CONTRIBUTIONS/e_87_4_053.html

אקוויוולנטיות מסה-אנרגיה

שני חלקיקים זהים בעלי מסת מנוחה m0 נעים אחד לקראת השני לאורך ציר x במערכת מרכז המסה S' במהירויות v' ו - v'- ומתנגשים. לאחר ההתנגשות נוצר חלקיק B בעל מהירות u=0 במערכת S'.
מערכת מרכז המסה S' נעה במהירות v ביחס למערכת המעבדה S. מצא את האנרגיה והתנע של החלקיקים לפני ו
CONTRIBUTIONS/e_87_4_054.html

לוח טעון נע

נתונים שני לוחות אינסופיים טעונים מקבילים למישור X-Y. צפיפות המטען המשטחית נתונה במערכת המנוחה של כל לוח. הלוח העליון נע במהירות 0.5c ביחס למערכת המעבדה ובכיוון ציר y. באיזו מהירות יש להנ
CONTRIBUTIONS/e_87_4_055.html

מטענים נעים

מטען נקודתי +q נע במערכת המעבדה במהירות v לאורך ציר x. ברגע t=0 חולף המטען בראשית הצירים.
א. מצאו את השדה החשמלי במערכת המעבדה בנקודות כתלות בזמן.
ב. מצאו את השדה החשמלי במערכת המנוחה של המטען בנקודות

יחסות פרטית

א) הראה/י כי חלקיק חסר מסה לא יכול להתפרק לשני חלקיקים מסיביים. 
ב) חלקיק חסר מסה מתפזר מחלקיק בעל מסה  m הנמצא במנוחה.  לאחר הפיזור החלקיק חסר המסה נע בכיוון מאונך לכיוון תנועתו המקורי. לפני הפיזור אנרגית החלקיק חסר המסה שווה לאנרגית המנוחה של החלקיק המסיבי. מהם התנעים של החלקיקים לאחר הפיזור? (יש לשים לב שמדובר כאן בבעיה דו מימדית.)

CONTRIBUTIONS/e_90_2_005.html

התפרקות גרעינית

תארוך בעזרת פחמן 14 מתבסס על כך שכאשר גוף(לא ימי) מת הוא מפסיק לספוג לתוכו פחמן, וכמות הפחמן 14 יורדת בקצב קבוע. אם נדע כמה פחמן 14 יש מתוך פחמן 12 נקבל את זמן המוות. מה הוא התאריך העתיק ביותר הניתן לתיארוך על ידי פחמן 14? נתון זמן מחצית חיים 5570 שנים.

CONTRIBUTIONS/e_90_2_006.html

התפרקות גרעינית

כמה זמן  ייקח לכדור המכיל ק"ג אחד של אורניום 238 לפלוט את אותה כמות אנרגיה הנפלטת ממנורת 100W בשנייה אחת?

CONTRIBUTIONS/e_90_2_007.html

חלקיקים

מדוע ההתפרקות a^b \frac{\partial p}{\partial x} מתרחשת, אבל ההתפרקויות a^b \frac{\partial p}{\partial x}, a^b \frac{\partial p}{\partial x} לא מתרחשות?

CONTRIBUTIONS/e_90_2_008.html

התפרקות גרעינית

בעזרת מדידת כמויות האיזוטופים של U238 ושל Pb206 בסלעים ניתן לקבוע את גיל הסלע. במדגם סלע נמצאו N1 אטומי אורניום ו-N2 אטומי עופרת.
א) מהו גיל הסלע, בהנחה שבעת הווצרותו היו בו רק אטומי אורניום?
ב) מהו גיל הסלע, כאשר נתון Wu – משקל אטומי האורניום ו-WPb – משקל אטומי העופרת?
ג) האם הנוסחאות הנ"ל נותנות גבול עליון או תחתון לגיל הסלע?

CONTRIBUTIONS/e_90_2_009.html

מציאת חלקיקים

אילו מבין האינטרקציות הבאות אפשריות? צייר\י דיאגרמת פיינמן.
  1. \overline{K}^- + p \;\;\rightarrow\;\; K^++X
  2. \pi^-+p \;\;\rightarrow\;\; K^++X
  3. p+p \;\;\rightarrow\;\;  \pi^++n+\Lambda^0+X

CONTRIBUTIONS/e_90_2_010.html

חלקיקים

באיור הבא ניתן לראות שני סטים של עקבות בתא בועות. (הנח/י שהשדה המגנטי נכנס לתוך הדף). זהה/י את חלקיקי ה-X וה-Y וה-Z הניטרליים הלא ידועים (המסומנים על ידי הקווים המקווקווים) בשני המקרים הבאים, והסבר/י איזה סוג של אינטראקציה התרחשה: