Exercises in Physics 3


CONTRIBUTIONS/e_60_1_001.html

מטוטלות מצומדות

שתי מטוטלות בעלות מסה זהה m מחוברות על ידי קפיץ עם קבוע קפיץ K. אורכה של המטוטלת השמאלית הוא L בעוד אורכה של המטוטלת הימנית ניתן לשינוי באופן רציף, כמתואר בציור. נגדיר את אורך המטוטלת הימנית ברגע מסוים L+x. ברגע ההתחלה המטוטלת הימנית קצרה מהמטוטלת השמאלית, x<0. אנחנו מזיזים את המטוטלת השמאלית שמאלה ועוזבים אותה ממנוחה, כך שהמערכת מתחילה להתנדנד. כעת אנחנו מגדילים באופן איטי את אורך המטוטלת הימנית, עד שאורכה גדול מאורך המטוטלת השמאלית. תאר את תנודת המטוטלות בסוף התהליך.
picture

CONTRIBUTIONS/e_60_1_002.html sol

מערכת קפיצים

במערכת שבציור שתי המסות שוות, ושני הקפיצים זהים. תנועת המסות הוא רק בכיוון האופקי.


  1. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת?
  2. מפעילים על המסה הרחוקה מהקיר כוח חיצוני השווה לכוח שהקפיץ הראשון מפעיל על המסה הראשונה (הכוח הזה יהיה תלוי בזמן).
    מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת? הסבר את התופעה.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_003.html sol

שתי מטוטלות עם קפיץ

נתונה המערכת הבאה של קפיצים ומסות. נתון כי תנועת המסות רק במישור הדף.

  1. הראה כי בקירוב של זוויות קטנות הקפיץ נשאר אופקי.
  2. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת? הסבר את משמעות אופני התנודה שקיבלת.
  3. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת במקרה שהמסות שוות? הסבר את תהתוצאות.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_004.html sol

תנודות במערכת חשמלית

נתונה המערכת הבאה של סלילים וקבלים:


  1. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת? 
  2. מצא את הפתרון הכללי לזרם בכל אחד מהסלילים.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_005.html sol

מטוטלת כפולה

שתי מסות שוות תלויות בקצות מוטות קשיחים זהים חסרי מסה באורך l כל אחד. המוט התחתון יכול להסתובב ללא חיכוך סביב המסה העליונה. תנועת המוטות היא רק במישור הדף.
נסמן ב-\theta_1 ו- \theta_2 את הסטיה של המוט העליון והמוט התחתון מהאנך, בהתאמה.


  1. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת בהנחה של תנודות קטנות? 
  2. מתחילים מהמצב שבו \theta_1=\theta_2 (המוטות בקו ישר הסוטה מהאנך). האם המוטות ימשיכו לנוע בקו ישר? אם לאו, מתי יגיעו למצב \theta_1=-\theta_2?
  3. כתוב את משוואות התנועה של המערכת ללא הנחת תנודות קטנות (קצת ארוך...).
    מהם הקירובים שיש לעשות על מנת לקבל את המשוואות והפתרונות שמצאת בסעיף 1?

CONTRIBUTIONS/e_60_1_006.html sol

תנודות בשני מימדים

נתונה מערכת קפיצים ומסות (תנועת המסות רק במישור הדף). כל הקפיצים מתוחים לאורך a והאורך הרפוי שלהם הוא  a_0<a.
מימדי המסגרת הם 2a\times 2a.

 
מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה של המערכת בהנחת תנודות קטנות?

CONTRIBUTIONS/e_60_1_007.html sol

תנודות במערכת חשמלית

נתונה המערכת הבאה של סלילים וקבלים:


מצא את הזרמים בכל אחד מהסלילים.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_008.html sol

תנודות רוחביות של קפיצים

נתונים 4 קפיצים בעלי קבוע k, אורך המנוחה x0 המחוברים ל-3 מסות m. כל מסה מחוברת לשני קפיצים המתוחים מרחק אופקי a.
הקפיצים מחוברים בקצותיהם לטבעות חסרות מסה וחסרות חיכוך. תנועת המסות היא רק בכיוון האנכי.


  1. הראה כי בקירוב בו x0 , a גדולים מהתארכות הקפיץ בכיוון האנכי, המתיחות בקפיצים שווה ופועלת בכיוון האנכי בלבד.
  2. מהם התדירויות העצמיות ואופני התנודה? הסבר את התוצאות.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_009.html sol

מיתר מחליק

נתון מיתר באורך L המחובר בשני קצותיו לטבעות חסרות מסה, המחליקות ללא חיכוך בכיוון האנכי.
  1. מהן התדירויות העצמיות של המערכת?
  2. צייר את אופן התנודה המעורר הראשון עבור t=0,L/2v,L/v
  3. נתון כי בזמן t=0, המיתר נמצא במנוחה וצורתו  y_0(x)=a\cos(\frac{2\pi x}{L}). מצא את צורת המיתר בזמן t.
  4. נתון כי בזמן t=0, המיתר נמצא במנוחה וצורתו y_0(x)=\frac12a - \frac12 a\cos(\frac{\pi x}{L}). מצא את צורת המיתר בזמן t.
  5. נתון כי בזמן t=0, המיתר נמצא במנוחה וצורתו מתוארת באיור. מצא את צורת המיתר בזמן t.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_010.html sol

תנודות

נתון מיתר אלסטי, רציף וחלק באורך L הקשור בקצה אחד לקיר ובקצה השני לטבעת חסרת חיכוך ומסה.
צפיפות המיתר היא ρ והמיתר נתון במתיחות T0.
בזמן t=0 המיתר ישר ומהירות המיתר הינה כפי שמתואר בציור:
pic 

א) מהן התדירויות העצמיות של המערכת?
ב) מצא את צורת המיתר בכל זמן.
ג) שרטט במחשב את המהירות ההתחלתית של המיתר כפונקציה של המקום ע"י סיכום של 10 אופני התנודה הנמוכים ביותר (בחר את הקבועים לפי רצונך).

CONTRIBUTIONS/e_60_1_011.html sol

תנודות

מיתר (צפיפות ρ, מתיחות T_0 )  שקצה אחד שלו מוחזק ב-x=0, והקצה השני מחובר לטבעת בעלת מסה m הנעה ללא חיכוך ב- x=L .
תנועת המיתר היא בכיוון y.
  1. מצא את הערכים המותרים למספר גל k.
  2. בדוק את שני המקרים הגבוליים: m=0, \ m\to\infty וודא כי אתה מקבל את הערכים הידועים.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_012.html sol

תנודות

מיתר (צפיפות ρ, מתיחות T_0 ) באורך L תפוס בשני קצותיו. בזמן t=0  צורתו ישרה והמיתר מקבל מכה בקטע שאורכו 2a שמרכזו ב- x=c. המכה מקנה למיתר בקטה זה מהירות התחלתית v_0 . מצא את צורת המיתר בכל זמן.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_013.html sol

תנודות של שני מיתרים זהים

שני מיתרים זהים תפוסים בקצה אחד וקשורים לאותה טבעת חסרת מסה וחסרת חיכוך כמתואר באיור.
מצא את אופני התנודה של המערכת.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_014.html sol

תנודות

נתון מיתר אלסטי, רציף וחלק באורך L הקשור בקצה אחד לקיר והקצה השני לטבעת חסרת חיכוך ומסה.
צפיפות המיתר היא ρ והמיתר נתון במתיחות T0.
בזמן t=0 צורת המיתר הינה כפי שמתואר בציור:
pic 

א) מה התדירויות העצמיות של המערכת?
ב) מצא/י את צורת המיתר בכל זמן.
ג) שרטט במחשב את המצב ההתחלתי של המיתר ע"י סיכום של 10 אופני התנודה הנמוכים ביותר.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_015.html sol

מיתר מאולץ

מיתר באורך L, צפיפות \rho ומתיחות T מוחזק בנקודות  x=L, x=0. בנקודה  x=0 בניצב למיתר מופעל כוח מחזורי F(t) = F_0\sin\omega_0 t.
נתון כי ברגע t=0 המיתר ישר ומהירותו אפס. מצא את צורת המיתר בכל זמן.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_016.html sol

תנודות מרוסנות במערכת חשמלית

נתונה המערכת הבאה של סלילים וקבלים:


מצא את הזרמים בכל אחד מהסלילים.

CONTRIBUTIONS/e_60_1_017.html sol

מערכת קפיצים מאולצת

נתונה המערכת הבאה של קפיצים ומסות (המסות נעות על משטח אופקי בקו ישר) :



הקפיץ השמאלי קשור לקיר, ועל המסה הימנית פועל הכוח F=F_0\cos\omega t.
הנח כי קיים חיכוך \Gamma קטן מאוד.
מצא את הפתרון הכללי לתנועת המסות בזמנים \Gamma t \gg 1.

    CONTRIBUTIONS/e_60_1_018.html sol

    מערכת קפיצים מאולצת

    שתי משקולות שמסתן m נחות על משטח חסר חיכוך ומחוברות ע"י קפיץ ביניהן. על המסה השמאלית מופעל כוח F=F_0\cos\omega t.
    המערכת שקועה בנוזל צמיג המפעיל על כל אחת מהמסות כוח  -\Gamma \dot x הפרופורציוני למהירות \dot x של כל מסה.
    מצא את הפתרון הכללי לתנועת המסות במצב עמיד (בזמנים \Gamma t \gg 1).


      CONTRIBUTIONS/e_60_1_019.html sol

      מערכת מאולצת

      מטוטלת באורך l מחוברת למסה m ותלויה ממסה m הנמצאת על משטח אופקי ומחוברת לקפיץ. את הקפיץ מניעים כך שקצהו נמצא ב- x(t)=x_0\sin\omega t באשר x_0 היא נקודה מסוימת על המשטח.



      הנח כי תנודות המטוטלת קטנות וקיים חיכוך קטן מאוד במערכת.
      1. מצא את האמפליטודות של תנועת המסות במצב העמיד.
      2. צייר גרף של אמפליטודות כתלות בתדירות.
      3. מהי התדירות של הכוח המאלץ עבורה אחת המסות נייחת? הסבר את התוצאה.

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_020.html sol

      מערכת מטוטלות מצומדות עם ריסון ואילוץ

      נתונה המערכת שבציור:

      pic

      בנוסף קיים כוח החיכוך הפועל על כל מסה ופרופורציוני למהירות: f=-\Gamma\dot x_i כאשר x_i הוא סטייה מנקודת שיווי המשקל של כל מסה.
      1. בהנחה שהכוחות F_L=F_R=0 מצא את אופני התנודה.
      2. מצא את הפתרון העמיד עבור F_L=-F_R=F\cos\omega t
      3. מצא את הפתרון העמיד עבור F_L=F_R=F\cos\omega t

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_021.html sol

      גלי קול בצינור

      בצינור אטום בשני קצותיו נמצא גז בעל צפיפות \rho=0.0014\ \mbox{gr/cm^3} בלחץ P_0=10\ \mbox{dyne/cm^2}. קבוע הגז \gamma=1.4, ואורך הצינור L=\pi \ \mbox{m}.
      1. מהן התדירויות של גלי קול עומדים בתוך הצינור?
      2. ברגע t=0 צורת הגל נתונה ע"י הפונקציה \Psi(z,0)=10\sin 2z\cos 4z + 14\sin 2z \cos 8z באשר z נמדד במטרים, ומהירות הגל אפס. אחרי כמה שניות יקבל הגל שנית את הצורה שהייתה לו בזמן t=0?

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_022.html sol

      מסות מחוברות על טבעת

      שלוש משקולות בעלות מסה m ומוברות בקפיצים זהים בעחי קבוע k מאולצות לנוע על טבעת. בהנחה שתנועה של כל מסה היא במימד אחד (בהזנחת עקמומיות הטבעת) מצא את התדירויות העצמיות ואופני התנודה של התנודות האורכיות.

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_023.html sol

      מיתר מרוסן

      מיתר  באורך L, צפיפות \rho ומתיחות T תפוס בשתי נקודות קצה  x=Lx=0. על המיתר פועל כוח הפרופורציוני למהירות F(x, t) = -2 \gamma \rho \dot\psi(x,t), באשר \psi(x,t) היא העתקת המיתר ו- \gamma קבוע הריסון.
      נתון כי בזמן t=0 העתקת המיתר ומהירותו הם: \dot\psi(x,t=0) = g(x), \;\;\; \psi(x,t=0) = f(x).
      מצא את הביטוי המפורש להעתקת המיתר בכל זמן ( \psi(x,t) ).

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_024.html sol

      מיתר מאולץ בקצה אחד

      מיתר באורך L, מסה ליחידת אורך \mu ומתיחות T קבוע בצידו האחד (x=L, y=0). הקצה השני (ב-x=0) מאולץ, כך ש y(0,t) =A\cos(\omega t). בהזנחת דיסיפציה, מצא את צורת הגל y(x,t).

      CONTRIBUTIONS/e_60_1_025.html sol

      מיתר עם מסה

      מיתר באורך L וצפיפות אורכית \mu, מתוח לאורך ציר x  בין הנקודות 0 ו- L במתיחות T, במתואר בציור.  בנקודה  x=L/4   מחובר למיתר חרוז שמסתו m . המיתר קבוע בקצותיו.
      1. קבל את אופני התנודה, שבהם החרוז במנוחה.
      2. כתוב את תנאי השפה באופן כללי.
      3. השתמש בתנאי השפה מסעיף 2 כדי לחשב את אופני התנודה המתאימים לחרוז שאיננו במנוחה וקבל ביטוי המאפשר חישוב נומרי של מספרי הגל.
      pic.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_001.html

      עוד מסות וקפיצים

      נתונה המערכת הבאה של קפיצים ומסות:

      על המסה הימנית מפעילים כוח (F(t השווה בגודלו (אך הפוך בכיוונו) לכוח שמפעיל הקפיץ השמאלי על המסה השמאלית.
      מצא/י את התנודות העצמיות ואת אופני התנודה של המערכת. הסבר/י את תוצאתך.


      CONTRIBUTIONS/e_60_4_002.html

      הקדמה

      המתג במעגל LC נסגר כאשר הקבל טעון במלואו. בטא/י את המטען על הקבל כפונקציה של הזמן.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_003.html

      הקדמה

      פתור/י את מערכת המשוואות הדפרנציאליות המצומדות הבאות:
      \ddot{x_1}=a_{11}x_1+a_{12}x_2
      \ddot{x_2}=a_{21}x_1+a_{22}x_2

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_004.html

      מערכות בדידות

      נתונות שתי מסות m המחוברות בניהום בקפיץ k, ומחוברות לקירות בעזרת שני קפיצים בעלי קבוע k גם כן. ברגע ההתחלה, שתי המסות משוחררות ממנוחה, כאשר מסה אחת מוזזת למרחק x_0 .
      א) מהן התדירויות העצמיות ומה מציינת כל תדירות עצמית?
      ב) מהו וקטור המיקום של שתי המסות?
      ג) מהי המשמעות הפיסיקלית של כל תנודה?
      ד) מהי אמפליטודת ותדירות הפעימה?
      ה) האם ניתן להבחין בפעימות ברורות במקרה זה?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_005.html

      הקדמה


      פתור/י עבור כל מעגל LC:
      א) במעגל LC הזמן העובר בין מקסימום אנרגיה מגנטית אחד למשנהו הנו  4μs. נתון שקיבול המעגל הוא C=1 nF.מצא/י את זמן המחזור של המעגל ואת ההשראותן.
      ב)  נתון מעגל LC, שבו L=0.2H וזמן המחזור של המעגל הוא T=6.28ms. נתון שהזרם במעגל ב – t=0 הנו מקסימלי וערכו 0.5 אמפר. מצא/י את הקיבול במעגל ורשום/י ביטוי עבור המטען על הקבל כפונקציה של הזמן.
      ג) תכנן/י מעגל LC (מצא/י את ההשראות והקיבול) בו המתח ההתחלתי על  הקבל הוא 100 וולט, הזרם המקסימלי הוא 10 אמפר ותדר התנודות 100 Hz.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_006.html

      הקדמה

      נתונה המערכת הבאה:
      \ddot{x}=-3x+4(2x+0.5y)-3z
                          \ddot{y}=4x+5y-4z
             \ddot{z}=3(3x+2y+2z)-8z
      א) מצא/י את המטריצה הפועלת על הוקטור \left( \begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right) .
      ב) מצא/י את הע"ע ואת הו"ע של מטריצה זו.
        

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_007.html

      הקדמה


      נתונה המערכת הבאה: כדור בעל מסה m תלוי באוויר במרחק d בין שני קירות. הכדור מחובר לקירות בעזרת שני קפיצים בעלי קבוע k.
      קבע/י האם המערכת הנ"ל נעה בתה"פ ואם כן מצא/י את תדר התנודה.
      רמז: המערכת אופקית, לא לשכוח כבידה!
                                                                               

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_008.html

      הקדמה

      נתונה המערכת הבאה:
      \ddot{x}=-3x+4(2x+0.5y)-3z  
      \ddot{y}=4x+5y-4z
      \ddot{z}=3(3x+2y+2z)-8z
      א) מצא/י את המטריצה הפועלת על הוקטור \left( \begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right) .
      ב) מצא/י את הע"ע ואת הו"ע של מטריצה זו. 

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_009.html

      הקדמה

      נתון כדורגל הנבעט לעבר קיר. מסת הכדור היא m=400g, לחץ P=1.2atm, קוטר R=69cm. בהנחה שהכדור מתכווץ מעט בזמן ההתנגשות (x<<R), מצא/י את זמן ההתנגשות של הכדור בקיר.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_010.html sol

      הקדמה

      שני מטענים חיוביים +q  מוחזקים במקומם מרחק L אחד מהשני. חלקיק בעל מטען שלילי –Q ומסה m ממוקם בניהם. החלקיק בעל המטען השלילי מוזז  מרחק קצר בניצב לקו המחבר את המטענים ואז משוחרר (הוא יכול לנוע רק בניצב לשניהם). יש להראות  שהחלקיק ינוע בצורת של אוסילטור הרמוני פשוט בעל זמן מחזור :T=\sqrt{\frac{\epsilon_0m\pi^3L^3}{qQ}}

      נוסחת עזר (וגם רמז):a^b \frac{\partial p}{\partial x}

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_011.html sol sol

      תנודות

      נתון המעגל החשמלי הבא:
      pic
      א. מצא/י את חוק ההשראות  של חיבור משרנים בטור ובמקביל. מה היא ההשראות הכוללת של המעגל ?
      ב. מתג S נמצא במצב ימין למשך τ 2 (פעמיים הזמן האופייני) שניות ולאחר מכן עובר המתגל למצב ימין. מהי התדירות של המערכת ?
      מצא/י את המטען על הקבל כפונקציה של הזמן.
      רמז: כתוב/י תחילה את הנוסחא הכללית, לאחר מכן הגדר/י את תנאי ההתחלה (מתוך הנתונים) ולבסוף, בעזרתם,מצא/י את הקבועים בנוסחא הכללית. נתונים נוספים:
      L=54mH,\;\; C=6.2\mu F,\;\; \epsilon=9V

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_012.html sol sol

      תנודות

      נתון מעגל LC בו L=24.8mH ו- C=7.73\mu F. בזמן t=0 הזרם במעגל הוא I_0=9.16mA , המטען על הקבל הוא q_0=3.83\mu C וכמו"כ ידוע כי הקבל נמצא בטעינה.
      א) מהו המטען המקסימלי על הקבל?
      ב) מהו הזרם המקסימלי והמינימלי?
      ג) מהי הפאזה φ ?
      ד) איך היו משתנות תשובותיך אילו היה ידוע כי הקבל נמצא בפריקה ב-t=0 ?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_015.html sol sol

      תנודות

      נתונה מנהרה צרה וחלקה באורך d שחוצה את כדו"ה כפי שמתואר באיור (שים/י לב כי המנהרה לא עוברת דרך מרכז כדו"ה).
      משחררים בפתחה ממנוחה כדור.
      א) הראה/י כי תנועת הכדור היא תנועה הרמונית פשוטה.
      ב) מצא/י את x(t) – תלות המרחק שעובר הכדור כפונקציה של הזמן.
      נתונים:
      pic
      d=4500km,\;\; M_E=5.98*10^{24}kg,\;\;R_E=6.37*10^6 m 

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_021.html sol sol

      תנודות

      במעגל ה-LC הבא נתון כי בזמן t=0 הקבל הימני טעון במטען q0 והשמאלי פרוק.
      א) מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה של המערכת.
      ב) תן/י ביטוי למטען שעל הקבלים כפונקציה של הזמן.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_022.html sol sol

      תנודות

      במערכת הבאה תלויים צמד חוטים באורך מטר אחד ובקצותיהם שני כדורים בעלי מסה של 25 גרם. שני הכדורים מחוברים בניהם על ידי קפיץ בעל קבוע קפיץ .k=23 N/m בזמן t=0 הכדור השמאלי מוסט בזווית של 0.1 rad.
      א) האם ניתן להשמש בקרוב של זוויות קטנות בבעיה זו?
      ב) מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה של המערכת.
      ג) מה מציינת כל תדירות עצמית?
      ד) מצא/י את הזמן בו המסה הימנית תהיה מוסטת באמפליטודה המכסימלית.
      הערה: ניתן להניח כי הקפיץ תמיד אופקי.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_023.html sol sol

      תנודות

      נתונה מולקולה CO2, כאשרm_c=2*10^{-26}kg,\;\;m_0=2.67*10^{-26}kg  וקבוע הכוח
      הבין-אטומי הואk_{co}=9.836*10^{25}\frac{N}{m\ mole} .
      pic 
      מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה של CO2 . איזה סוג תנועה מציין כל אופן תנודה?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_024.html sol sol

      תנודות

      נתון המעגל החשמלי כפי שמתואר באיור.
      pic 
      א) רשום/י את משוואת התנועה עבור כל אחד מהזרמים.
      ב) נתונים תנאי ההתחלה V(C_1)=V_{01},\;\;V(C_2)=V_{02},\;\;I_1(0)=I_2(0)=0.
      מצא/יאת קבועי התנועה.
      ג) האם מתקבלות פעימות ברורות בבעיה זו ? למה? איזה רכיב יש לשנות (ובכמה) על מנת לקבל פעימות בהם היחס בין ω bלבין ω av הוא 1:1000

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_025.html sol sol

      תנודות

      נתונות מסות זהות m הקשורות בקפיצים בעלי קבוע k לקירות ובקפיץ k’ בניהן כפי שמתואר באיור. בתחילת התנועה שתי המסות נמצאות במנוחה והמסה הימנית מוזזת שמאלה למרחק A מנקודת שיווי המשקל.
      א) רשום/י את משוואות התנועה, מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה (כלומר את יחסי האמפליטודות של כל תדירות עצמית).
      ב) מה מציינת כל תדירות עצמית?
      ג) מה הן הפעימות המתקבלות ומה צריך להיות היחס בין k1 לבין 2k ע" משהיחס בין תדירות הפעימות לבין התדירות הממוצעת היא 1:50 ?
      pic 

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_026.html

      מערכות בדידות

      נתונה המערכת הבאה של קפיצים ומסות:

      המערכת מתחילה ממנוחה, כאשר המסה הימנית נמצאת במרחק x0 מימין לנקודת ש.מ.
      א) מהן משוואות הכוחות הפועלים על שתי המסות?
      ב) מהן התדירויות העצמיות ומהם אופני התנודה של המערכת? מה המשמעות של כל אחד?
      ג) רשום/י את וקטור המיקום עבור שתי המסות.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_027.html

      מערכות בדידות

      נתונות מסות זהות m הקשורות בקפיצים בעלי קבוע k1 לקירות ובקפיץ k2 בניהן כפי שמתואר באיור. בתחילת התנועה שתי המסות נמצאות במנוחה והמסה הימנית מוזזת שמאלה למרחק A מנקודת שיווי המשקל.
      א) רשום/י את משוואות התנועה, מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה (כלומר את יחסי האמפליטודות של כל תדירות עצמית).
      ב) מה מציינת כל תדירות עצמית?
      ג) מה הן הפעימות המתקבלות ומה צריך להיות היחס בין k1 לבין 2k ע"מ שהיחס בין תדירות הפעימות לבין התדירות הממוצעת היא 1:75 ?
                                                                 

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_028.html

      מערכות בדידות

      נתונה מטוטלת במשקל 250 gr המחוברת בעזרת חוט באורך 1.5 m לגוף בעל מסה של 2.5 kg, המחובר לקיר בעזרת קפיץ בעל קבוע של k=2 kN/m.

      המערכת משוחררת מנקודת ש.מ. כאשר הגוף נע שמאלה במהירות של 1.5 m/s. מצא/י את התדרים העצמיים ואת אופני התנודה של המערכת.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_029.html

      מערכות בדידות

      נתונות מסות זהות m הקשורות בקפיצים בעלי קבוע k לקירות ובניהן כפי שמתואר באיור. בתחילת התנועה שתי המסות נמצאות במנוחה והמסה הימנית מוזזת שמאלה למרחק x0 מנקודת שיווי המשקל.
      א) רשום/י את משוואות התנועה.
      ב) מצא/י את התדירויות העצמיות.
      ג) מצא/י את וקטור ההעתק של המערכת.
      ד)מצא/י את אופני התנודה.
      ה) מה מציינת כל תדירות עצמית?
      ו) מה היא תדירות ואמפליטודת הפעימות המתקבלות?
      ז) האם ניתן יהיה להבחין בפעימות בבעיה זו?


      CONTRIBUTIONS/e_60_4_030.html

      גבול הרצף

      נתון מיתר באורך 4.775 m, מסה 2 gr, רדיוס 1 cm התלוי בין שני קירות המרוחקים 125 cm זה מזה במתיחות של 7N. ב-t=0  המיתר מתוח (במנוחה) לצורה סינוסואידלית.
       א) מה הם תנאי השפה, ומה הם תנאי ההתחלה?
       ב) מה הוא הפתרון המפורש, כלומר מה הוא פתרון משוואת הגלים?
       ג) מה היא מהירות הפאזה?
      ד) מה היא התדירות הנמוכה ביותר האפשרית במערכת?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_031.html sol sol

      תנודות

      א) הגדר/י מתמטית מהם תנאי שפה מחזוריים (למשל קצה אחד של חוט מחובר לקצה השני), והגדר/י מתמטית מהו תנאי שפה של קצה חופשי.
      רמז: ניתן להתייחס לקצה החופשי כאל כדור חסר מסה, ומכאן נסה/י להתייחס לכוחות הפועלים בקצה זה של המיתר.
      ב) נתונה טבעת אלסטית באורך 125 cm, מסה 2 gr, רדיוס 1 cm. ב-t=0 הטבעת מתוחה במתיחות של 7Nלצורה סינוסואידלית (ונמצאת במנוחה).
      הגדר/י מה הם תנאי השפה, ומה הם תנאי ההתחלה?
      ג) מה הוא הפתרון המפורש, כלומר מה הוא פתרון משוואת הגלים?
      ד) מה היא מהירות הפאזה?
      ה) מה היא התדירות הנמוכה ביותר האפשרית במערכת?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_032.html sol sol

      תנודות

      א) איזו מבין הפונקציות הבאות אינה מתארת גל:
      \psi(x,t)=f(x+vt), psi(x,t)=A\sin(x-at^2), \psi(x,t)=\frac{9A}{13(x-vt)^3}
      ב) הוכח/י כי גל עומד הנתון בנוסחה \psi(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t) מורכב מסופרפוזיציה של שני גלים והסבר/י למה הם מוגדרים כגלים נוסעים.
      ג) נתון גל עומד התואר על ידי \psi(x,t)=0.04\sin(5\pi x)\cos(40\pi t).
      מצא/י את:
      I) תדירות הגל.
      II) מהירות הפאזה של שני הגלים הנוסעים המרכיבים אותו.
      III) המשרעת של שני הגלים הנוסעים המרכיבים אותו.
      ד) האם ניתן לנוע מהר יותר ממהירות הפאזה? האם מהירות הפאזה יכולה להיות יותר גדולה ממהירות האור?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_033.html sol sol

      תנודות

      נתון מיתר רציף וחלק התפוס בין שני קירות המרוחקים במרחק L זה מזה. צפיפות המיתר היא ρ והמתיחות T0.
      בזמן t=0 המיתר מוחזק במנוחה בצורת משולש שווה שוקיים שגובהו h:
      pic 
      א) כתוב את משוואת הגלים עבור גל עומד הנוצר במיתר.
      ב) מהם תנאי ההתחלה ומהם תנאי השפה בבעיה?
      ג) מצא את צורת המיתר בזמן כלשהו.
      ד) מהי התדירות הנמוכה ביותר במערכת?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_034.html sol sol

      תנודות

      נתון מיתר חלק ורציף באורך L וצפיפות ρ הנמצא במצב אופקי.
      המיתר מחובר לקירות בשני קצותיו במתיחות T0. בזמן t=0 מנדנדים אנכית את המיתר ממצבו ההתחלתי כך שמהירותו ההתחלתית נתונה על ידי \omega_0A_0\frac{\sin[k_0(L-x)]}{\sin(k_0L)} , כאשר ω 0, k0, A0 הנם קבועים.
      א) מה הם תנאי ההתחלה ותנאי השפה בבעיה ?
      ב) מצא/י את הפתרון המפורש.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_035.html

      גל עומד

      נתון מיתר אלסטי, רציף וחלק התפוש בין שני קירות המרוחקים במרחק  L זה מזה. צפיפות המיתר היא ρ והמיתר נתון במתיחות T0. בזמן t=0 המיתר מוחזק במנוחה בצורה משולשית בגובה h:
       
      א) מה היא משוואת הגלים עבור גל עומד הנוצר במיתר ?
      ב) מהם תנאי ההתחלה ומהם תנאי השפה בבעיה?
          רמז: עבור ת"ה חלק/י את  \Psi(x,0) לחלקים פשוטים!
      ג) מצא/י את הגל הנוצר בבעיה (הפתרון המפורש).
      ד) מהי התדירות הנמוכה ביותר במערכת ?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_036.html

      עוד גל עומד

      נתון מיתר חלק ורציף באורך L וצפיפות ρ הנמצא במצב אופקי.
      המיתר מחובר לקירות בשני קצותיו במתיחות T0.
      בזמן t=0 מנדנדים אנכית את המיתר ממצבו ההתחלתי כך שמהירותו ההתחלתית נתונה על ידי  \left{A_0\omega_0x\hspace{45}x<\frac{L}{2}\\A_0\omega_0(L-x)\hspace{10}\frac{L}{2}<x<L,
      כאשר ω0, A0 הנם קבועים.
      א) מה הם תנאי ההתחלה ותנאי השפה בבעיה ?
      ב) מצא/י את הפתרון המפורש.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_037.html sol

      תנודות

      נתון מיתר רציף וחלק התפוס בין שני קירות המרוחקים במרחק L זה מזה. צפיפות המיתר היא ρ והמתיחות T0.
      בזמן t=0 המיתר ישר ומהירות המיתר הינה כפי שמתואר בציור (משולש שווה שוקיים שגובהו h):
      pic 

      א) כתוב את משוואת הגלים עבור גל עומד הנוצר במיתר.
      ב) מהם תנאי ההתחלה ומהם תנאי השפה בבעיה?
      ג) מצא את צורת המיתר בזמן כלשהו.
      ד) מהי התדירות הנמוכה ביותר במערכת?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_038.html

      מערכות בדידות - n דרגות חופש

       נתון קו התמסורת הבא:

      א) רשום/י את משוואת הזרמים עבור האלמנט ה-n-י.
      ב) פתח/י את משוואת הגלים עבור גבול הרציפות.
      ג) מהו יחס הנפיצה?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_039.html

      משוואת גלים

      א) הגדר/י מתמטית מהם תנאי שפה מחזוריים (למשל קצה אחד של חוט מחובר לקצה השני), והגדר/י מתמטית מהו תנאי שפה של קצה חופשי.
      רמז: ניתן להתייחס לקצה החופשי כאל כדור חסר מסה, ומכאן נסה/י להתייחס לכוחות הפועלים בקצה זה של המיתר.
      ב) נתון מיתר אלסטי, רציף וחלק באורך L הקשור בקצה אחד לקיר והקצה השני לטבעת חסרת חיכוך ומסה. צפיפות המיתר היא ρ והמיתר נתון במתיחות  T0. בזמן t=0
      צורת המיתר הינה כפי שמתואר בציור:

      מה התדירויות העצמיות של המערכת?
      ג) מה הוא הפתרון המפורש, כלומר מה הוא פתרון משוואת הגלים?
      ד) מה היא מהירות הפאזה?
      ה) מה היא התדירות הנמוכה ביותר האפשרית במערכת?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_040.html

      משוואת הגלים

      א) איזו מבין הפונקציות הבאות מתארת גל:
      \psi(x,t)=f(x+vt), psi(x,t)=A\sin(x-at^2), \psi(x,t)=\frac{9A}{13(x-vt)^3}
      ב) עבור מיתר קיבלנו שמהירות הפאזה היא  v=\sqrt{\frac{T_0}{\rho}}. מה תהיה מהירות הקול במוצקים (למשל פלדה)? רמז: הפרמטרים בנוסחה הנ"ל הם חד מימדיים. נסה/י להחליף אותם בפרמטרים תלת מימדיים!
      ג) נתון מיתר אינסופי בעל צפיפות מסה \rho  ומתיחות T. מהירותו הרוחבית ההתחלתית נתונה ע"י \dot\Psi(x,t=0)=Ax\exp(-\alpha x^2) באשר \alpha>0.
          מה צריכה להיות ההעתקה ההתחלתית של המיתר כדי שיווצר גל מתקדם בכוון החיובי של ציר x? מה תהיה מהירות ההתקדמות שלו?
      ד) האם ניתן לנוע מהר יותר ממהירות הפאזה? האם מהירות הפאזה יכולה להיות יותר גדולה ממהירות האור?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_041.html

      גל עומד

      נתון מיתר אלסטי, רציף וחלק התפוש בין שני קירות המרוחקים במרחק  L זה מזה. צפיפות המיתר היא ρ והמיתר נתון במתיחות T0. בזמן t=0 המיתר מוחזק במנוחה בצורה משולשית בגובה h:
       א) הגדר/י מתמטית מהם תנאי שפה מחזוריים (למשל קצה אחד של חוט מחובר לקצה השני), והגדר/י מתמטית מהו תנאי שפה של קצה חופשי.
          רמז: ניתן להתייחס לקצה החופשי כאל כדור חסר מסה, ומכאן נסה/י להתייחס לכוחות הפועלים בקצה זה של המיתר.
      ב) מה היא משוואת הגלים עבור גל עומד הנוצר במיתר ?
      ג) מהם תנאי ההתחלה ומהם תנאי השפה בבעיה?
          רמז: עבור ת"ה חלק/י את  \Psi(x,0) לחלקים פשוטים!
      ד) מצא/י את הגל הנוצר בבעיה (הפתרון המפורש).
      ה) מהי התדירות הנמוכה ביותר במערכת ?

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_042.html

      משוואת גלים

      נתון מיתר חלק ורציף באורך L וצפיפות ρ הנמצא במצב אופקי.המיתר מחובר לקיר בקצהו הימני וקצהו השמאלי חופשי לנוע למעלה ולמטה (כמתואר באיור) במתיחות T0.
      בזמן t=0 מנדנדים אנכית את המיתר ממצבו ההתחלתי כך שמהירותו ההתחלתית נתונה על ידי  \left{A_0\omega_0x\hspace{45}x<\frac{L}{2}\\A_0\omega_0(L-x)\hspace{10}\frac{L}{2}<x<L,
      כאשר ω0, A0 הנם קבועים.
      א) מה הם תנאי ההתחלה ותנאי השפה בבעיה ?
      ב) מצא/י את הפתרון המפורש.

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_120.html

      תנודות

      במעגל ה-LC הבא נתון כי בזמן t=0 הקבל הימני טעון במטען q0 והשמאלי פרוק. a^b \frac{\partial p}{\partial x}
      א) מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה של המערכת.
      ב) תן/י ביטוי למטען שעל הקבלים כפונקציה של הזמן.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_121.html

      תנודות

      נתונות מסות זהות m הקשורות בקפיצים בעלי קבוע k1 לקירות ובקפיץ k2 בניהן כפי שמתואר באיור. בתחילת התנועה שתי המסות נמצאות במנוחה והמסה הימנית מוזזת שמאלה למרחק A מנקודת שיווי המשקל.
      א) רשום/י את משוואות התנועה, מצא/י את התדירויות העצמיות ואת אופני התנודה (כלומר את יחסי האמפליטודות של כל תדירות עצמית).
      ב) מה מציינת כל תדירות עצמית?
      ג) מה הן הפעימות המתקבלות ומה צריך להיות היחס בין k1 לבין k2 ע" משהיחס בין תדירות הפעימות לבין התדירות הממוצעת היא 1:100 ?
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_60_4_122.html

      פעימות

      הציור מלמטה מראה את גובה הגאות במקום ושמו Pakhoi .  הגאות ניתנת לתיאור כגל. העקומה בתיאור מורכבת משני גלים (האחד נגרם על ידי השמש והשני על ידי הירח) מחזוריים בעלי תדירות שונה במעט המתאבכים ויוצרים פעימות.
           א) מהי תדירות הפעימה ומהן התדירויות של שני הגלים?
           ב) מהו זמן המחזור שלהם?
           ג) איזה גל נגרם ע"י השמש ואיזה ע"י הירח?


      CONTRIBUTIONS/e_63_1_001.html sol

      פולס במיתר

      נתון מיתר בעל מתיחות T_0=125N וצפיפות אורכית \rho=200g/m. מפעילים על קצה המיתר הנמצא ב- x=0 העתקה רוחבית \Psi(0,t)=0.01\left[t/T-(t/T)^2\right] (במטרים) בין t=0 ל- t=T=0.25\ \text{sec}. בשאר הזמנים ההעתקה היא אפס.
      1. חשב את הכוח הפועל על אלמנט המסה ב- x=0 ואת מהירותו בכל זמן.
      2. במשך כמה זמן עובר הפולס את הנקודה x=2m?
      3. איזה אורך של המיתר תופס הפולס ב-t=3T?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_002.html sol

      גל נע במיתר

      נתון מיתר בעל מתיחות T וצפיפות \rho שקשור לקפיץ בעל קבוע k.
      הקפיץ מחובר לבוכנה מתנדנדת שהמיקום שלה מתואר ע"י  D(t)=A\cos\omega t סביב נקודת האפס שלה.
      אם הקפיץ רפוי, אזי D(t)=0, \; y(x=0,t)=0.
      מצא את את הגל y(x,t) הנוצר במיתר (האמפליטודה והפאזה).


      CONTRIBUTIONS/e_63_1_003.html sol

      פתרון D'Alembert למשוואת גלים

      הראה כי הפתרון הכללי למשוואת הגלים
      \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}    הוא   y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_004.html sol

      משוואת Klein-Gordon

      עבור משוואת   Klein-Gordon  
      \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-\omega_0^2 y + v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
      1. מצא את מהירות הפאזה
      2. הסבר את צורת הפתרונות במקרים הבאים: \omega_0^2<\omega^2\omega_0^2>\omega^2\omega_0^2=\omega^2.

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_005.html sol sol

      מעבר גלי קול באוויר

      גלי קול מקיימים משוואת הגלים עם יחס הנפיצה \omega=vk באשר v=322\,m/s היא מהירות הפאזה באוויר.
      עבור תנודות אורכיות במערכת של גופים בעלי מסות M וקפיצים בעלי קבוע K יחס הנפיצה הוא \omega^2=\frac{4K}{M}\sin^2\left(\frac12ka\right) (a הוא המרחק בין המסות בשיווי המשקל).
      חשב את יחס הנפיצה בגבול הרצף ובהנחה שהמהלך החופשי של מולקולה באוויר הוא כ- 10^{-5}\,cm (כלומר המרחק שהמולקולה עוברת עד שהיא מתנגשת במולקולה אחרת).
      מצא (מתוך אנלוגיה ושיקולים פיסיקליים) מהי התדירות המקסימלית אותה ניתן להעביר באוויר.

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_006.html sol

      קו תמסורת


      נתון קו התמסורת הבא:

      1. חשב את יחס הנפיצה של המערכת, \omega(k). מה קורה בגבול הרצף a\to 0 (כאשר C/a, L/a, C_0/a נשארים קבועים)?
      2. מהי מהירות הפאזה? האם היא יכולה להיות גדולה ממהירות האור?
      3. האם המערכת יכולה לשמש כפילטר? אם כן, עבור תדירויות גבוהות או נמוכות?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_007.html sol sol

      גלים מתקדמים בטווח ללא נפיצה

      1. הראה כי כל פונקציה מהצורה  \Psi(x,t)=f(x-vt) פותרת את משוואת הגלים \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}.
      2. נתון מיתר אינסופי בעל צפיפות מסה \rho  ומתיחות T.
        מהירותו הרוחבית ההתחלתית נתונה ע"י \dot\Psi(x,t=0)=Ax\exp(-\alpha x^2) באשר \alpha>0.
        מה צריכה להיות ההעתקה ההתחלתית של המיתר כדי שיווצר גל מתקדם בכוון החיובי של ציר x? מה תהיה מהירות ההתקדמות שלו?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_008.html sol sol

      תיאום עכבות

      נתונים שלושה אזורים בעלי עככות Z_1, Z_2 , Z_3 (לדוגמא, 3 מיתרים בעלי מתיחות שווה וצפיפות מסה שונה).

      1. מצא ביטוי למקדם ההחזרה.
      2. נתון Z_1< Z_2 < Z_3. מהו התנאי שלא תהיה החזרה באזור הראשון?
      3. נתון Z_1= Z_3 וכן Z_1\approx Z_2. איך נראה הגל באזור x<0?
      4. בתנאים של הסעיף הקודם, מהו היחס בין העוצמה של הגל הפוגע לעוצמה של הגל המוחזר?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_009.html sol

      תיאום עכבות בקו תמסורת

      נתון קו התמסורת הבא:

      באשר V(t)=V_0\cos\omega t
      1. מצא את העכבה של קו התמסורת בגבול הרצף a\to 0.
      2. בסוף קו התמסורת בצד ימין מחברים עומס Z_L. מה צריך להיות העומס Z_L, כדי שלא ייווצר גל חוזר בקו התמסורת?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_010.html sol sol

      מיתר קשור לקפיץ

      מיתר חצי אינסופי שצפיפותו האורכית היא \mu, מתוח במתיחות T בחלק השלילי של ציר x. קצהו ב-x=0 מחובר לקפיץ חסר מסה באורך a וקצהו השני קבוע ב-x=a .
      גל הרמוני במשרעת A ותדירות זוויתית \omega בא משמאל.

      1. מהם תנאי השפה?
      2. חשב את המשרעת של הגל החוזר (כולל פאזה).
      3. מהי זווית השיפוע של המיתר ב-x=0 ? האם היא תלויה בזמן?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_011.html sol sol

      מקדם ההחזרה

      שני מיתרים חצי אינסופיים מחוברים בנקודה x=0 לטבעת חסרת מסה, החופשית להחליק ללא חיכוך על מוט אנכי. המתיחות והצפיפות של המיתר השמאלי והימני הם \mu_1,T_1 ו-\mu_2,T_2 בהתאמה. מצא את מקדם ההחזרה לגל הבא משמאל.


      CONTRIBUTIONS/e_63_1_012.html sol sol

      מיתר קשור לקפיץ

      במיתר אינסופי שמתיחותו T וצפיפותו האורכית \mu, מתקדם גל הרמוני הבא משמאל. בנקודה x=0 המיתר מחובר לקפיץ ניצב חסר מסה ובעל קבוע k.
      חשב את האמפליטודות והפאזות של הגל החוזר ושל הגל העובר.

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_013.html sol sol

      שלושה מיתרים מחוברים

      שלושה מיתרים מחוברים בניהם בנקודות x=0,a. מתיחותם היא T וצפיפותם \mu_1,\mu_2,\mu_3, כאשר המיתרים 1,3 הם חצי אינסופיים.
      גל הרמוני בתדירות זוויתית \omega ואמפליטודה A מגיע משמאל.
      נתון שבמיתר הראשון אין גל חוזר.

      1. מהם תנאי השפה ב-x=0 וב-x=a?
      2. הוכח שמתקיים  \frac{(k_2-k_1)(k_2+k_3)}{(k_2-k_3)(k_2+k_1)}=\mbox{e}^{-2\imath a k_2}  באשר k_1,k_2,k_3 הם מספרי הגל המתאימים.
      3. מצא את הקשרים בין הצפיפויות \mu שמאפשרים את המצב הנתון (ללא גל חוזר). שים לב שיש שתי אפשרויות.
      4. מה צריך להיות האורך של המיתר האמצעי בכל אחד מהמקרים האלה?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_014.html sol

      שלושה מיתרים

      שלושה מיתרים חצי אינסופיים נמצאים במישור x-y ומחוברים זה לזה כבציור. נתון כי מתיחות המיתר שלאורך ציר x היא T_1. צפיפות שלושת המיתרים היא \rho. מקור בעל תדירות \omega ואמפליטודה A מתנדנד הרמונית ב-x=-\infty בכיוון z.
      1. חשב את מקדם ההחזרה ואת מקדמי ההעברה למיתרים 2 ו-3. בדוק את תשובתך במקרים \theta = 0 ו-\theta = \pi/2.
      2. מהי הזווית 0<\theta < \pi/2 שעבורה מקדמי ההעברה מקסימליים?
      3. מה היה שונה בפתרון (אם בכלל) אם תנודות המקור היו בכיוון y?

      CONTRIBUTIONS/e_63_1_015.html sol

      קו תמסורת

      נתון קו התמסורת הבא:
      ???
      1. חשב את יחס הנפיצה.
      2. האם המעגל החשמלי הנתון משמש כמסנן? הסבר.
      3. פתח את משוואת הגלים עבור הזרם בסלילים בגבול הרצף a\to 0.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_001.html sol

      סיב אופטי

      נתונות שתי קרניים הנכנסות לסיב אופטי כמתואר באיור. קרן אחת נכנסת לסיב בזווית ישרה, והשנייה נכנסת בזווית הכניסה המכסימלית. מכיוון ששתי הקרניים נעות בדרכים אופטיות שונות, ייקח להם זמן שונה לחצות את הסיב לאורכו. בהנחה שאורך הסיב הוא L, הראה/י כי הפרש הזמנים בין שתי הקרניים הוא

      ב) הערך/י את עבור:

      ג) בהנחה ששתי הקרניים קוהרנטיות, מצא/י את התדר המינימאלי שעבורם יתאבכו הקרניים התאבכות הורסת ביצי אה מהסיב.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_041.html sol sol

      גלים מתקדמים

      שלושה מיתרים חצי אינסופיים מחוברים בניהם בנקודה x=0 כפי שמתואר באיור. המיתרים בעלי אימפדנסים Z1, Z2, Z3 בהתאמה. גל במישור הדף נשלח במיתר הראשון אל נקודת החיבור. הנח/י כי כל הגלים הם רוחביים.
      א) חשב/י את מקדמי ההעברה וההחזרה.
      ב) איך הייתה משתנה תשובתך אילו הגל המגיע היה ניצב למישור הדף ?
      ג) מה הוא Z3 כך שלא תתקבל החזרה כלל במיתר 1.
      ד) בהנחה שאמפליטודת הגל המגיע היא A, מצא/י את ההספק הממוצע המגיע, העובר (בכ" א מהמיתרים) והמוחזר.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_042.html sol sol

      גלים מתקדמים

      א) פתח/י את הביטוי עבור העקבה בקו תמסורת בו מקדם ההשראות הוא L והקיבול הוא C.
      ב) מצא/י את המשוואה המקשרת בין המתח לזרם בקו התמסורת בעזרת האימפדנס. לאיזו משוואה (מפיסיקה 2) דומה המשוואה שנתקבלה?
      אם כן, מהי המשמעות הפיסיקלית של העקבה בקו התמסורת ?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_043.html sol sol

      גלים מתקדמים

      נתונים שני מיתרים B ,A בעלי עכבות Z, 3Z בהתאמה המחוברים על ידי טבעת חסרת מסה בנקודה x=0. גל בעל צורה \psi_1(x,t)=a\cos(\omega t-k_1x) מגיע לטבעת מכיוון מיתר A וגל בעל צורה  \psi_2(x,t)=na\cos(\omega%20t+k_2x) מגיע לטבעת מכיוון מיתר B. מהו ערכו של n על מנת שלא ייווצר גל חוזר במיתר A ?
      pic 

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_044.html sol sol

      גלים מתקדמים

      נתונים שני מיתרים A, B. עבור שני מיתרים אלו נתון כי ZA> ZB.
      א) נתון כי גל מהצורה  \psi_A(x,t)=a\cos(\omega%20t-k_Ax) מגיע מכיוון מיתר A. מצא/י את הגל החוזר.
      ב) נתון כי גל מהצורה \psi_B(x,t)=a\cos(\omega%20t+k_Bx)  מגיע מכיוון מיתר B. מצא/י את הגל החוזר.
      ג) הבע/י את התשובות לשני הסעיפים הקודמים בעזרת שרטוט. איזו מסקנה כללית ניתן לנסח עבור האמפליטודה של הגל הכולל ?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_045.html sol sol

      גלים מתקדמים

      א) השיא העולמי עבור ההופעה הרועשת ביותר נקבע על ידי ה-Who
      ב-1976. עוצמת הקול במרחק 46 מטרים מהבמה נמדדה כ-\beta=120dB. לשם השוואה עוצמת הרעש שמפיק פטיש אוויר היא\beta=92dB. פי כמה גדולה יותר הייתה עוצמת הקול (I) בהופעה ביחס לעוצמת הקול שמפיק פטיש אוויר?
      ב) מה היא ההנחתה (ביחידות dB) של עוצמת אור העובר דרך חלון בעל מקדם שבירה n =1.5 ? 

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_046.html

      גלים נוסעים

      א) פתח/י את הביטוי עבור העקבה בקו תמסורת בו מקדם ההשראות הוא L  והקיבול הוא C. מהי המשמעות הפיסיקלית של העקבה בקו התמסורת ?
      ב) פתח/י את משוואת הגלים של גלים אלקטרומגנטיים (עבור שדה חשמלי או מגנטי). התחל/י מארבעת משוואות מקסוול (בניסוח דפרנציאלי):
      a^b \frac{\partial p}{\partial x}    
          הנחייה: גזור/י את המשוואות האחרונות והצב/י אח"כ את הראשונות.
      ג) מהי מהירות הפאזה של גלים א"מ בואקום המתקבלת? מצא/י את  העקבה של הואקום עבור גלים א"מ. (רמז: מהו "כוח מחזיר" ומהו"גורם אינרציה" עבור גלים אלו). מה היחידות המתקבלות?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_047.html

      גלים נוסעים

      א) גל מהצורה\Psi_i(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)  מתקדם לעבר קיר המחזיר בשלמות ב-x=0. מהו הגל הכולל לאחר ההחזרה?
      ב) גל מהצורה\Psi_i(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)  מתקדם ואקום ב-x=0. מהו הגל הכולל לאחר ההחזרה?
      1.\Psi(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)+Acos(\omega{t}-kx-\phi)
      2.\Psi(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)-Acos(\omega{t}-kx+\phi)
      3.\Psi(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)-Acos(\omega{t}+kx-\phi)
      4.\Psi(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)-Acos(\omega{t}-kx+\phi)
      5.\Psi(x,t)=Acos(\omega{t}-kx+\phi)+Acos(\omega{t}-kx+\phi)

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_048.html

      גלים נוסעים

      נתונים שני מיתרים A,B ארוכים הקשורים לטבעת החופשית לנוע לאורך מוט אנכי. העקבה של מיתר A היא Za. גל בתדירות \omegaואמפליטודה A נשלח מהקצה השמאלי. כתוצאה מכך הטבעת מתנדנדת באמפליטודה של 0.5a. כמו"כ נתונים ka, kb.
      א) מהי פונקציית הגל עבור x>0 ,x<0?
      ב) מהו Zb?
      ג) מהו ההספק הממוצע המגיע, העובר והחוזר?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_050.html

      מהירות פאזה ומהירות חבורה

      עבור גלי אור, מגדירים את מקדם השבירה להיות  n=\frac{c}{v_\phi} כאשר vφ מהירות הפאזה. נתון n^2=1-\frac{\omega_{0}^2}{\omega^2}.
      א) הראה\י כי  \omega^2=\omega_0^2+c^2k^2 (שים/י לב כי k יכול להיות מרוכב).
      ב) עבור המקרה a^b \frac{\partial p}{\partial x}, מהי מהירות הפאזה ומהירות החבורה עבור גלים אלה?
      ג) הראה/י שבתדירויות  \omega\geq\omega_0 מתקיים   v_g\leq{c}\leq{v_\phi}.
      ד) מהו תחום התדירויות הזוויתיות ω , שבו k^2 הוא שלילי? מה היא המשמעות ? מה יקרה לגל בעל k שלילי?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_051.html sol sol sol

      גלים מתקדמים

      מקדם ההחזרה של גל אופטי העובר מתווך בעל מקדם שבירה n1 לתווך בעל מקדם שבירה n2 הוא R_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} . נתונים שני לוחות זכוכית עם מקדם שבירה 1.8 = n וביניהם שכבת אויר (1=n) בעובי L.
      pic
      נתון גל פוגע בלוח השמאלי\psi_1(x,t)=A\cos(\omega t-k_1x) .
      א)הסבר/י מדוע הגל החוזר\psi_2 ממשטח הגבול השמאלי (\alpha) הוא מהצורה\psi_2(x,t)=B\cos(\omega%20t+k_1x) וחשב/י את B/A .
      ב)הסבר/י מדוע בהחזרה חלשה |R_{12}\ll 1 הגל החוזר ממשטח הגבול
      הימני  (\beta) , לאחר שעבר ללוח השמאלי, הוא \psi_3(x,t)=-B\cos(\omega t+k_1x-2k_2L) ומצא/י את k_1/k_2.
      ג)בהנחה שאלו הגלים החוזרים היחידים הראה/י שאין החזרה כאשר אורך הגל \lambda_2 באוויר מקייםL=\frac{n}{2}\lambda_2 . מצא/י את היחס L/\lambda_1 שעבורו ההחזרה היא מקסימאלית.
      ד)מצא/י את היחס בין עוצמת הגל הפוגע (בשכבת האוויר) לבין עוצמת הגל החוזר.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_052.html sol sol

      גלים מתקדמים

      קשר הנפיצה בתחום מסוים של גלים אלקטרומגנטיים בזכוכית הוא בקירוב טוב:
       c^2k^2=\omega^2\left[1+\frac{\omega_p^2}{\omega_0^2-\omega^2}\right] ,כאשר c  היא מהירות האור בריק והקבועים ω 0 ו- ω p הם ממשיים.
      א) מהו תחום התדירויות הזוויתיות ω , שבו k2 הוא שלילי? מה היא המשמעות ?
      ב) חשב/י מהירות החבורה   vg כפונקציה של ω .
      ג) הראה/י שבתדירויות גבוהות \omega^2>\omega_0^2+\omega_p^2 מתקיים V_g>c>V_p .

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_053.html sol sol

      גלים מתקדמים

      א) נתון כי בתווך מוליך מקדם השבירה עבור אותות חשמליים (המעוברים בעזרת גלים א" מ)נתון על ידי n(\omega)=\sqrt{\frac{2\pi\sigma\mu}{\omega}} , כאשר c היא מהירות האור בריק, σ היא המוליכות הסגולית ו-μ היא החלחלות (פרמביליות) המגנטית. מצא/י את מהירות החבורה בתווך זה בהנחה שהמוליכות והחלחלות לא תלויים בתדירות.
      ב) מצא/י את היחס בין מהירות הפאזה למהירות החבורה בנחושת. נתון כי עבור נחושת\rho=1.69*10^{-8}\Omega\ m, \;\; k_\mu-1=-9.7*10^{-6}  . מה ניתן להגיד על אותות חשמליים העוברים בכבלי נחושת?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_054.html sol sol

      גלים מתקדמים

      א) נתון לוח זכוכית בעל מקדם שבירה n=1.8. לוח הזכוכית מצופה בשכבה דקה למניעת החזרות עבור אור באורך גל\lambda=589nm . מצא/י את עובי השכבה ואת מקדם השבירה שלה.
      pic

      ב) תאר/י, ע" פ מה שלמדת, עקרונית את אופן פעולתה של מראה חד כיוונית.
      ג) האם תתכן מראה חד כיוונית מושלמת?
      ד) ע" פ התנאים של סעיף א', מה היה עובייה ומקדם השבירה של שכבת הציפוי עבור יצירת מראה חד-כיוונית.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_055.html

      התאבכות וקרינה סלולרית

      נתונות שתי אנטנות סלולאריות הנמצאות במרחק L זו מזו. האנטנות משדרות אות סינוסואידלי זהה בתדר 1000 MHz אבל בהפרש של Δt זו מזו.משמאל לזוג האנטנות נמצאת עיר 'הירוקים' ומימין עיר 'הצרכנים'.
      א) רשום/י את סכום הגלים הנעים אל עיר 'הירוקים' ואת סכום הגלים הנעים אל עבר עיר 'הצרכנים'
      ב) מצא/י את L ו- Δt כך שבעיר 'הירוקים' תהיה התאבכות הורסת של האות, ובעיר 'הצרכנים' התאבכות בונה.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_056.html

      החזרות

      איך עובד CD?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_057.html

      מהירות פאזה וגלי צונאמי


      עבור גלים בים יחס הדיספרסיה נתון ע"י: v_\phi=\sqrt{(\frac{g\lam}{2\pi}+\frac{2\pi\t}{\rho\lam})tanh(\frac{2\pi D}{\lam})}
      צריך למצוא את מהירות הפאזה ומהירות החבורה במקרים הבאים:
      א) עומק המים גדול ואורך הגל קצר
      ב) עומק המים גדול ואורך הגל ארוך, אולם קטן יותר מעומק המים
      ג) עומק המים גדול ואורך הגל ארוך יותר מעומק המים
      ד) עבור עומק אוקיינוס ממוצע של 2500 מטרים, אילו גלים יצליחו להתקדם (או מדוע גלי צונאמי כ"כ גבוהים?)

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_058.html

      גלים מתקדמים

      מקדם ההחזרה של גל אופטי העובר מתווך בעל מקדם שבירה n1 לתווך בעל מקדם שבירה n2 הוא R_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} . נתונים שני לוחות זכוכית עם מקדם שבירה 1.45 = n וביניהם שכבת אויר (1=n) בעובי L.
      pic
      נתון גל פוגע בלוח השמאלי\psi_1(x,t)=A\cos(\omega t-k_1x) .
      א)הסבר/י מדוע הגל החוזר\psi_2 ממשטח הגבול השמאלי (\alpha) הוא מהצורה\psi_2(x,t)=B\cos(\omega%20t+k_1x) וחשב/י את B/A .
      ב)הסבר/י מדוע בהחזרה חלשה |R_{12}\ll 1 הגל החוזר ממשטח הגבול
      הימני  (\beta) , לאחר שעבר ללוח השמאלי, הוא \psi_3(x,t)=-B\cos(\omega t+k_1x-2k_2L) ומצא/י את k_1/k_2.
      ג)בהנחה שאלו הגלים החוזרים היחידים הראה/י שאין החזרה כאשר אורך הגל \lambda_2 באוויר מקייםL=\frac{n}{2}\lambda_2 . מצא/י את היחס L/\lambda_1 שעבורו ההחזרה היא מקסימאלית.
      ד)מצא/י את היחס בין עוצמת הגל הפוגע (בשכבת האוויר) לבין עוצמת הגל החוזר.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_059.html

      התאבכות וקרינה סלולרית

      נתונות שתי אנטנות סלולאריות הנמצאות במרחק L זו מזו. האנטנות משדרות אות סינוסואידלי זהה בתדר 800 MHz אבל בהפרש של Δt זו מזו.משמאל לזוג האנטנות נמצאת עיר 'הירוקים' ומימין עיר 'הצרכנים'.
      א) רשום/י את סכום הגלים הנעים אל עיר 'הירוקים' ואת סכום הגלים הנעים אל עבר עיר 'הצרכנים'
      ב) מצא/י את L ו- Δt כך שבעיר 'הירוקים' תהיה התאבכות הורסת של האות, ובעיר 'הצרכנים' התאבכות בונה.
                                                         

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_060.html

      התאבכות

      יחס הנפיצה של גלי אור במעבר דרך חומרים שקופים הוא v_\phi=\frac{c}{n(\omega)}=\sqrt{\frac{c^2\omega^2}{\omega^2-\omega^2_0}} , כאשר ω0 קבוע של החומר ו-c מהירות האור בואקום.
      א) רשום/י את \omega(k).
      ב) חשב/י את מהירות החבורה והמירות הפאזה עבור התחומים ω0> ω,     ω0< ω.
      ג) עבור איזה מקדם שבירה לא ידעכו פולסים כלל? אם כן, הסבר מדוע זכוכית בכל זאת שקופה?
      ד) מהו k עבור ω0> ω ? מה המשמעות של k-ים אלו? לאור תוצאה זו, איך ניתן להסביר את העובדה שזכוכית אטומה לאור אינפרא אדום?


      CONTRIBUTIONS/e_63_4_061.html

      גלים מתקדמים

      מקדם ההחזרה של גל אופטי העובר מתווך בעל מקדם שבירה n1 לתווך בעל מקדם שבירה n2 הוא R_{12}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} . נתונים שני לוחות זכוכית עם מקדם שבירה 1.65 = n וביניהם שכבת אויר (1=n) בעובי L.
      pic
      נתון גל פוגע בלוח השמאלי\psi_1(x,t)=A\cos(\omega t-k_1x) .
      א)הסבר/י מדוע הגל החוזר\psi_2 ממשטח הגבול השמאלי (\alpha) הוא מהצורה\psi_2(x,t)=B\cos(\omega%20t+k_1x) וחשב/י את B/A .
      ב)הסבר/י מדוע בהחזרה חלשה |R_{12}\ll 1 הגל החוזר ממשטח הגבול הימני  (\beta) , לאחר שעבר ללוח השמאלי, הוא \psi_3(x,t)=-B\cos(\omega t+k_1x-2k_2L) ' מדוע הפאזה הנוספת שלילית ומצא/י את k_1/k_2.
      ג)בהנחה שאלו הגלים החוזרים היחידים הראה/י שאין החזרה כאשר אורך הגל \lambda_2 באוויר מקייםL=\frac{n}{2}\lambda_2 . מצא/י את היחס L/\lambda_1 שעבורו ההחזרה היא מקסימאלית.
      ד)מצא/י את היחס בין עוצמת הגל הפוגע (בשכבת האוויר) לבין עוצמת הגל החוזר.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_062.html

      התאבכות וקרינה סלולרית

      נתונות שתי אנטנות סלולאריות הנמצאות במרחק L זו מזו. האנטנות משדרות אות סינוסואידלי זהה בתדר 1000 MHz אבל בהפרש של Δt זו מזו (הנח/י שהשמאלית משדרת קודם).משמאל לזוג האנטנות נמצאת עיר 'הירוקים' ומימין עיר 'הצרכנים'.
      א) רשום/י את סכום הגלים הנעים אל עיר 'הירוקים' ואת סכום הגלים הנעים אל עבר עיר 'הצרכנים'
      ב) מצא/י את L ו- Δt כך שבעיר 'הירוקים' תהיה התאבכות הורסת של האות, ובעיר 'הצרכנים' התאבכות בונה.
                                                         

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_063.html

      התאבכות

      במהלך ביקורך בניו יורק נקלעת (בטובתך או שלא...) להופעה של צמד הטנורים לוצ'יאנו פברוטי ופלאסידו דומינגו. שני הטנורים שרים בהתאמה מושלמת (נו, טנורים...) בתדר 1000 Hz, כאשר פברוטי מקדים את דומינגו באלפית השנייה. הנך ממוקם/ת מול מרכז הבמה, ולאכזבתך/שמחתך את/ה מגלה כי אינך שומע דבר!! נתון כי המרחק בין פברוטי לדומינגו הוא 22.5 מטרים, וכמו"כ מיקרופון הנמצא על הבמה בדיוק מולך מקליט את הטנורים בעוצמה מקסימלית. מצא/י את המרחק של כ"א מהטנורים ממך ואת המרחק של כל אחד מהם למיקרופון (ניתן להזניח את מימדי הגוף של הנ"לים...)

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_064.html

      אולטראסוניקה

      בדיקות אולטראסוניקה הן בדיקות אל הרס בהן משתמשים בגלי קול ע"מ לאפיין חומרים שונים.
      א) באופן כללי, כאשר מעבירים גלי קול דרך שני חומרים הזהים בכל תכונותיהם פרט לצפיפות, באיזה חומר מהירות הקול תהיה גדולה יותר (בחומר הצפוף יותר או בחומר הצפוף פחות)? הסבר/י.
      ב) נתון חומר בעל יחס דיספרסיה  a^b \frac{\partial p}{\partial x} שעוביו D. כמה זמן ייקח לפולס אולטראסוני בעל אורך גל של λ לחצות את החומר?
      ג) בתרגול מצאנו כי גובה המדרגה בתקליטור הוא 125 nm המתאים לרבע אורך גל של הלייזר. אולם אורך הגל של לייזר אדום הוא 7630 Å, איך מתיישבת הסתירה הזו?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_065.html

      חבילות גלים

      א) נתון ספקטרום התדירויות של פולס קול מסוים נתון על ידי:B(\omega)=V_0\frac{\sin[(\omega_0-\omega)\tau]}{(\omega_0-\omega)\tau} , כאשר \tau,V_0,\omega_0 קבועים. מצא/י את צורת הפולס.
      ב) נתון כי: Z_{air}=42.8\frac{kg}{m\ sec},\;\;\tau=1sec,\;\;V_0=1.73*10^{-4}W^{0.5},\;\;\omega_0=100kHz . כמו כן נתון כי התדר המכסימלי שהאוזן האנושית יכולה לשמוע הוא
          20 kHz . מצא/י את עוצמת הפולס עבור \omega=\omega_0 , ומצא/י את עוצמת הפולס הנשמע (כלומר את עוצמת הפולס עבור התדר kHz 20 )
      ג) בהנחה שסף הכאב הוא 120 dB , האם הפולס הנ"ל יכאיב לאוזן אנושית?


      CONTRIBUTIONS/e_63_4_070.html

      התאבכות

      נתון מכ"מ  הממוקם בגובה של 500 מטרים העוקב אחרי ספינה. קרן המכ"מ מוחזרת מחלקה העליון של הספינה הנמצא בגובה של 13 מטרים. תדר המכ"מ הוא 1290 MHZ. באיזה מרחק (לראשונה) תיעלם הספינה ממסך המכ"מ?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_071.html

      סיב אופטי

      מהי זווית הכניסה המקסימלית לסיב בעל n_{cl}=1.45,\ n_{core}=1.55

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_072.html

      ניסוי מיכלסון מורלי

      מהי מהירות כדו"ה המינימלית דרך האתר, כפי שניתן למצוא מניסוי מיכלסון מורלי (אם הוא היה מצליח), כאשר אורך הזרועות הוא 11 מטרים, א"ג הוא 589 ננומטרים וכמות פסי ההתאבכות שחוךפת במסך היא \Delta{N}=0.005?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_073.html

      התאבכות


      נתונים שני רמקולים על במה, כאשר רמקול אחד נמצא במרחק 4.1 מטרים ממרכז הבמה והרמקול השני נמצא 3.9 מטרים ממרכזה כמתואר באיור. בהנחה שהרמקולים משדרים צלילים קוהרנטיים (ללא הבדלי פאזה או אמפליטודה) בתדר 2000 Hz, באיזה מרחק ממרכז הבמה צריך לעמוד אדם ע"מ שלא ישמע כלום?
                                   

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_123.html

      גלים מתקדמים

      נתונים שני מיתרים B ,A בעלי עכבות ZAZB בהתאמה המחוברים על ידי טבעת חסרת מסה בנקודה x=0. גל בעל צורה \psi_1(x,t)=a\cos(\omega t-k_1x) מגיע לטבעת מכיוון מיתר A וגל בעל צורה  \psi_2(x,t)=0.25a\cos(\omega%20t+k_2x) מגיע לטבעת מכיוון מיתר B. מה צריל להיות היחס בין האימפדנסים על מנת שלא ייווצר גל חוזר במיתר A ?
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_124.html

      גלים נוסעים

      א) פתח/י את הביטוי עבור העקבה בקו תמסורת בו מקדם ההשראות הוא L  והקיבול הוא C. מהי המשמעות הפיסיקלית של העקבה בקו התמסורת ?
      ב) פתח/י את משוואת הגלים של גלים אלקטרומגנטיים (עבור שדה חשמלי או מגנטי). התחל/י מארבעת משוואות מקסוול (בניסוח דפרנציאלי):
      a^b \frac{\partial p}{\partial x}    
          הנחייה: גזור/י את המשוואות האחרונות והצב/י אח"כ את הראשונות.
      ג) מהי מהירות הפאזה של גלים א"מ בואקום המתקבלת? מצא/י את  העקבה של הואקום עבור גלים א"מ. (רמז: מהו "כוח מחזיר" ומהו"גורם אינרציה" עבור גלים אלו). מה היחידות המתקבלות?
      ד) הוכח/י כי גל עומד הנתון בנוסחה מורכב מסופרפוזיציה של שני גלים  והסבר/י למה הם מוגדרים כגלים נוסעים.

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_125.html sol

      גלים על פני המים ושקט של שמים

      עבור גלי קול, נתון  v_{sound}=\sqrt{\frac{\gamma\cdot{P_0}}{\rho_0}}.
      גל קול העובר באוויר בתנאי STP ( a^b \frac{\partial p}{\partial x}), פוגע בניצב בפני אגם. נתון כי מהירות הקול במים היא 1400 מטר לשנייה, צפיפות המים היא טון למ"ק .
      א) מצא/י את מקדם ההעברה וההחזרה וחשב/י איזה אחוז מהספק גל הקול מוחזר לאוויר.
      ב) מצא/י את מקדם ההעברה וההחזרה וחשב/י איזה אחוז מהספק גל הקול מועבר לאוויר כאשר הגל הפוגע מגיע לפני האגם מתוך המים.
      ג) מדוע כאשר שוחים מתחת לפני המים בבריכה לא שומעים קולות המגיעים מעל פני השטח ?

      CONTRIBUTIONS/e_63_4_126.html

      גלים נוסעים

      נתונות זכוכית בעלת מקדם שבירה n=1.5 המצופה בציפוי בעל יחס  הדיספרסיה  omega^2=c^2k^2-\omega_0^2, המוארת על ידי אור בא"ג  a^b \frac{\partial p}{\partial x}.
      א) מצא/י את מקדם ההעברה וההחזרה וחשב/י מהי ההנחתה (ביחידות dB) של גל העובר מהציפוי לזכוכית.
      ב) באיזה א"ג יש להאיר את המערכת ע"מ שלא יווצר גל חוזר בציפוי?
      ג) מהו צבע האור בכ"א מהסעיפים?

      CONTRIBUTIONS/e_66_1_001.html sol

      מסנן

      מתח המוצא בהתקן חשמלי הינו V(t)=\left{\matrix{V_0, &t<|\tau/2|\\ 0,&\mbox{otherwise}}\right. באשר \tau קבוע. מחברים להתקן מסנן שמעביר תדרים \omega>1/\tau.
      מצא את צורת הפולס המופיע במוצא המסנן.


      CONTRIBUTIONS/e_66_1_002.html sol

      מסנן

      התקן חשמלי מסוים בנוי כך שמתח המוצא שלו V(t)=V_0\tau\frac{t}{t^2+\tau^2} באשר \tau קבוע. מחברים להתקן מסנן שמעביר תדרים \omega<1/\tau.
      מצא את צורת הפולס המופיע במוצא המסנן.

      הדרכה: אם אתם פותרים את השאלה עם טרנספורם פוריה ממשי, ניתן למצוא את הנוסחה בספרים.
      אם אתם פותרים את השאלה עם טרנספורם פוריה מרוכב, אז \int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{t^2+\tau^2}\mbox{e}^{\imath\omega t}dt=\imath\pi\mbox{e}^{-|\omega|\tau}\mbox{sgn}(\omega) באשר \mbox{sgn}(\omega)=\left{\matrix{1,&\omega\geq 0\\ -1,&\omega < 0}\right..


      CONTRIBUTIONS/e_66_1_003.html sol

      חבילת גלים גאוסית

      נתונה חבילת גלים גאוסית a(k)=A\exp(-\sigma(k-k_0)^2) באשר A,k_0,\sigma קבועים.
      מהי ההתפתחות בזמן של חבילת גלים זו?
      מהי השפעתו של כל אחד משלושת האיברים הראשונים בפיתוח טיילור של \omega(k): \omega(k)\approx\omega_0+\alpha(k-k_0)+\frac12\beta(k-k_0)^2.


      CONTRIBUTIONS/e_66_1_004.html sol

      גלי קול בתחום השמיעה

      נתון כי גל קול המשתנה בזמן מגיע לאוזן כך שהלחץ הוא
      p(t)=\left{\matrix{p_0\frac{t}{t_0}+p_0,&-t_0<t<0\\ -p_0\frac{t}{t_0}+p_0,&0<t<t_0\\ 0,&\mbox{otherwise}}}
      1. שרטט את הלחץ כתלות בזמן.
      2. תחום השמע של של האדם הוא בין f_{\min}\approx16\;\mbox{Hz} לבין f_{\max}\approx20\;\mbox{kHz}. רשום ביטוי לתלות הלחץ בזמן כפי שהאדם שומע (הנח כי התדר המינימלי הוא בקירוב אפס ואת התשובה תציג בעזרת סינוסים אינטגרליים \mbox{Si}(z)=\int_0^z\frac{\sin t}{t}dt)
      3. שרטט (בעזרת מחשב) גרף של התוצאה בסעיף הקודם עבור\omega_{\max}=\frac{10}{t_0},\;\;\frac{1}{t_0},\;\;\frac{1}{10t_0}


      CONTRIBUTIONS/e_66_1_005.html sol

      מקדם שבירה

      הראה כי עבור מקדם שבירה התלוי בתדירות n(\omega) מתקיים \frac{1}{v_g} = \frac{1}{v_p} - \frac{\lambda}{c}\ \frac{dn}{d\lambda}, באשר v_g, \; v_p הם מהירות הפאזה והחבורה, בהתאמה.

      CONTRIBUTIONS/e_66_1_006.html sol

      מהירות חבורה

      נתון יחס נפיצה עבור אור בתווך מסוים:
       c^2k^2 = \omega^2\left(1+\frac{\omega_p^2}{\omega_0^2-\omega^2}\right)
      באשר \omega_p, \; \omega_0 הם קבועים נתונים.
      1. חשב את מקדם השבירה.
      2. שרטט גרף של מקדם השבירה בריבוע כתלות בתדירות. מצא את התחום בו הפונקציה שלילית והסבר את המשמעות.
      3. מצא את מהירות החבורה. שרטט גרף של מהירות החבורה בריבוע כתלות בתדירות. השווה אותו לסעיף הקודם והסבר את התוצאה.

      CONTRIBUTIONS/e_66_1_007.html sol

      חבילת גלים

      נתונה חבילת הגלים הבאה a(k)=\left{\matrix{1,&|k-k_0|\le k_1\\ 0,& |k-k_0|> k_1}\right..
      באשר k_0, \; k_1 הם קבועים כך ש- k_0 \gg k_1.
      הנח כי יחס הנפיצה \omega(k) סביב k_0 נתון בקירוב טוב ע"י שני האיברים הראשונים בפיתוח טיילור\omega(k)\approx\omega_0+\alpha(k-k_0) .
      מצא את ההתפתחות בזמן של חבילת הגלים הנ"ל.

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_001.html

      חבילת גלים

      חבילת גלים (פולס קול) נכנסת לתוך תווך בו יחס הנפיצה הוא

      כאשר היא התדירות הזוויתית, k הוא וקטור הגל,

      הוא מהירות הקול ו- קבוע.
      א) מצא/י את מהירות החבורה ומהירות הפאזה, ומצא/י את ערכו של כך שהפולס יישאר ממוקם.
      ב) נתון כי פולס זהה נוסף נכנס לתוך התווך בזווית כ- 0.5 msec לפני הפולס הראשון כמתואר באיור. בנוסף, ידוע כי ביציאה מהתווך שני הפולסים מתאבכים התאבכות הורסת. מהו אורך התווך המינימאלי אם נתון כי אורך הגל (המרכזי) של הפולס הוא
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_002.html

      חבילות גלים

      התקן חשמלי מייצר מתח \nu_0  בזמן -\tau/2<t<\tau/2 ואפס בשאר הזמן. מחברים להתקן מסנן אידיאלי בעל מקדם ההעברה:T(\omega)=\left{\matrix{0, & \omega<1/\tau\\1, & \omega>1/\tau }\left. , כלומר (High Pass Filter).
      א) תאר/י את הפולס היוצא מההתקן גרפית ורשום/י את ספקטרום התדירויות.
      ב) מה היא צורת הפולס (מתמטית) \nu_f(t)היוצא מהמסנן.
      ג) מה היא עוצמת המתח לאחר  t=10 sec עבור\nu_0=5V,\;\;\tau=2sec. מתי הפולס ידעך ל-\nu(t)=0.1\nu_0?

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_061.html sol sol

      חבילות גלים

      א) נתון ספקטרום התדירויות של פולס קול מסוים נתון על ידי:B(\omega)=V_0\frac{\sin[(\omega_0-\omega)\tau]}{(\omega_0-\omega)\tau} , כאשר \tau,V_0,\omega_0 קבועים. מצא/י את צורת הפולס.
      ב) נתון כי: Z_{air}=42.8\frac{kg}{m\ sec},\;\;\tau=1sec,\;\;V_0=1.73*10^{-4}W^{0.5},\;\;\omega_0=100kHz . כמו כן נתון כי התדר המכסימלי שהאוזן האנושית יכולה לשמוע הוא 20 kHz . מצא/י את עוצמת הפולס עבור \omega=\omega_0 , ומצא/י את עוצמת הפולס הנשמע (כלומר את עוצמת הפולס עבור התדר 20 kHz )
      ג) בהנחה שסף הכאב הוא 120 dB , האם הפולס הנ"ל יכאיב לאוזן אנושית?

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_062.html sol sol

      חבילות גלים

      התקן חשמלי מייצר מתח \nu_0  בזמן -\tau/2<t<\tau/2 ואפס בשאר הזמן. מחברים להתקן מסנן (High Pass Filter) אידיאליעבור התדרים \omega<1/\tau . כלומר מקדם ההעברה:T(\omega)=\left{\matrix{0, & \omega<1/\tau\\1, & \omega>1/\tau }\left. .
      א) תאר/י את הפולס היוצא מההתקן גרפית ורשום/י את ספקטרום התדירויות.
      ב) מה היא צורת הפולס (מתמטית) \nu_f(t)היוצא מהמסנן.
      ג) מה היא עוצמת המתח לאחר  t=1,10,20 sec עבור\nu_0=5V,\;\;\tau=2sec

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_063.html sol sol

      חבילות גלים

      א) מצא/י את יחסי האי וודאות עבור \Delta k,\Delta x .
      ב) נתון פולס בעל מהירות חבורה vg פרוס על גבי מרחק של \Delta x. מצא/י את משך הזמן של הפולס.

      CONTRIBUTIONS/e_66_4_064.html

      חבילות גלים

      התקן חשמלי מייצר מתח \nu_0  בזמן -\tau/2<t<\tau/2 ואפס בשאר הזמן. מחברים להתקן מסנן (Low Pass Filter) אידיאלי עבור התדרים \omega<1/\tau . כלומר מקדם ההעברה:T(\omega)=\left{\matrix{1, & \omega<1/\tau\\0, & \omega>1/\tau }\left. .
      א) תאר/י את הפולס היוצא מההתקן גרפית ורשום/י את ספקטרום התדירויות.
      ב) מה היא צורת הפולס (מתמטית) \nu_f(t)היוצא מהמסנן.
      ג) מה היא עוצמת המתח לאחר  t=1,10,20 sec עבור\nu_0=5V,\;\;\tau=2sec

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_001.html sol

      תנודות של ממברנה מעגלית

      נתונה ממברנה מעגלית ברדיוס a התפוסה לאורך השפה שלה.
      מצא את אופני התנודה של הממברנה.

      קישור לאנימציה יפה: http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneCircle/Circle.html


      CONTRIBUTIONS/e_69_1_002.html sol

      תנודות של ממברנה מלבנית

      ממברנה מלבנית בעלת מתיחות אחידה ליחידת אורך T ומםה ליחידת שטח \rho מבצעת תנודות קטנות בניצב למישור x-y. אורך צלעות הממברנה a ו-b, והיא אחוזה בכל ארבע שפותיה. 

      1. מהן התדירויות העצמיות של הממברנה?
      2. שרטט את האזורים בהם הממברנה לא זזה, כאשר היא בתדירות העצמית הנמוכה ביותר, המעוררת הראשונה והמעוררת השנייה.
      3. הנח כעת כי הממברנה ריבועית: a=b.
        • הראה כי ישנן תדירויות המתאימות לשני אופני תנודה שונים.
        • האם יש תדירויות המתאימות לשלושה אופני תנודה שונים? (התשובה היא כן - מצא אחת כזו לפחות ושרטט את האזורים בהם הממברנה לא זזה במקרה הזה)
        • נתון כי תנודות הממברנה במקרה מסוים הן הסכום של שני אופני התנודה בעלי התדירות \omega^2 = 5 \frac{\pi^2}{a^2}\frac{T}{\rho}. לשני אופני התנודה אותה אמפליטודה ופאזה. מצא ושרטט את "קווי הצומת" (הקווים שלאורכם הממברנה אינה זזה).
        • כנ"ל לגבי התדירות \omega^2 = 10 \frac{\pi^2}{a^2}\frac{T}{\rho}.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_003.html sol

      גלי קול בגליל

      גלי קול נעים בגליל סגור ברדיוס R ואורך L. מהירות הפאזה של הגלים היא v.
      1. מהם אופני התנודה?
      2. השתמש בטבלה של אפסים של פונקציות Bessel (ניתן למצוא בספרים או באינטרנט...) ורשום את 5 התדירויות הנמוכות ביותר עבור L=R , L=10R.
        בכל מקרה שרטט את האזורים במרחב בהם הלחץ לא משתנה.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_004.html sol

      מצבי קיטוב

      מצא את מצב הקיטוב של הגלים הבאים:
      1. E_x=E_0\cos(kz-\omega t)\;\;\;E_y=2E_0\cos(kz-\omega t)
      2. E_x=E_0\cos(kz-\omega t+\frac{\pi}{4})\;\;\;E_y=E_0\cos(kz-\omega t)
      3. E_x=E_0\cos(kz-\omega t+\frac{\pi}{4})\;\;\;E_y=\frac12 E_0\cos(kz-\omega t)
      בכל מקרה של קיטוב אליפטי מצא את הערך המקסימלי של השדה החשמלי ואת זווית ההטיה של צירה הראשי של אליפסה.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_005.html sol

      הצבת מקטבים

      על מנת למדוד את מצב הקיטוב של אור מונוכרומטי המתקדם בכיוון z, מדד חוקר את עוצמת האלומה במספר דרכים:
      1. מהו מצב הקיטוב של האלומה המקורית?
      2. מהי העוצמה שתימדד לאחר סדרה של שלושה מקטבים בכיוונים y, 45^\circ, x?
      3. כנ"ל אבל עם פלטת רבע גל במקום המקטב האמצעי.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_006.html sol

      הצבת מקטבים

      גל אלקטרומגנטי \vec E(z,t)=E_0\left[\hat x \sin(kz-\omega t) + \hat y \sin(kz-\omega t +\frac{\pi}{4}) \right]
      מועבר דרך מקטב קווי אידאלי שציר ההעברה שלו נטוי בזווית של 45 מעלות במישור xy.
      1. מה הקיטוב של הגל ההתחלתי?
      2. מה הביטוי לגל היוצא ומצא את היחס בין עוצמתו לעוצמת הגל הנכנס?

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_007.html sol

      מקטב לא אידאלי

      נתון מקטב קווי לא אידיאלי, שעבור אור המקוטב בכיוון ציר ההעברה שלו, מקדם ההעברה של השדה החשמלי הוא \alpha (\alpha<1),
      ועבור אור המקוטב בניצב לציר ההעברה מקדם ההעברה לשדה החשמלי הוא \beta (\beta>0), כך ש \alpha>\beta. אלומת אור המתקדמת בכיוון z פוגעת במערכת של שני מקטבים כאלה.
      ציר ההעברה של המקטב הקדמי הוא בכיוון x וציר המקטב האחורי בזווית \phi אליו.
      קבע את היחס בין עוצמת האור הנכנס למערכת לעוצמת האור היוצא ממקטב 2 כפונקציה של \phi אם:
      1. האלומה הפוגעת מקוטבת קווית בזווית \theta ביחס לציר x.
      2. האלומה הפוגעת אינה מקוטבת (אור טבעי).

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_008.html sol

      סדרת מקטבים

      גל מישורי של אור מונוכרומטי לא מקוטב מתקדם בכיוון ציר z. גלאי מסוים, המונה פוטונים, מוצב בדרכה של האלומה. הגלאי מצביע על קצב ממוצע של R=1000 פוטונים בשניה. מציבים בזה אחר זה מספר רכיבים בדרכה של האלומה, כך שהראשון קרוב ביותר למקור והאחרון לגלאי. בכל סעיף בשאלה נוסף רכיב. קבע בכל שלב מהו מצב הקיטוב של האלומה אחרי הרכיב, ומהי קריאת הגלאי R.
      1. פלטת רבע גל שצירה המהיר בכיוון x.
      2. מקטב קווי שצירו בכיוון \frac{\hat x+\hat y}{\sqrt{2}}.
      3. מקטב מעגלי (מקטב קווי ולאחריו פלטת רבע גל בזווית של 45 מעלות לזיית הקיטוב) בכיוון z+. מהו הערך המירבי של R ומהו הערך המינימלי?
      4. כאשר המקטב המעגלי בסעיף הקודם במצב של הערך המירבי, פלטת חצי גל שצירה המהיר בכיוון \frac{\hat x-\hat y}{\sqrt{2}} ומייד אחריה מקטב קווי בכיוון x.
      5. פלטת חצי גל שצירה המהיר בכיוון y.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_009.html sol

      סדרת מקטבים

      אלומה של אור טבעי המתקדמת בכיוון z פוגעת במערכת של שני מקטבים קוויים אידאליים. ציר ההעברה של המקטב הקדמי (1) הוא בכיוון x וציר המקטב האחורי (2) בכיוון y.
      בין המקטבים מוצבות שתי פלטות חצי גל כך שמישוריהן מקבילים למישור xy. הראשונה עם צירה המהיר בזווית \alpha ביחס לציר x והשנייה בזווית 5\alpha ביחס לציר x. (פלטת חצי גל יוצרת הפרש פאזה של \pi בין שני הצירים שלה - המהיר והאיטי).
      1. מצא את הקיטוב של הגל אחרי המעבר במקטב (1).
      2. קבע את היחס בין עוצמת האור הנכנס למערכת לבין עוצמת האור היוצא ממקטב (2) כפונקציה של הזווית \alpha.
      3. לאלו זוויות \alpha עוצמת האור העובר את מקטב (2) מקסימלית?

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_010.html sol

      סיבוב זווית הקיטוב

      רוצים לסובב את זווית הקיטוב של האור ב-90 מעלות.
      1. מהו מספר המקטבים המינימלי?
      2. מהו מספר המקטבים המינימלי אם עוצמת האור ביציאה היא 60% מהעוצמה ההתחלתית?

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_011.html sol sol

      מקטבים

      למקטב אידיאלי יש ציר המאפשר העברה מלאה של גל אלקטרומגנטי אשר רכיבו (של השדה החשמלי) מקביל לציר ואינו מעביר את הרכיב המאונך לציר.
      1. גל אלקטרומגנטי מקוטב קווית פוגע במקטב אידאלי שצירו נטוי בזווית \alpha ביחס לכיוון הקיטוב.
        מהי המשרעת היחסית של הגל העובר? מה היא העוצמה היחסית של הגל העובר?
      2. גל אלקטרומגנטי מקוטב קווית פוגע בסידרה של n מקטבים אידיאלים כאשר צירו של כל אחד מהם נטוי בזוית \Delta\alpha ביחס לכיוון הקיטוב של הגל הפוגע בו. כתוצאה מכך הגל יוצא מהמקטב האחרון עם סיבוב של מישור הקיטוב בזווית \alpha=n\Delta\alpha.
        הראה שכאשר \Delta\alpha\ll 1 העוצמה היחסית של הגל העובר היא 1-\alpha^2/n. (זאת אומרת שבגבול n\to \infty, כל הגל עובר.)

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_012.html sol

      תנודות של ממברנה מלבנית

      ממרנה מלבנית הומוגנית, בעלת צלעות a ו-b מתוחה באופן לא אחיד, כך שהמתיחויות ליחידת אורך בכיוון x ו- y הן T_1 ו- T_2 בהתאמה. הממברנה אחוזה בכל ארבע שפותיה, והיא מבצעת תנודות קטנות בניצב למישור x-y.
      1. הראה כי משוואת התנועה היא T_1\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + T_2\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = \rho \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} , והראה כי ע"י החלפת המשתנים \xi = \sqrt{\frac{\rho}{T_1}}x\eta = \sqrt{\frac{\rho}{T_2}}y מתקבלת משוואת הגלים הרגילה.
      2. מצא את אופני התנודה והתדירויות העצמיות של הממברנה.

      CONTRIBUTIONS/e_69_1_013.html sol

      מעבר אור בין תווכים שונים

      גל אלקטרומגנטי מגיע מתווך 1 ופוגע במישור z=0 המפריד בינו לבין תווך 2. משוואת הנפיצה בתווך 1 היא \omega^2 = c^2k^2 ובתווך 2 המשוואה היא \omega^2 = \omega_0^2+c^2k^2 .
      1. מצא את זווית השבירה כפונקציה של זווית הפגיעה.
      2. הראה כי לכל זווית פגיעה קיימת תדירות קיטעון שמתחתיה הגל בתווך 2 דועך אקפוננציאלית. מצא ביטוי מפורש לגל זה.

      CONTRIBUTIONS/e_69_6_251.html
      Maxwell’s equation
        
       Let r = (x, y, z). Express the period and the wavelength of a scalar wave
      ψ(r, t) = Asin(k · r − ωt) ,
      as functions of the angular frequency ω and the wave number k.
      1. Use the periodicity of ψ(r, t) to show that your expressions are correct.
      2. What is the magnitude of the wave number if k = (2, 1, 2)/cm? What is the wave length?
      3. What is the velocity of the wave, and what is the speed (magnitude of the velocity)?
      4. Consider two (vector) waves E(r, t) and B(r, t) for the electric and magnetic
      fields, respectively, defined as follows:
      Ex(r, t) = Ez(r, t) = 0, Ey(r, t) = E0 sin(kx − ωt) ,
      Bx(r, t) = By(r, t) = 0, Bz(r, t) = B0 sin(kx − ωt) ,
      where E0 and B0 are constants. Show that E(r, t) and B(r, t) are solutions of Maxwell’s equations,
      ∇ · E = ρ/\epsilon0 ,
      ∇ · B = 0 ,
      ∇ × E = −∂B/∂t

      c^2*∇ × B = j²/\epsilon0+ ∂E/∂t

      in a vacuum (where the charge density ρ and the current j vanish), if and only if ω = c|k|.
      5. What is the speed of the waves? In what direction?

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_001.html sol sol

      שני סדקים מכוסים

      נתון מערך של שני סדקים כמתואר בציור (הנח קירוב של שדה רחוק):

      picture
      1. מצא ביטוי לצורת תבנית ההתאבכות של מערך זה (עוצמת האור בכל נקודה על המסך).

        כעת, מכסים סדק אחד בזכוכית בעובי t עם מקדם שבירה  n_1,ואת הסדק השני מכסים בזכוכית בעלת אותו עובי t, אך עם מקדם שבירה  n_2.
      2. מצא ביטוי לצורת תבנית ההתאבכות, לאחר כיסוי שני הסדקים.
      3. אם נתון שהנקודה P שבה היה המקסימום הראשי לפני הכנסת פיסות הזכוכית מתלכדת כעת עם פס המקסימום החמישי (ה-fringe החמישי), חשב את עובי הזכוכית t.

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_002.html sol

      עקיפה מסדק מלבני

      נתון סדק מלבני a\times b.
      1. כיצד תיראה תבנית העקיפה מסדק זה בקירוב של שדה רחוק? חשב את הביטוי להתפלגות עוצמת ההארה של תבנית העקיפה
      2. נסה לצייר את התוצאה שקיבלת בסעיף 1.

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_003.html sol

      התאבכות ומראה

      אור מונוכרומטי יוצא מנקודה S ומגיע בחלקו באופן ישיר אל מסך שנמצא מרחק l מהמקור.
      החלק הנותר של האור מגיע למסך לאחר החזרה בזווית קרובה ל-\pi/2 ממראה מישורית הנמצאת במרחק d מ-S .
      בהחזרה נוצר הפרש פאזה של \pi. אורך הגל הוא \lambdaומתקיים \d \ll l.

      picture

      מצא ביטוי לצורת תבנית ההתאבכות.

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_004.html sol

      התאבכות ממספר סדקים

      1. מצא את תבנית ההתאבכות מסדרה של N סדקים המסודרים על קו ישר ומרוחקים מרחק d אחד מהשני. המרחק בין הסדקים למסך הינו l, ונתון כי \d \ll l
      2. צייר את תבנית ההתאבכות שהתקבלה.

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_005.html sol

      עקיפה ממפתח מעגלי

      1. מצא את תבנית העקיפה מהמפתח האליפטי שבציור בקירוב של שדה רחוק.
      2. מצא את תבנית העקיפה ממפתח מעגלי ברדיוס a בקירוב של שדה רחוק.
      3. צייר את התבניות שהתקבלו.
      רמז: פונקציות בסל   formula
      picture

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_006.html sol

      עקיפת Fraunhofer

      1. קבל ביטוי לתמונת העקיפה בשדה רחוק (Fraunhofer)
      2. הראה כי תמונת העקיפה היא טרנספורם פוריה של פונקציית המפתח
      3. מצא את תמונת העקיפה בשלושה מקרים הבאים:
        1. סדק יחיד 
        2. שני סדקים ברוחב אפס
        3. שני סדקים בעלי רוחב סופי
      4. קבל את תמונת העקיפה עבור סידור סידור כלשהו של סדקים זהים

      CONTRIBUTIONS/e_72_1_007.html sol

      התאבכות של שני מקורות בפאזה שונה

      שני מקורות שווי עוצמה של גלי מיקרו בעלי תדירות 10^9\ \mbox{Hz} נמצאים בהפרש פאזה קבוע של \epsilon=\pi/6. המרחק בין המקורות 60 ס"מ. בהנחה שהגלים שפולט כל מקור מתפשטים בכל הכיוונים במידה שווה, חשב את זווית ההסטה של המקסימום המרכזי (n=0) ביחס לכיוונו במצב ששני המקורות באותה פאזה.

      CONTRIBUTIONS/e_72_4_001.html

      אינטרפרומטר של מיכלסון

      תא ואקום שקוף (ובעל דפנות דקות) באורך L ס"מ הוכנס לתוך זרוע אחת של האינטרפרומטר של מיכלסון כפי שמתואר באיור. נתון כי לאחר שהוצא כל האוויר מתא הואקום עברו דרך המסך 60 פסי התאבכות. כמו”כ נתון כי א"ג של האור הוא 500 nm ו- . הערך/י את אורך התא.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_72_4_002.html

      עוצמה

      א) נתון גל מהצורה . עצמת הגל נמדדת ע"י ממוצע בזמן , כאשר T זמן מחזור. 
 הראה/י כי .
      ב) נתון גל נוסף מהצורה ונמדדה עוצמתו . נתון מצב שבו נוכחים גל זה יחד עם הגל בסעיף א' (למשל בהתאבכות משני סדקים כאשר העוצמות בשני הסדקים שונות). העוצמה הכללית תלויה 
ב- . מהו שעבורו העוצמה הכללית היא מכסימלית (ושווה ל- ), ומהו שעבורו העוצמה הכללית היא מינימלית (ושווה ל- ).
      ג) חשב/י את היחס כתלות ב- .

      CONTRIBUTIONS/e_72_4_003.html

      שני סדקים

      נתון גל בעל וקטור גל k הפוגע במסך בזווית . במסך שני סדקים במרחק d זה מזה.
      א) הראה/י שהפרש הפאזה של הגלים היוצאים משני הסדקים לפיזור בזווית הוא . ?
      ב) מה הוא ערכו של כדי שתהיה התאבכות הורסת בכיוון קדמי ?
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_72_4_004.html

      אינטרפרומטר של מיכלסון

      תא ואקום שקוף (ובעל דפנות דקות) באורך 5 ס"מ הוכנס לתוך זרוע אחת של האינטרפרומטר של מיכלסון כפי שמתואר באיור. נתון כי לאחר שהוצא כל האוויר מתא הואקום עברו דרך המסך 60 פסי התאבכות. כמו”כ נתון כי א"ג של האור הוא 500 nm . הערך/י את מקדם השבירה של האוויר.
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_73_1_001.html sol

      אופטיקה גאומטרית

      1. צייר מהלך קרניים בעדשות דקות מרכזות ומפזרות כתלות במיקום הגוף ביחס למרחק המוקד. איזו דמות מתקבלת בכל מקרה?
      2. הסבר איך ניתן לתקן ליקויי ראייה שונים (רוחק ראייה, קוצר ראייה ואסטיגמטיות) בעזרת עדשות שונות.
      3. הסבר את אופן פעולתה של זכוכית מגדלת.
      4. הסבר את אופן פעולתו של מיקרוסקופ.
      5. הסבר את אופן פעולתו של טלסקופ משבר.

      CONTRIBUTIONS/e_75_2_002.html sol sol

      נוסחת פלנק

      נוסחת פלנק:u(\nu)d\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}d\nu
      \nu = \frac{\omega}{2\pi} - תדר
      u(\nu) - אנרגיה ליחידת שטח ליחידת זווית מרחבית ליחידת זמן ליחידת תדר
      1. הוכח/י בעזרת נוסחת פלנק כי המימדים של h הם אנרגיה x זמן. 
      2. מצא/י את אורך הגל עבורו u(\lambda) מקסימלי והראו שמתקיים חוק Wienn: \lambda_\max=\text{const}/T
      3. מצא/י את הביטוי עבור סה" כ צפיפות האנרגיה הנפלטת מגוף שחור בטמפרטורה  T כלשהי בכל התדרים.‎
      הדרכה:  \int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4) (כאשר \Gamma(x) היא פונקצית גמא ו-\zeta(x) היא פונקצית זיטא של רימן).

      CONTRIBUTIONS/e_75_2_034.html sol sol sol sol

      פלנק, בוהר

      עבור מולקולת מים H2O המרחק בין אטומי המימן לבין אטום החמצן הוא
      3.9 pm, וזווית הפתיחה היא θ =105°.

      pic 
      א) מצא/י את שלוש הרמות הרוטציוניות הראשונות (אנרגיה סיבובית).
      ב) בהנחה שמולקולת מים מבצעת אינטראקציה עם פוטון (והיא מבצעת), מה צריך להיות התדר של הפוטון על מנת לסובב את המולקולה ?
      ג) מה ניתן להסיק מכך על אופן פעולתו של תנור המיקרוגל? מה ניתן להסיק על מה שקורה במוח כאשר מצמידים טלפון סלולארי לראש (תדר עבודה של טלפון סלולארי הוא 800-1000 MHz) ?

      CONTRIBUTIONS/e_75_4_001.html

      קרינת גוף שחור

      א) חשב/י את אורך הגל בו תהיה הפליטה המקסימלית עבור הגופים הבאים:
 קרינת הרקע הקוסמית (שריד מהמפץ הגדול והוכחה לקיומו) 3K
 גוף האדם (לפי טמפרטורת העור שלך)
 פני השמש 5800K
 לאיזה תחום בספקטרום שייכת כל תוצאה?

      ב) עבור גוף שחור נתון צפיפות האנרגיה הנפלטת ב-400 nm גבוהה פי 3.5 מצפיפות האנרגיה הנפלטת ב- 200 nm. מצא/י את טמפרטורת הגוף.

      ג) עבור גוף שחור נתון צפיפות האנרגיה הנפלטת ב-200 nm גבוהה פי 3.5 מצפיפות האנרגיה הנפלטת ב- 400 nm. מצא/י את טמפרטורת הגוף.

      CONTRIBUTIONS/e_75_4_002.html

      קרינת גוף שחור


      נוסחת ההעתקה של Wein מקשרת בין הטמפרטורה לאורך הגל בו האנרגיה מקסימלית. \lam_{max}T=Const
      האם נוסחאת פלנק מסבירה נוסחה זו?

      CONTRIBUTIONS/e_75_4_003.html

      מודל אטום המימן של בוהר

      א) אלקטרון חופשי, במנוחה, נתפש על ידי גרעין ליתיום Li+++ שמטענו +3e ויורד למצב היסוד. חשב/י את התנע הזוויתי של האלקטרון ואת אורך הגל של הפוטון הנפלט.
      ב) בכמה יגדל רדיוס מסלול האלקטרון באטום הליתיום (ברמה השניה) אם האלקטרון יבלע פוטון עם אנרגיה של 25.704 eV? לאיזו רמה הוא יעלה?
      ג) מיואון הוא חלקיק זהה לאלקטרון פרט לכך שמסתו גדולה פי 207  ממסת האלקטרון. מהו אורך הגל של הפוטון האנרגטי ביותר שיכול להיפלט מאטום המימן שבמקום אלקטרון יש לו מיואון ?

      CONTRIBUTIONS/e_75_4_004.html

      מודל אטום המימן של בוהר

      א) נתון כי אורך החיים של אטום ברמה מעוררת מסוימת הוא  1.4\times10^{-4}sec. מצא/י את רוחב האנרגטי של הרמה.
       ב) כאשר האטום חוזר לרמת היסוד הוא פולט פוטון. מתוך סעיף א' מצא/י את האי ודאות בתנע של האטום כתוצאה של פליטת הפוטון (רמז: מהי  האי ודאות באנרגיה של הפוטון הנפלט?) ואת האי ודאות במקום של האטום.

      CONTRIBUTIONS/e_75_4_005.html sol

      מודל האטום של בוהר

      א) אטום מימן מעורר ע"י אור UV באורך גל של 1000Å. באילו אורכי גל יופיעו קווי פליטה בספקרטום של המימן כאשר יחזור לרמת היסוד?
      ב) כמה קווי פליטה יופיעו אצל אטום מימן המעורר לרמה n?
      ג) זוג אטומי מימן מתנגשים בהתנגשות פלסטית לחלוטין. בעקבות ההתנגשות אחד האטמים מעורר, ולאחר חזרתו לרמת היסוד פולט פוטון יחיד. מהי האנרגיה הקינטית המינימלית של האטום הפוגע? מהי מהירותו? האם ניתן להשתמש בחשבון לא יחסותי?

      CONTRIBUTIONS/e_76_1_001.html sol sol

      Transition

      Find the wavelength of the photon that is emitted when a hydrogen atom undergoes a transition from level 5 to 2.

      CONTRIBUTIONS/e_76_1_002.html sol

      The Bohr atom

      1. An electron rotates in a circle around a nucleus with positive charge Ze. How is the electron's velocity related to the radius of its orbit?
      2. How is the total energy of the electron related to the radius of its orbit?

      CONTRIBUTIONS/e_76_1_003.html sol

      Deuterium and Hydrogen

      Determine the mass ratio of deuterium and hydrogen if, respectively, their Ha lines have wavelengths of  6561.01Å and 6562Å.

      CONTRIBUTIONS/e_76_2_003.html sol sol sol sol

      מודל האטום של Bohr

      1. אלקטרון חופשי, במנוחה, נתפס על ידי גרעין ליתיום Li+++ שמטענו +3e ויורד למצב היסוד. חשבו את התנע הזוויתי של האלקטרון ואת אורך הגל של הפוטון הנפלט.
      2. בכמה יגדל רדיוס מסלול האלקטרון באטום הליתיום (במצב היסוד) אם האלקטרון יבלע פוטון עם אנרגיה של 109eV?

      CONTRIBUTIONS/e_76_2_004.html sol sol sol

      מודל Bohr

      1. נניח שבין האלקטרון והפרוטון (באטום המימן) היה רק כוח משיכה כבידתי. אם היינו מיישמים את העקרונות של מודל Bohr במקרה זה, מה היה רדיוס ההתקרבות המינימאלי?
      2. נחזור לכוח חשמלי. מיואון הוא חלקיק זהה לאלקטרון פרט לכך שמסתו גדולה פי 207 ממסת האלקטרון. מהו אורך הגל של הפוטון האנרגטי ביותר שיכול להיפלט מאטום המימן שבמקום אלקטרון יש לו מיואון ?

      CONTRIBUTIONS/e_76_2_005.html sol sol sol sol

      אלקטרון על קפיץ

      גוף בעל מסה m מבצע תנועה מעגלית כאשר הכוח המחזיר הוא של הקפיץ.
      מהן רמות האנרגיה (בהנחת גלי דה-ברולי)?
      picture

      CONTRIBUTIONS/e_76_4_006.html

      גלי חומר

      א) מיקרוסקופ מאפשר להבחין בעצמים שגודלם הוא עד אורך הגל של האור בו משתמשים. מהו מתח ההאצה הדרוש למיקרוסקופ אלקטרונים על מנת שהרזולוציה שלו תהיה 0.5 אנגסטרם?
      ב) מהי האנרגיה של פוטון שבעזרתו ניתן יהיה להבחין בעצם בעל גודל זהה?
      ג) אם כן, למה מיקרוסקופ אלקטרוני עדיף על מיקרוסקופ אופטי? (רמז: מהו התחום של הפוטון בסעיף ב'?)

      CONTRIBUTIONS/e_76_4_007.html

      גלי חומר

      קרינת X באורך גל  \lambda=2\AA מפוזרת פיזור בראג מסדר ראשון מגביש. זווית הפיזור (בין הקרן הנכנסת ליוצאת) היא θ. המרחק בין המישורים המפזרים הוא  d=3\AA.
      א) אם במקום קרני X מתפזרים ניטרונים, מה צריכה להיות האנרגיה הקינטית שלהם על מנת שזווית הפיזור לא תשתנה?
      ( m_n=1.66\times10^{-27}kg)
      ב) מה תהיה זווית הפיזור מסדר ראשון של הניטרונים כאשר האנרגיה  הקינטית שלהם שווה לזו של קרני ה-X?

      CONTRIBUTIONS/e_76_4_008.html

      גלי חומר

      א) בהנחת דה-ברוי, מצא/י את מהירות החבורה ואת מהירות הפאזה של גוף מוצק.
      ב) מתוך סעיף א', האם המהירות ה'מכנית' v הנה מהירות הפאזה או מהירות החבורה?
      ג) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{E}\Delta{t}\geq\frac{\hbar}{4\pi}
      ד) הוכח/י את יחס האי ודאות הבא: \Delta{x}\Delta{\lamb}\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}

      CONTRIBUTIONS/e_76_4_009.html

      גלי חומר

      קרינת X באורך גל  \lambda=2\AA מפוזרת פיזור בראג מסדר ראשון מגביש. זווית הפיזור (בין הקרן הנכנסת ליוצאת) היא θ. המרחק בין המישורים המפזרים הוא  d=3\AA.
      א) אם במקום קרני X מתפזרים ניטרונים, מה צריכה להיות האנרגיה הקינטית שלהם על מנת שזווית הפיזור לא תשתנה? ( m_n=1.66\times10^{-27}kg)
      ב) מה תהיה זווית הפיזור מסדר ראשון של הניטרונים כאשר האנרגיה  הקינטית שלהם שווה לזו של קרני ה-X?
      ג) כעת, נתון כי קרן אלקטרונים פוגעת בגביש במתח האצה V. בזווית 30° ניתן להבחין בהתאבכות מסדר n. כאשר מכפילים את מתח ההאצה ב-2.25 ניתן להבחין בזווית זו מסדר n+1. מצא/י את V. 

      CONTRIBUTIONS/e_78_1_001.html sol

      אפקט פוטואלקטרי

      1. כדור כסף נמצא בריק ומוקרן עליו אור על-סגול באורך גל של 2000 אנגסטרם. מה הפוטנציאל החשמלי שיהיה על הכדור כתוצאה מכך? פונקציית העבודה של כסף 4.7 eV.
      2. פונקציית העבודה של טונגסטן היא 5.4 eV .  כאשר המשטח מוקרן באור באורך גל של  ,175 nmהאנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרון היא  1.7 eV  . מצא את קבוע פלנק.

      CONTRIBUTIONS/e_78_1_002.html sol

      פיזור קומפטון

      1. מהי זווית הפיזור של האלקטרון בפיזור קומפטון?
      2. מהי האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרון בפיזור קומפטון?

      CONTRIBUTIONS/e_78_1_003.html sol

      יצירת זוגות

      1. מה צריכה להיות האנרגיה המינימלית של פוטון על מנת שיצור זוג אלקטרון-פוזיטרון בנוכחות גרעין נייח בעל מסה M?
      2. מה האנרגיה המינימלית ליצירת הזוג בנוכחות פרוטון?

      CONTRIBUTIONS/e_78_1_004.html

      ניסוי Frank-Herz

      השפופרת בניסוי Franck – Herz מכילה גז בעל רמת אלקטרונים 6 eV
      ו-8
      eV מעל רמת היסוד. אלקטרונים המואצים במתח V0 על פני טווח L יכולים למסור את האנרגיה הקינטית שלהם לגז כך שהאלקטרונים של הגז הנמצאים ברמת היסוד מעוררים לרמות הנ" ל. אנרגיית הערור נפלטת בצורת קרינה.
      א) באיזה מתחים בטווח  
      0<V_0<20Vתהיה נפילה חדה של הזרם? שרטט/יסכמאטיתאת הזרם כתלות במתח V0 בטווח זה.
      ב) עבור מתח של 
      V_0=15V באיזה מרחק מהקתודה יהיו המישורים הקורנים? בטא/י את תשובתך באחוזים מ-L.


      CONTRIBUTIONS/e_78_2_001.html sol sol sol

      אפקט פוטואלקטרי

      לווין הנמצא במסלול סביב כדור הארץ נטען ע" י מטען חשמלי (לא רצוי) כתוצאה מהאפקט הפוטואלקטרי, כאשר אור השמש משחרר אלקטרונים מפניו. הפתרון המקובל לבעיה זאת הוא ציפוי גוף הלווין בפלטינה W=5.32eV.
      מצא\י את אורך הגל הארוך ביותר של אור השמש המסוגל לגרום לפליטת אלקטרונים מפני שטח הלווין.

      CONTRIBUTIONS/e_78_2_002.html sol sol sol sol

      אפקט פוטואלקטרי

      אור באורך גל של 450nm מפזר אלקטרונים מלוח זהב דק. על הלוח במקביל לציר הסימטריה שלו יש שדה מגנטי B=2\times 10^{-5}T . האלקטרונים המתפזרים, יוצרים אלומה ברדיוס r=20cm.
      1. מהי האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרונים?
      2. מהי העבודה הדרושה לשחרור האלקטרון?
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_001.html

      פיזור

      א) עבור פוטון המתפזר מאלקטרון במנוחה בזווית , מצא/י את זווית פיזור האלקטרון .
      ב) הראה/י כי זווית הפיזור המקסימלית של אלקטרון היא  

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_002.html

      פיזור

      א) מהי זווית הפיזור אשר עבורה האנרגיה הקינטית המועברת לאלקטרון היא מכסימלית?
      ב) חשב/י את הפיצול המכסימלי באורך הגל של פוטון הפוגע באוטם פחמן (מספר אטומי 12). בכמה אחוזים תשתנה האנרגיה של פוטון בעל אנרגיה 1.2MeV ? מהו הפיצול המכסימלי באורך הגל של פוטון הפוגע באלקטרון?
      ג) חשב/י את האנרגיה ההתחלתית ואת אורך הגל הסופי של פוטון שיכול להעניק לאלקטרון נח אנרגיה קינטית מכסימלית של 60000 eV.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_003.html

      אפקט פוטואלקטרי

      א) בעיה נפוצה המתרחשת בלווינים הנמצאים במסלול סביב כדור הארץ היא פליטה של אלקטרונים מפניהם עקב האפקט הפוטואלקטרי הנגרם מאורה של השמש (בכך הם נטענים במטען חיובי, אשר משבש את פעולת מכשירי הלווין). מצא/י פתרון לבעיה (נתונים מתאימים יש לקחת מהספרות).
      ב) אורך הגל המכסימלי לפליטת אלקטרונים בשפופרת פוטואלקטרית (המעגל החשמלי בתרגול) זהה לאורך הגל האופייני של השמש. מצא/י את אורך הגל הפוגע בשפופרת אם ידוע שמתח העצירה הוא 2.5V.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_004.html

      פיזור

      הוכח/י את הקשר הבא בין אנרגיית הפוטון E (לפני ההתנגשות) לבין האנרגיה הקינטית שמקבל האלקטרון לאחר ההתנגשות K:
        

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_005.html

      האפקט הפוטואלקטרי

      אור באורך גל של 2000 אנגסטרם פוגע בלוח אלומיניום בעל פונקציית עבודה של 4.2eV.
      א) מהי האנרריה הקינטית של האלקטרון המשתחרר?
      ב) מהו מתח העצירה?
      ג) מהו א"ג המקסימלי והתדר המינימלי ע"מ לשחרר אלקטרון מאלומיניום?
      ד) נתון כי עוצמת ההארה היא 123.01 דציבל. כמה פוטונים פוגעים במשטח ליחידת זמן וליחידת שטח?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_006.html

      פיזור קומפטון

      נתון פוטון בעל אנרגיה E0 המתפזר מאלקטרון במנוחה בזווית \pi ואנרגיה של 0.1E0. מהו גודלו של E0?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_007.html

      פיזור קומפטון

      נתון כי אלקטרון מקבל אנרגיה קינטית של 0.1Mev לאחר שהואר על ידי פוטון בעל אנרגיה של 0.5Mev.
      א) לאיזה תחום בספקטרום שייך הפוטון?
      ב) מהו א"ג של הפוטון לאחר ההתנגשות?
      ג) מהי זווית הפיזור?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_008.html

      פיזור קומפטון

      א) הראה/י כי אלקטרון חופשי אינו יכול לבלוע פוטון.
      ב) שפופרת קרני x פולטת קרינה בא"ג של  \lamb=0.558\AA. הקרן פוגעת במטרה, וחלקה מתפזר פיזור קומפטון מאלקטרונים במטרה בזווית \theta=46^{\circ} . מצא/י את א"ג של הקרן המתפזרת מהמטרה.
       ג) מהי זווית הפיזור של האלקטרונים המפוזרים על ידי קרן ה-x?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_009.html

      פיזור קומפטון

      א) הוכח/י את הקשר הבא בין אנרגיית הפוטון E (לפני ההתנגשות) לבין האנרגיה הקינטית שמקבל האלקטרון לאחר ההתנגשות K:
       
      ב) חשב/י את הפיצול המכסימלי באורך הגל של פוטון הפוגע באוטם פחמן (מספר אטומי 12). בכמה אחוזים תשתנה האנרגיה של פוטון בעל אנרגיה 1.2MeV ? מהו הפיצול המכסימלי באורך הגל של פוטון הפוגע באלקטרון?
      ג) חשב/י את האנרגיה ההתחלתית ואת אורך הגל הסופי של פוטון שיכול להעניק לאלקטרון נח אנרגיה קינטית מכסימלית של 60000 eV.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_010.html sol

      האפקט הפוטואלקטרי

      נתונה מתכת אשר פניה מוארים על ידי אור בא"ג 350 nm, ולאחר מכן על ידי אור בא"ג 540 nm. נמצא כי מהירות האלקטרונים במקרה השני הייתה 75% ממהירותם במקרה הראשון. מצא/י את פונקציית העבודה של המתכת. מהי המתכת?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_011.html

      קרינת גוף שחור

      א) מהי הסיבה לכך שמתקבלים שני קבועים בחוק Wien?
      ב) נתון גוף שחור עם טמפרטורה  a^b \frac{\partial p}{\partial x} ואורך גל בו העוצמה מקסימלית  a^b \frac{\partial p}{\partial x}. העלנו את הטמפרטורה של הגוף ב-a^b \frac{\partial p}{\partial x} נוספות, עקב כך אורך גל בו העוצמה מקסימלית קטן פי 2. מצא/י את  a^b \frac{\partial p}{\partial x}.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_012.html

      נוסחת פלנק

      נוסחת פלנק:u(\nu)d\nu = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1}d\nu
      \nu = \frac{\omega}{2\pi} - תדר
      u(\nu) - אנרגיה ליחידת שטח ליחידת זווית מרחבית ליחידת זמן ליחידת תדר
      1. הוכח/י בעזרת נוסחת פלנק כי המימדים של h הם אנרגיה x זמן.לאיזה עוד  סוג של גודל פיסיקלי (למשל אנרגיה או מסה) יש את אותן היחידות? 
      2. מצא/י את הביטוי עבור סה" כ צפיפות האנרגיה הנפלטת מגוף שחור בטמפרטורה  T כלשהי בכל התדרים.‎
      הדרכה:  \int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4) (כאשר \Gamma(x) היא פונקצית גמא ו-\zeta(x) היא פונקצית זיטא של רימן).

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_013.html

      גלי חומר

      מהו אורך הגל של האלקטרונים בניסוי Davisson - Germer, ומהי ההתאמה של הנחת דה-ברוי לתוצאות הניסיוניות?נתונים: d=0.081nm, V=54V.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_014.html

      גלי חומר

      א) מהו אורך הגל של אדם ( בעל מסה של 70 ק"ג) הנע במהירות של 1.4 מ"ש?
      ב) מהי זווית ההתאבכות הראשונה בניסוי Davisson - Germer לו נעשה עם כדורי טניס? נתונים: d=20 cm, m=50 gr, v=28m/sec.

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_015.html

      עיקרון האי-וודאות

      מהי האי-וודאות בידיעת מיקומו של פוטון בעל אורך גל 300nm אם דיוק מדידת אורך הגל הוא 1:1000000?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_016.html

      מודל האטום של בוהר

      בדיקת קווי הבליעה של כוכב מסוים גילתה שכמות אטומי המימן הנמצאים ברמה n=2 קטנה פי 100 מזו ברמה n=1. מהי טמפרטורת הכוכב?

      CONTRIBUTIONS/e_78_4_017.html

      קרינה ורמות אנרגיה

      א) מהו אורך הגל של קרינה של טלפון סלולרי? האם האנרגיה של קרינה זו מספיקה על מנת לעורר אלקטרון מרמת יסוד (של איזשהו חומר)? איזה סוג  של ערור ניתן לקבל מקרינה זו (או איך הגוף יכול לספוג קרינה זו?)
      ב) הסבר/י נכון או לא נכון: "אסור לעמוד ליד מסך טלביזיה מפני שקרן האלקטרונים שבשפופרת פולטת קרינה מסוכנת" 
      ג) מהו אורך הגל והאנרגיה של פוטון הנפלט מזרם ביתי (50 Hz)? האם קרינה זו יכולה לעורר איזושהי רמה קוונטית? האם היא יכולה להיות מסוכנת?

      CONTRIBUTIONS/e_78_6_259.html

      אפקט קומפטון

      א.      השתמשו בנוסחות היחסותיות לאנרגיה  ותנע p של גוף כדי להוכיח כי  v=pc2/E, כאשרv  היא המהירות של הגוף. על סמך הנוסחה הזאת, מצאו נוסחה לתנע של הפוטון (שהוא כמו חלקיק נטול מסה הנע במהירות האור).   
      ב.     פוטון בעל אורך גל התחלתי  מתנגש עם אלקטרון נייח שמסתו m0 (ניסוי קומפטון).  בעזרת שימור אנרגיה ותנע, הוכיחו את הנוסחה
      λf − λi = (1− cos θ) h/m0c.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_001.html

      Dirac delta function

      Prove that
      \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{dk e^{-ik(x-x_0)}=\delta(x-x_0)

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_002.html

      Fourier series

      Find the coefficients in the expansion of \varphi (x)=x
      in the section [-\pi,\pi].

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_003.html

      Fourier transform

      Find the transform of
      \varphi (x)=c if -a<x<a
      and 0 otherwise.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_004.html

      Fourier transform

      Find the transform of a Gaussian
      \varphi (x)=e^{-a^2x^2}

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_005.html

      בסיס פורש

      הראו כי התכונה של בסיס V_{\alpha}(x)\int d\alpha V_{\alpha}^*(x)V_{\alpha}(x')=\delta(x-x') מבטיחה כי ניתן לפרוש בבסיס זה כל פונקציה f(x).
       

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_006.html

      טרנספורם פוריה

      הוכיחו כי
      V_{k}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}
      הוא אכן בסיס פורש אורתוגונלי.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_007.html

      פונקצית דלתא

      הוכיחו את התכונות הבאות של פונקצית דלתא:
      א) \theta(x)=\left{1\ x>0\cr0\ x<0 ; \delta(x)=\frac{d\theta(x)}{dx}

      ב) \int dx\delta'(x-x_0)f(x)=-f'(x_0)

      ג) אם f'(x_0)\neq0 וגם f(x_0)=0, אזי \delta(f(x))=\frac{\delta(x-x_0)}{|f'(x_0)|}
       

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_008.html

      טרנספורם פוריה

      הוכיחו את התכונות הבאות של טרנספורם פוריה:
      א) F[xf(x)]=i\frac{d}{dk}g(k) 

      ב) F[e^{ik_0x}f(x)]=g(k-k_0)

      ג) F[f(ax+b)]=\frac{1}{|a|}e^{ik\frac{b}{a}}g(k-k_0)
       

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_009.html

      טור פוריה

      פתחו לטור פוריה את הפונקציה f(x)=x^2 בתחום [-\pi,\pi]. השתמשו בפיתוח זה כדי להוכיח
      \Sigma_{n=1}^{\inft}{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_010.html

      טרנספורם פוריה

      בהנתן לורנציאן \frac{A}{k^2+a^2} חשבו את \varphi(x). הראו גרפית כי מתקיים \Delta x\Delta k\sim 1 עבור מקרה זה.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_011.html

      פונקצית גל

      נתונה פונקצית גל התחלתית: \psi(x,0)=\frac{1}{\left(2\pi a^2\right)^{1/4}}e^{ik_0x}e^{-\frac{x^2}{4a^2}}

      כמו כן, נתון יחס הנפיצה \omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m}
      א) מצאו את \psi(x,t). הנחיה: מצאו את טרנספורם פוריה של \psi(x,0), ולאחר מכן חשבו את טרנספורם פוריה ההפוך עם התלות בזמן.
      ב) מצאו את מהירות החבורה ומהירות הפאזה של \psi(x,t).
      ג) חשבו את \rho(x,t).
      ד) חשבו את הגדלים: \Delta p(t) ; \langle{p}(t)\rangle ; \Delta x(t) ; \langle{x}(t)\rangle בעזרת הגדרת ערכי התוחלת.
      ה) הראו כי מתקיים x_{max}=<{x}> ; <{x}(t)>=v_g t. מה משמעות תוצאה זו?
      ו) האם מתקיים עקרון אי הודאות בכל זמן ?
      ז) חשבו את \vec{J}(x,t).
      ח) בעזרת התוצאות הנ"ל, הראו כי התרומה לזרם היא כפולה: האחת נובעת מהתקדמות החבילה כולה, והשנייה נובעת מהתרחבות החבילה.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_012.html

      פונקצית גל

      נתונה פונקצית גל התחלתית של חלקיק חופשי: \psi(x,0)=Ne^{ik_0x}e^{-\frac{x^2}{2a^2}}

      כאשר k_0 קבוע.

      א) מצאו את מקדם הנרמול N.
      ב) מצאו את g(k).
      ג) חשבו את \rho(x,0) ; \Delta x(0) ; \bar{x}(0)\vec{J}(x,0).

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_013.html

      טרנספורם פוריה


      מצאו את הטרנספורם של \varphi(x-x_0).

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_014.html

      טרנספורם פוריה - זהות פרסיבל


      הוכיחו כי:
       \int dx|\varphi(x)|^2=\int dk|g(k)|^2

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_015.html

      חבילת הגלים של חלקיק חפשי


      א) הראו כי:
       g(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx \psi(x,0)e^{-ikx}
      ב) הראו כי הגודל |g(k)|^2 הוא צפיפות ההסתברות של התנע.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_016.html

      משפט ארנפסט

      בעזרת משפט ארנפסט, הראו כי עבור אוסילטור קוואנטי
      H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2
      מתקבל
      <x>_t=<x>_0\cos{\omega t}+\frac{<p>_0}{m\omega}\sin{\omega t}

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_017.html

      פיזור ממחסום פוטנציאל ריבועי

      נתון מחסום פוטנציאל
      V(x)=\left{0\ \ x<-a\\ V_0\ \ -a<x<a\\0\ \ a<x
      א) רשמו פתרון עמיד בזמן עבור E>V_0, חשבו את מקדמי העברה והחזרה T=|t|^2,R=|r|^2.
      ב) הראו כי עבור 2ka=n\pi, מתקבלת העברה מלאה. k=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}
      ג) מצאו את מקדמי ההעברה וההחזרה עבור 0<E<V_0.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_018.html

      פיזור ממחסום פונקצית דלתא

      השתמשו בתוצאת התרגיל "פיזור ממחסום פוטנציאל ריבועי" (e_80_1_017) בכדי לחשב את מקדם ההעברה T=|t|^2, עבור מחסום מסוג פונקצית דלתא:
      V(x)=g\delta(x)
      הנחיות:
      א) הניחו V_0>>E,\rho>>k',\rho a<<1 אבל V_0a ו- \rho^2a סופיים. כאשר V_0,a מוגדרים שם, ו- \rho=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}'k'=\frac{\sqrt{2m(E)}}{\hbar}
      ב) הגדירו
       2\lim_{a\rightarrow0\\V_0\rightarrow\infty}V_0a

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_019.html

      פיזור מבור פוטנציאל ריבועי

      נתון בור פוטנציאל ריבועי
      V(x)=\left{0\ \ x<-a\\ -V_0\ \ -a<x<a\\0\ \ a<x
      א) רשמו פתרון עמיד בזמן עבור E>0, חשבו את מקדמי העברה והחזרה T=|t|^2,R=|r|^2.
      ב) ציירו באופן גס את מקדם ההעברה כפונקציה של האנרגיה.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_020.html

      בור פוטנציאל - פונקצית דלתא

      חלקיק נע בהשפעת פוטנציאל V(x)=-\alpha \delta (x).
      א) מצאו פתרון עבור אנרגיות שליליות.
      ב) מצאו את פונקצית צפיפות ההסתברות של התנע.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_021.html

      בור פוטנציאל אינסופי

      נתון בור פונטנציאל אינסופי בין 0 ל- a. עבור מצבים עצמיים, חשבו את \Delta x\Delta p. מה אי הודאות המינימלית ?

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_022.html

      בור פוטנציאל אינסופי - הרחבת קירות

      חלקיק נתון בבור פונטנציאל אינסופי בין 0 ל- a במצב היסוד. לפתע מזיזים קיר ימני כך שרוחב הבור 2a. חשבו את ההסתברות להיות במצב היסוד החדש ובמצב מעורר ראשון.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_023.html

      בור פוטנציאל אינסופי עם מדרגה

      נתון בור פוטנציאל 
      V(x)=\left{\infty\ \ x<0\\0\ \ 0<x<a\\V_0\ \ a<x<2a\\\infty\ \ 2a<x
      א) מבלי לפתור את משוואת שרדינגר, רשמו את הפונקציות עצמיות. מצאו את התנאים על המקדמים (אין צורך לפתור את המשוואות).
      ב) מצאו תנאי לאנרגיות עצמיות עבור E>V_0 ו- E<V_0 (אין צורך לפתור). 

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_024.html

      בור פוטנציאל אינסופי - צמצום קירות

      חלקיק נתון בבור פונטנציאל אינסופי [-a,a] במצב היסוד (n=0). במצב זה פונקצית הגל היא:

      \psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{a}}\cos{\frac{\pi}{2a}x}
      בזמן t=0 מזיזים בפתאומיות את קירות הבור ל- [-\frac{a}{2},\frac{a}{2}]. חשבו את ההסתברות למצוא את החלקיק ברמת היסוד החדשה (m=0), ובכל אחת משלוש רמות היסוד המעוררות החדשות (m=1,2,3).


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_025.html

      בור פוטנציאל לא סופי

      א) רשמו את רמות האנרגיה של חלקיק בבור פוטנציאל אין סופי.
      ב) עבור המקרה של בור פוטנציאל סופי בעומק V_0, מצאו את הפתרונות כאשר V_0 שואף לאין סוף, והראו שהאנרגיות המתקבלות בגבול זה מזדהות עם האנרגיות שקיבלתם בסעיף א'.
      ג) עבור בור סופי, הוכיחו שתמיד ימצא פתרון אחד לפחות עם אנרגיה שלילית ללא תלות במימדי הבור.
      ד) עבור בור סופי, פתרון אי-זוגי אינו קיים בהכרח. מצאו תנאי על ממדי הבור כך שיהיה פתרון אי זוגי אחד לפחות.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_026.html

      בור פוטנציאל אינסופי

      חלקיק נתון בבור פונטנציאל אינסופי בין 0 ל- a. פונקצית הגל ההתחלתית היא
      \psi(x,0)=\left{\frac{2b}{a}x\ \ 0<x<a/2\\2b(1-\frac{x}{a}) \ \ a/2<x<a
      א) מצאו את b.
      ב) מצאו את <E>_t , <p>_t, <x>_t.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_027.html

      שני בורות פונקצית דלתא - הפתרון הסימטרי

      חלקיק נתון בהשפעת הפוטנציאל החד מימדי
      V(x)=-\alpha[\delta(x-a)+\delta(x+a)]
      א) רשמו את הפתרון הסימטרי.
      ב) רשמו את תנאי רציפות הפונקציה, ואת תנאי אי רציפות הנגזרת.
      ג) פתרו באופן גרפי את המשוואות.
      ד) קבלו ביטוי עבור האנרגיה. השוו לאנרגיה של בור פונקצית דלתא בודדת (e_80_1_020).
      ה) ציירו באופן גס את פונקצית הגל.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_028.html

      שני בורות פונקצית דלתא - הפתרון האנטי-סימטרי

      הערה: תרגיל זה הינו המשך לתרגיל e_80_1_027.

      חלקיק נתון בהשפעת הפוטנציאל החד מימדי
      V(x)=-\alpha[\delta(x-a)+\delta(x+a)]
      א) רשמו את הפתרון האנטי-סימטרי.
      ב) רשמו את תנאי רציפות הפונקציה, ואת תנאי אי רציפות הנגזרת.
      ג) פתרו באופן גרפי את המשוואות (קל יותר לפתור את המשוואה ההופכית). קבלו תנאי לקיום הפתרון האנטי-סימטרי.
      ד) קבלו ביטוי עבור האנרגיה והשוו אותו לביטוי שקיבלתם עבור האנרגיה של המצב הסימטרי. 
      ה) ציירו באופן גס את פונקצית הגל. 

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_029.html

      שני בורות פונקצית דלתא - אוסילציות

      הערה: תרגיל זה הינו המשך לתרגיל e_80_1_027, ולתרגיל e_80_1_028.

      נתון חלקיק במצב הבא בזמן t=0:
      \psi(x)=\psi_e(x)+\beta\psi_o(x)
      כאשר \psi_e(x) היא פונקצית הגל הסימטרית המתקבלת מתרגיל e_80_1_027, ובהתאמה \psi_o(x) היא פונקצית הגל האנטי-סימטרית.
      נניח ש- \beta נבחרה כך שבזמן t=0 החלקיק "ממוקם" כמידת האפשר בחלק החיובי של ציר x.
      א) הראו שבזמן t כלשהו, נוצר הפרש פאזה של e^{-i(E_o-E_e)t/\hbar} בין הפתרונות.
      ב) מה יקרה כאשר e^{-i(E_o-E_e)t/\hbar}=-1 ?
      ג) מצאו את תדירות האוסילציות.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_030.html

      אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

      בניית פולינום P_n(q) מתוך פונקציה יוצרת F(S,q) מתבצעת בצורה הבאה:
      P_n(q)=\frac{\partial^n}{\partial S^n}F(S,q)|_{S=0}
      פולינומי הרמיט מוגדרים על ידי הפונקציה היוצרת
      F(S,q)=e^{-S^2+2Sq}=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_n(q)S^n
      חשבו מתוך הפונקציה היוצרת את H_0,H_1,H_2

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_031.html

      אוסילטור הרמוני בשדה חשמלי

      נתון חלקיק בעל מטען e^+ ומסה  m, אשר נמצא בשדה חשמלי קבוע \vec{E}=E_0\hat{x} תחת השפעת הפוטנציאל:
      V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
      א) מהן רמות האנרגיה של החלקיק ?
      ב) מהן הפונקציות העצמיות ?

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_032.html

      אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

      א) השתמשו בתוצאות של תרגיל e_80_1_038:

      \sum_l\frac{(2ts)^l}{l!}\int_{-\infty}^{\infty}dqq^ke^{-(q-(t+s))^2}=\sum_{n,m}\frac{s^nt^m}{n!m!}\int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^kdq

       כדי לחשב את האינטגרל (k=2):
      \int_{-\infty}^{\infty}H_n(q)H_m(q)e^{-q^2}q^2dq

      ב) חשבו את אלמנטי המטריצה של ההמילטונין H בבסיס הפונקציות העצמיות של האנרגיה של אוסצילטור הרמוני.

      ג) חשבו את הערך הממוצע של של האנרגיה הקינטית ושל האנרגיה הפוטנציאלית  עבור הפונקציה העצמית הnית.

      ד) קבלו את היחס \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}(2n+1) .

      ה) בעזרת  היחס שנמצא בסעיף ג'  מצאו ביטוי עבור E_n( \Delta x) ואת הערך של \Delta x עבורו E_n מינימאלי.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_033.html

      אוסילטור הרמוני - פולינומי הרמיט

      בעזרת הגדרת הפונקציה היוצרת של פולינומי הרמיט
      F(S,q)=e^{-S^2+2Sq}=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_n(q)S^n
      חשבו / הוכיחו:
      א) H_n(q)=(-1)^ne^{q^2}\frac{d^n}{dq^n}e^{-q^2}
      ב) H_{n+1}(q)-2qH_n(q)+2nH_{n-1}(q)=0 
      ג) עבור פונקצית גל \psi_{(0)}=\Sigma{C_n\varphi_n}, (\varphi_n פונקציות עצמיות של האנרגיה), חשבו את <x> עבור אוסילטור הרמוני. הנחיה: השתמשו בסעיף ג' של e_80_1_032.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_040.html

      אופרטורים

      א) עבור אופרטורים A,B,C כלליים הוכיחו את זהות יעקובי
      \left[A,\left[B,C\right]\right]+\left[B,\left[C,A\right]\right]+\left[C,\left[A,B\right]\right]=0

      ב)  הוכיחו: אם H הרמיטי, אז U=\exp[iH] אוניטרי.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_041.html

      אופרטורים

      נתון אופרטור הרמיטי A. הראו כי האופרטורים הבאים אוניטריים:
      א) U=e^{iA}.
      ב) U=\frac{1-iA}{1+iA}.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_042.html

      הצגה מטריצית של אופרטורים

      במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של 3 אופרטורים בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
      B=b\left(1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\\0\ 1\ 0\right)  , A=a\left(0\ 1\ 0\\1\ 0\ 0\\0\ 0\ 1\right) , H=\hbar\omega_0\left(1\ \ 0\ \ \ 0\\0\ -1\ \ 0\\0\ \ 0\ -1\right)

      א) אילו מבין האופרטורים הללו ניתנים ללכסון משותף? מצאו את הבסיס \left{|v_i>\right} (המנורמל) בו 2 מהאופרטורים מלוכסנים.
      ב) מצאו את הוקטורים העצמיים (המנורמלים) \left{|r_i>\right} של האופרטור השלישי . כיצד נדע מראש שהם מהוים בסיס אורתונורמלי ?
      ג) מצאו את המטריצה שמבצעת טרנס' |r_i>=U|u_i>. הוכיחו שהיא מטריצה אוניטרית.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_043.html

      הצגה מטריצית של אופרטורים

      במערכת פיסיקלית בעלת מרחב מצבים תלת מימדי נתונה הצגה מטריצית של ההמילטוניאן בבסיס האורתונורמלי |u_1>,|u_2>,|u_3>:
         H=\hbar\omega_0\left(2\ 1\ 0\\1\ 2\ 0\\0\ 0\ 3\right)

      א) מהם ערכי האנרגיה האפשריים של המערכת ?
      ב) נתון חלקיק המיוצג בבסיס הנתון כ- |\psi>=\frac{i}{\sqrt{3}}\left(1\\-1\\1\right). מצאו את <E>,<E^2>,\Delta E עבור החלקיק.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_044.html

      מדידה של אופרטורים

      נתונה מערכת קוונטית בעלת 3 מצבים אפשריים.
      וקטורי הבסיס ההתחלתי של מרחב המצבים הם:   |1>=(1\ 0\ 0),|2>=(0\ 1\ 0),|3>=(0\ 0\ 1).
      בבסיס זה, המטריצה של ההמילטוניאן H נתונה על ידי:   <n|H|m>=\lambda+\lambda\delta_{mn}.
      א. נסמן את הוקטורים העצמיים של ההמילטוניאן על ידי |a>,|b>,|c> ואת הערכים העצמיים המתאימים על ידי E_a,E_b,E_c. מצאו את המצבים העצמיים והראו שהאנרגיות העצמיות מקיימות  E_a=E_b=\frac{E_c}{4}.
      ב. נתון: |\psi(t=0)>=\frac{3}{5}|a>+\frac{4}{5}|c>  (המצבים |a>,|c> הם בעלי אנרגיות עצמיות שונות זו מזו).
      לאחר כמה זמן תחזור המערכת בודאות למצבה ההתחלתי בפעם הראשונה ?
      ג. בבסיס המקורי המטריצה של האופרטור A היא:  <n|A|m>=n\lambda\delta_{mn}. בזמן שהמערכת הייתה במצב |\psi>=|1> ביצעו מדידה של האנרגיה ולאחריה מדידה של A. במדידה של A התקבלה תוצאה השווה לחצי מהתוצאה שהתקבלה במדידת האנרגיה. מה היה הערך של E לפני מדידת  A?
      ד. מהי פונקצית הגל לאחר כל מדידה ? מהן ההסתברויות לקבל את התוצאות שתוארו בסעיף ג' ?


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_045.html

      אופרטורים

      יחס החילוף מוגדר \left[A,B\right]=AB-BA . הוכיחו את הקשרים הבאים:
      א) \left[A+B,C\right]=\left[A,C\right]+\left[B,C\right]
      ב) \left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
      ג) \left[A,B^n\right]=\Sigma_{k=0}^{n-1}{B^k\left[A,B\right]B^{n-k-1}}
      ד) השתמשו בסעיף ג' על מנת למצוא \left[f(x),p\right]
          רמז: ניתן לפתח כל פונקציה אנליטית לטור f(x)=\Sigma{a_nx^n}

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_046.html

      אופרטורים

      נתונים שני אופרטורים המקיימים את הקשר \left[A,\left[A,B\right]\right]=\left[B,\left[A,B\right]\right]=0
      א) הוכיחו את הקשר \left[A,B^n\right]=n\left[A,B\right]B^{n-1}
      ב) בעזרת סעיף א' הוכיחו כי עבור כל פונקציה אנליטית F מתקיים \left[A,F(B)\right]=\left[A,B\right]F'(B)
      ג) בעזרת סעיף ב' הוכיחו את הקשר
      e^Ae^B=e^{A+B}e^{\left[A,B\right]/2}


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_060.html

      אופרטור הזזה

      הראו כי האופרטור D_{(x_0)}=e^{-ix_0p/\hbar} הוא אופרטור הזזה:
      D_{(x_0)}:f(x)\rightarrow f(x-x_0)


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_061.html

      אופרטור היטל

      מרחב הילברט מיוצג ע"י אוסף המצבים העצמיים המנורמלים של האנרגיה:
      H|n>=E_n|n>\ \ \ \left{|n>,\ n=0,1,2,3,...\right}
      אופרטור השלכה P_n מוגדר ע"י:
      P_n|\psi>=<n\|psi>|n>

      א) האם P_n הרמיטי?
      ב) הראו כי (P_n)^2=P_n.
      ג) מהם הערכים העצמיים של האופרטור? מה דרגת הניוון שלהם ?
      ד) הוכיחו כי H=\Sigma_n{E_nP_n}.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_070.html

      משוואות תנועה

      נתון ההמילטוניאן
      H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}x^2
      הראו כי:
      א) \frac{d}{dt}<x^2>=\frac{1}{m}<xp+px>.
      ב) \frac{d}{dt}<p^2>=-m\omega^2<xp+px>.
      ג) \frac{d}{dt}<xp+px>=\frac{2}{m}<p^2>-2m\omega^2<x^2>.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_071.html

      משוואות תנועה

      התנע הזוויתי מוגדר על ידי
      \vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}
      א) מהו [\vec{L},r^2]?
      ב) הראו כי \frac{d}{dt}<\vec{L}>=-<\vec{r}\times \vec{\nabla} V>=<\vec{r}\times \vec{F}>.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_072.html

      משוואות תנועה

      עבור חלקיק חופשי במימד אחד, חשבו את השונות במיקום בזמן t:  (\Delta x)^2_t\equiv <(x-<x>_t)^2>_t=<x^2>_t-<x>^2_t. עשו זאת שלא על ידי שימוש בפונקצית גל, אלא על ידי שימוש ושימוש חוזר ב-
      i\hbar\frac{d}{dt}<A>=<[A,H]>+i\hbar<\frac{\partial}{\partial t}A>.
      הראו כי
      (\Delta x)^2_t=(\Delta x)^2_0+\frac{2}{m}\left( \frac{1}{2}<xp+px>_0-<x>_0<p>_0\right) t+\frac{(\Delta p)^2}{m^2}t^2
      וגם
      (\Delta p)^2_t=(\Delta p)^2_0=(\Delta p)^2


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_080.html

      תמונת הייזנברג

      נתון ההמילטוניאן של חלקיק חופשי בשלשה מימדים:
      H=\frac{\vec{p}^2}{2m}
      א) קבלו את משוואות התנועה של המערכת בעזרת משוואת התנועה של הייזנברג.
      ב) נתונים האופרטורים  \vec{p}_0, \vec{r}_0 בזמן t=0. מצאו את האופרטורים  \vec{p}, \vec{r} בזמן t.
      ג) בזמן t=0 פונקצית הגל המנורמלת (בתמונת שרדינגר היא) היא:
      \psi(r,0)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right) ^{3/4}e^{\frac{-\alpha r^2}{2}
      מהו הממוצע של <\vec{r}^2> בזמן t?

      (מבחן 2006, מועד ב')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_081.html

      תמונת הייזנברג

      נתון ההמילטוניאן של מערכת מסויימת:
      H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2+\beta x
      א) קבלו את משוואות התנועה של המערכת בעזרת משוואת התנועה של הייזנברג.
      ב) נתונים האופרטורים  {p}_0, x_0 בזמן t=0. מצאו את האופרטורים  {p}, x בזמן t.
      ג) בזמן t=0 פונקצית הגל המנורמלת (בתמונת שרדינגר היא) היא:
      \psi(x,0)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right) ^{1/4}e^{\frac{-\alpha r^2}{2}
      מהו הממוצע של <x> בזמן t?

      (מבחן 2006, מועד א')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_082.html

      תמונת הייזנברג

      נתון ההמילטוניאן של מערכת מסויימת:
      H=\frac{p^2}{2m}+V(x)
      א) בעזרת משוואת התנועה של הייזנברג מצאו את \frac{d}{dt}(xp).
      ב) במצב סטציונרי מתקיים \frac{d}{dt}(xp)=0. מהו הקשר בין האנרגיה הקינטית לפוטנציאל במצב זה?

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_083.html

      תמונת הייזנברג - אופרטורי סולם

      נתון חלקיק בעל מטען e^+ ומסה m אשר נמצא בשדה חשמלי קבוע \vec{E}=E_0\hat{x} תחת השפעת הפוטנציאל:
      V=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
      בעזרת משוואת התנועה של הייזנברג מצאו את a(t),a^\dagger(t) על ידי חישוב יחס החילוף עם ההמילטוניאן, הצבה במשוואת שרדינגר, ופתרונה.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_084.html

      תמונת הייזנברג - אופרטורי סולם

      בתמונת הייזנברג התלות בזמן של האופרטור A ניתנת על ידי:
      A_H(t)=U^\dagger (t)AU(t)
                   (כאשר: U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}  )
      ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני הוא:
        H=\hbar \omega\left(a^\dagger a+1/2\right)       
      כאשר עבור מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (|n> ) מתקיים:
      a|n>=\sqrt{n}|n-1>
      a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>
      1. נתונים שני אופרטורים המקיימים [A,B]=\lambda A, בעזרת הזהות:   Ae^B=e^\lambda e^B A, הוכיחו כי: 
      א) a^\dagger e^{\frac{i}{\hbar}Ht}=e^{-i\omega t} e^{\frac{i}{\hbar}Ht} a^\dagger
      ב) a^\dagger e^{H}|n>=e^{(n+1/2)\hbar\omega}a^{\dagger}|n>
      2. הוכיחו כי:
      א. e^{\alpha a^\dagger a}a e^{-\alpha a^\dagger a} |n>=e^{-\alpha}a|n>                          ( - מספר מרוכב)
      ב. e^{\alpha a^\dagger a}a^\dagger e^{-\alpha a^\dagger a} |n>=e^{\alpha}a^\dagger |n>
      3. השתמשו בסעיף הקודם בכדי לקבל את X_H(t) ע"פ: 
      X_H=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a_H+a^\dagger _H)

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_090.html

      אופרטורי סולם

      א) מצאו את המטריצות המייצגות של a,a^\dagger בבסיס האנרגיה.
      ב) מצאו את אלמנטי המטריצה של X בעזרת a,a^\dagger.
      ג) מצאו את אלמנטי המטריצה של  X^2 בעזרת כפל מטריצות.
      ד) מצאו את אלמנטי המטריצה של  X^2 בעזרת a,a^\dagger


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_091.html

      אופרטורי סולם

      עבור אוסילטור הרמוני:
      א) חשבו אלמנטי המטריצה המייצגת את אופרטור התנע P_{kn} עבור P_{kn}, בעזרת הפונקציות העצמיות של הממילטוניאן (יש להשתמש בפונקציות הגל המפורשות).
      ב) מצאו את אלמנטי המטריצה של P_{kn} לכל k,n בעזרת אופרטורי הסולם a,a^\dagger.
      ג) מצאו את אלמנטי המטריצה של P_{kn}^2 לכל k,n בעזרת אופרטורי הסולם a,a^\dagger.
      ד) מצאו את אלמנטי המטריצה של P_{kn}^2 לכל k,n בעזרת כפל מטריצות.
      ה) מצאו את אלמנטי המטריצה של (XP)_{kn} לכל k,n בעזרת אופרטורי הסולם a,a^\dagger.
      ו) מצאו את אלמנטי המטריצה של (XP)_{kn} לכל k,n בעזרת כפל מטריצות.
      ז) חשבו את \Delta x,\Delta p עבור המצבים העצמיים של ההמילטוניאן ומצאו את \Delta x\Delta p. מהו הערך המינימלי האפשרי של \Delta x\Delta p, ועבור איזה מצב עצמי הוא מתקבל ?
      ח) מצאו את האנרגיה הקינטית הממוצעת ואת האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת עבור מצב n. רשמו את התוצאות כפונקציה של האנרגיה הכללית E_{n}.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_092.html

      אופרטורי סולם

      נתון ההמילטוניאן
      H=E_0a^\dagger a + K(a+a^\dagger)
      כאשר ידוע כי [a,a^\dagger]=\beta^2  ו- [a,a^\dagger]=\beta^2 הוא קבוע ממשי וחיובי ו- E_0,K ממשיים.
      א) מצאו מקדמים מרוכבים u,v כך שהאופרטורים b=ua+v,\ b^\dagger=u*a^\dagger +v* מקיימים [b,b^\dagger]=1 וכן מתקיים H=E_1b^\dagger b + E_2. בטאו את E_1,E_2 באמצעות
      E_0,V,\beta.
      ב) השתמשו בידע על אוסילטור הרמוני כדי לזהות מהם הערכים העצמיים האפשריים של H.
      ג) רשמו במפורש את אלמנטי המטריצה של a בין המצבים העצמיים של H. בפרט, מהו הממוצע של (a+a^\dagger) בכל מצב עצמי כזה ?

      (מבחן 2004, מועד ב')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_100.html

      מערכת של שני חלקיקים

      שני חלקיקים בעלי מסות שוות נעים על קו ישר בפוטנציאל הרמוני זהה, A\left(x_1^2+x_2^2\right)/2. בין שני החלקיקים פועל כוח שתלוי רק במרחק בין החלקיקים V(x_1-x_2).
      א) קבלו את משוואת שרדינגר עבור תנועת מרכז המסה ועבור התנועה היחסית של החלקיקים.
      ב) בהנחה שהפוטנציאל בין החלקיקים גם הוא הרמוני, V(q)=Bq^2/2,\ \left(B>0\right), פתרו את משוואת שרדינגר ומצאו את הערכים העצמיים של האנרגיה ואת המצבים העצמיים המתאימים. מהי הסימטריה של מצבים אלה לחילוף שני החלקיקים? רשמו במפורש את המצבים עם 3 האנרגיות הנמוכות ביותר.
      ג) בזמן t=0 נמצאים שני החלקיקים במצב היסוד של המערכת. באותו זמן משתנה הפוטנציאל ה"משותף", שהופך להיות A\left(x_1^2+x_2^2\right). מהו הסיכוי למצוא את המערכת במצב היסוד החדש ?

      (מבחן 2007, מועד א')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_101.html

      תנע זוויתי בקואורדינטות גליליות

      1) מצאו את התנע הזוויתי בקואו' גליליות A\left(x_1^2+x_2^2\right)/2.
      2) מצאו את רכיב התנע הזויתי בכיוון Z.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_102.html

      אוסילטור הרמוני בקואורדינטות גליליות

      פתרו את משוואת שרדינגר עבור אוסילטור הרמוני בקואו' גליליות
      V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(\rho^2+z^2\right)


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_103.html

      אוסילטור הרמוני דו מימדי

      פוטנציאל של אוסילטור הרמוני דו מימדי הוא מהצורה V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(x^2+y^2\right).
      עבור פוטנציאל מסוג זה ניתן להשתמש בשני צמדים של אופרטורי העלאה והורדה הנתונים על ידי:
      a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha x+i\frac{p_x}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha y+i\frac{p_y}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ \alpha=\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}
      (והצמודים ההרמיטיים שלהם)
      א) בטאו את ההמילטוניאן בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה וחשבו את האנרגיות העצמיות. מהי רמת הניוון של המערכת ?
      ב) בטאו את התנע הזוויתי L_z בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה. הוכיחו שהביטוי שהתקבל הרמיטי. השתמשו ביחס החילוף בין אותם אופרטורים כדי לחשב את יחס החילוף [L_z,H].
      ג) עבור רמת האנרגיה המתאימה לניוון מסדר שני, מצאו וקטורים עצמיים המשותפים לאופרטורים L_z,H. הראו כי מצבים אלה אינם מנוונים ביחס לאופרטור  L_z.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_104.html

      אוסילטור הרמוני דו מימדי

      נתון אוסילטור הרמוני דו מימדי עם הפוטנציאל
      V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(x^2+y^2\right)+\lambda xy
      א) בצעו החלפת משתנים על מנת שלא יהיו איברים מעורבים בהמילטוניאן. מהי מטריצת המעבר מ- x,y למשתנים החדשים ?
      ב) מצאו את המצבים העצמיים ואת רמות האנרגיה.
      ג) האם קיים ניוון ? אם כן, מהו ?
      ד) חזרו על כל הסעיפים הנ"ל כאשר מוספים לפוטנציאל את האיבר \frac{1}{2}m\omega^2_2 z^2. עבור אילו ערכים של \omega_2 יווצר ניוון נוסף ? מהו ניוון זה ?



      CONTRIBUTIONS/e_80_1_105.html

      חלקיק על רצועת מוביוס

      א) מצאו את המצבים העצמיים של חלקיק המוגבל לנוע על גבי רצועת מוביוס.
      ב) מצאו את צפיפות המצבים (מספר המצבים עם אנרגיה בתחום E\rightarrow E+dE).

      התיחסו אל החלקיק כנתון בבור פוטנציאל דו-מימדי בעל רוחב L_x ואורך L_y (בסעיף ב' הניחו כי L_y=L_x).
      תנאי השפה בכיוון הרוחבי הם שפונקצית הגל מתאפסת ב y=\pm\frac{L_y}{2},
      ובכיוון האורכי תנאי השפה הם: \psi(-\frac{L_x}{2},y)=\psi(\frac{L_x}{2},-y).

      ניתן לראות רצועת מוביוס ב:
      http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_110.html

      פולינומי לג'נדר

      בעזרת הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר
      T(w,s)=\left(1-2ws+s62\right)^{1/2}=\Sigma_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
      הראו כי
      (l+1)P_{l+1}(w)=(2l+1)wP_{l}(w)-lP_{l-1}(w)

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_111.html

      פולינומי לג'נדר

      בעזרת הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר
      T(w,s)=\left(1-2ws+s62\right)^{1/2}=\Sigma_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
      הראו כי
      (1-w^2)\frac{d}{dw}P_{l}(w)=-lwP_{l}(w)+lP_{l-1}(w)

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_112.html

      פולינומי לג'נדר

      בעזרת הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר
      T(w,s)=\left(1-2ws+s^2\right)^{-1/2}=\sum_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
      הראו כי
      \int_{-1}^{1}{dw P_l(w)P_k(w)=\frac{2}{2l+1}\delta_{lk}
      העזרו בטור הידוע
      \ln{\frac{1+z}{1-z}}=2\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{z^{2l+1}}{2l+1}

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_113.html

      פולינומי לג'נדר הנלווים

      בעזרת הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר הנלווים
      T(w,s)=\frac{(2m)!\left(1-w^2\right)^{m/2}s^m}{2^m m! \left(1-2ws+s^2\right)^{m+1/2}}=\Sigma_{l=m}^{\infty}{P_l^m(w)s^l}
      הראו כי
      \left(2l+1\right)wP_l^m(w)=\left(l-m+1\right)P^m_{l+1}(w)+\left(l+m\right)P_{l-1}^m (w)

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_120.html

      הצגה מטריצית בבסיס הרמוניות ספריות

      עבור  l=1, מצאו את אלמנטי המטריצה של L_x.

      L_x=-i\hbar \left(-\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_121.html

      הצגה מטריצית בבסיס הרמוניות ספריות

      עבור  l=2, מצאו את אלמנטי המטריצה של
       L_x,L_y,L_z,L_+,L_-,L^2.

      א) באופן ישיר (חישוב האינטגרלים).
      העזרו ב:

      L_x=-i\hbar \left(-\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)
      L_y=-i\hbar \left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}-\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)
      L_z=-i\hbar \left(\frac{\partial}{\partial\phi}\right)

      ב) בעזרת יחסי החילוף, משוואות הערכים העצמיים של ריבוע התנע הזוויתי \hbar^2l(l+1) ומרכיב - z של התנע הזוויתי \hbar m וגם:
      L_{\pm}|lm>=\hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}|l,m \pm 1>


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_122.html

      הצגה מטריצית בבסיס הרמוניות ספריות

      הראו כי:
      א) [L_i,r_j]=i\hbar\Sigma_k{\epsilon_{ijk} r_k}
      ב) [L_i,r^2]=0
      ג) עבור  l=2, מצאו את אלמנטי המטריצה של r_i בשתי דרכים:
          i) בעזרת יחסי החילוף שמצאתם לעיל.
         ii) באופן ישיר (חישוב האינטגרלים) - רק עבור x.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_130.html

      חלקיק בפוטנציאל רדיאלי

      נתון חלקיק ‫הנע בהשפעת פוטנציאל בעל סימטריה כדורית. החלקיק נמצא במצב קוונטי:‬
      \psi(x,y,z)=C(xy+yz+zx)e^{-\alpha \left(x^2+y^2+z^2\right)
      א. מה ההסתברות לכך שבמדידת L^2 יתקבל הערך 0 ?
      ב. מה ההסתברות לכך שבמדידת L^2 יתקבל הערך 6\hbar ^2 ?
      ג) מבצעים מדידה של L^2 ומקבלים 6\hbar ^2. כעת מבצעים מדידה של L_z. אילו ערכים ניתן לקבל במדידת L_z ומה ההסתברות למדידת כל אחד מהם?
      ד) מה ההסתברות לכך שבמדידת L_x יתקבל הערך 0 ?

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_140.html

      חלקיק בפוטנציאל של קליפה כדורית

      נתון חלקיק בעל מסה m ותנע זויתי l=0 בהשפעת פוטנציאל מושך של קליפה כדורית:‬
      V(r)=-a\delta(r-R)
      כאשר a>0,R>0 קבועים.

      א) רשמו את המשוואה הרדיאלית ל- u(r) עבור מצבים קשורים E<0, ורשמו את כל התנאים (רציפות ואחרים) הדרושים לפתרון המשוואה.
      ב) מצאו משוואה סגורה עבור האנרגיות האפשריות.
      ג) מהו תנאי הכרחי ומספיק על a,R כדי שיהיה מצב קשור ?
      ד) בתנאי זה, כמה ערכי אנרגיות אפשר למדוד לחלקיק? נמקו.

      (מבחן 2005, מועד ב')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_141.html

      המילטוניאן מעורב

      נתון ההמילטוניאן המייצג מערכת של אלקטרון וגרעין:

      H=\frac{\vec{P}_{cm}^2}{2M}+\frac{1}{2}M\omega^2\vec{R}_{cm}^2+\frac{\vec{p}^2}{2m_e}-\frac{e^2}{r}

      באשר  {\vec{P}_{cm},{M},\vec{R}_{cm}  מאפיינים את מערכת מרכז המסה ו  \vec{p} \ , \ {m_e} \ , \ \vec{r}  מאפיינים את האלקטרון.

      א) מצאו את אנרגיית היסוד E_{0} ופונקצית הגל המתאימה של המערכת \Psi_0(\vec{R}_{cm},\vec{r}).

      ב) הרמה הראשונה מעל רמת היסוד מנוונת 7 פעמים. מצאו את \omega.


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_142.html

      חלקיק בפוטנציאל רדיאלי

      פונקצית הגל של חלקיק בעל מסה m שנע בשלושה ממדים היא \psi=Ae^{-\alpha r}, כאשר r הוא המרחק הרדיאלי מהראשית.

      א) בהנחה שהאנרגיה הפוטנציאלית V(r) דועכת לאפס כאשר r שואף לאינסוף, זהו את הפונקציה V(r). מהי האנרגיה של החלקיק?
      ב) מהי הרמה המעוררת הראשונה, ומהן פונקציות הגל המתאימות לה? מהו הנוון שלה?
      ג) מהו הערך הממוצע של r בכל אחד מהמצבים של סעיף ב'? ומהם הערכים הממוצעים של x,y,z בכל אחד ממצבים אלו?
      ד) מדדו את מרכיב-z של התנע הזויתי וקיבלו את התוצאה 0 בסיכוי 1. אחרי המדידה הזאת מדדו את ריבוע התנע הזויתי, וקיבלו את התוצאה 0 ברבע מהמדידות ואת התוצאה 2\hbar^2 ב-3/4 מהמדידות. בהנחה שפונקצית הגל ממשית ומורכבת רק מהמצבים של סעיף ב', מה זה אומר על פונקצית הגל ההתחלתית?

      (מבחן 2007, מועד א')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_143.html

      זוגיות של ספירות הרמוניות

      אטום מימן נמצא בזמן t=0 בפונקצית הגל:
      \psi(\vec{r},t=0)=\frac{1}{\sqrt{14}}\left( 2|100>-3|200>+|322> \right)

      כאשר |nlm> מייצג מצב עצמי של האנרגיה E_n, ריבוע התנע הזוויתי \hbar^2l(l+1) ומרכיב - z של התנע הזוויתי \hbar m.
      1. האם זו פונקציה עצמית של אופרטור הזוגיות, P\varphi(\vec{r})=\varphi(-\vec{r})? מהו הממוצע של P במצב זה ?
      2. מצאו את \psi(\vec{r},t).
      3. מהו הממוצע <x> בזמן t?
      4. מהם הערכים הממוצעים <H>,<L^2>,<L_z> בזמן t?

      5. מהו הממוצע <r> בזמן t? חשבו את \overline{<r>}.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_144.html

      זרם הסתברות בפוטנציאל כדורי

      עבור אטום מימן, V(r)=-\frac{e^2}{r}, נתון כי החלקיק נמצא במצב עצמי עם האנרגיה העצמית E_n=\frac{E_1}{n^2}.
      1. חשבו את זרם ההסתברות של החלקיק ובטאו אותו בעזרת צפיפות ההסתברות. הראו כי כוון הזרם תלוי בערכים העצמיים של האופרטור L_z. חשבו מפורשות את \vec{\nabla}\cdot \vec{J}.
      2. הראו כי מתקיים \left<\frac{p^2}{2m}\right>=-\frac{1}{2}\left<V(\vec{r})\right>. רמז: הסתכלו על הגודל \frac{d}{dt}\left<\vec{r}\cdot\vec{p}\right>.
      3. השתמשו בתוצאת הסעיף הקודם כדי לחשב את הגודל \left<\frac{1}{r}\right>. בטאו את התוצאה שקיבלתם בעזרת אנרגית מצב היסוד.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_145.html

      אוסילטור הרמוני בקואורדינטות כדוריות

      פתרו את משוואת שרדינגר עבור אוסילטור הרמוני בקואו' כדוריות
      V=\frac{1}{2}m\omega^2r^2
      מצאו את האנרגיות העצמיות ואת דרגת הניוון שלהן.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_147.html

      כללי ברירה - הדרך הקשה

      מצאו את אלמטי המטריצה של x,y,z בוקטורי הבסיס של אטום מימן, n=2.
      ודאו כי
      x^2+y^2+z^2=r^2


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_148.html

      כללי ברירה - הדרך הקלה

      א) הראו כי
      \left[L^2,\left[L^2,z\right]\right]=2\hbar^2\left(L^2z+zL^2\right)
      ב) בעזרת הסעיף הקודם ובעזרת \left[L_z,z\right], מצאו אילו מאיברי המטריצה של z, \left<nlm|z|n'l'm'\right>, מתאפסים מיידית, ואילו לא.

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_150.html

      מדרגת פוטנציאל עם ספין חצי

      חלקיק עם ספין 1/2 מפוזר ממדרת פוטנציאל חד-מימדית (בכיוון ציר x) שעליה פועל גם שדה מגנטי B בכיוון ציר z. ההמילטוניאן של החלקיק הוא לכן:
      H=\frac{p_x^2}{2m}+V(x)
      כאשר
      V(x)=\left{0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x<0 \\ V_0+aS_z\ \ \ \ x>0

      א) למה שווה המקדם a? איזה מרכיב של הספין חילופי עם ההמילטוניאן? מה זה אומר על הספינורים העצמיים של ההמילטוניאן? אם מסמנים את הספינורים העצמיים הללו על ידי |\chi _1> ו- |\chi _2>, אז מצב הספין הכללי של החלקיק הוא \psi_1|\chi _1>+\psi_2|\chi _2>. רשמו את משוואות שרדינגר הנפרדות עבור שתי הפונקציות \psi_1(x),\ \psi_2(x).
      ב) שולחים חלקיק חופשי משמאל, עם אנרגיה ששווה ל- E=V_0=\hbar^2k^2/2m, ועם \psi_2(x)=0. מהם מקדמי ההעברה וההחזרה במקרה זה? מהן התשובות כאשר \psi_1(x)=0?
      ג) שולחים משמאל חלקיק אחרי שמדדו עבורו את מרכיב x של הספין וקיבלו \hbar/2. מהו הספינור הנכנס? השתמשו בתוצאות הקודמות כדי לרשום את הספינור המוחזר ואת הספינור העובר ימינה (רמז: זהו את \psi_1(x),\ \psi_2(x) עבור הגל הנכנס משמאל, ואז השתמשו בתוצאות הקודמות לזיהוי מלא של פונקציות אלה).

      (מבחן 2007, מועד ב')

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_151.html

      ספין חצי

      נתון שרכיב ה- z של ספין אלקטרון הוא\frac{1}{2}\hbar . נגדיר ציר z' שיוצר זוית \theta עם ציר z, וזווית \phi עם ציר x.
      א) מצאו את הוקטורים העצמיים \left|\chi_\uparrow \right>,\ \left|\chi_\downarrow \right> של הספין בכיוון z', S_{z'}. הראו מפורשות כי הוקטורים האלו אורתוגנליים וכן כי
      \left|\chi_\uparrow \right>\left<\chi_\uparrow \right|+\left|\chi_\downarrow \right>\left<\chi_\downarrow \right|=1
      ב) מה ההסתברות למדידת \frac{1}{2}\hbar, -\frac{1}{2}\hbar בהיטל לציר z'?
      ג) מהו הספין הממוצע בציר זה ?

      CONTRIBUTIONS/e_80_1_152.html

      מטריצות פאולי

      א) הראו כי מטריצות פאולי מקיימות עבור "האנטי-קומוטטור"
      \left[\sigma_i,\sigma_j\right]_+\equiv \sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}

      ב) הראו כי אם \vec{A},\ \vec{B} הם אופרטורים וקטוריים המתחלפים עם \vec{\sigma}, אזי
      \left(\vec{\sigma}\cdot\vec{A}\right)\left(\vec{\sigma}\cdot\vec{B}\right)=\vec{A}\cdot\vec{B}+i\vec{\sigma}\cdot\left(\vec{A}\times\vec{B}\right)


      CONTRIBUTIONS/e_80_1_160.html

      אפקט זימן 

      א) קרן של חלקיקים עם l=1 (ספין 0) נעה לאורך ציר y ועוברת דרך מגנט סטרן-גרלך P המכוון בציר x. הקרן היוצאת עם m=1 מופרדת משתי האחרות ועוברת דרך מגנט סטרן גרלך שני Q, המכוון בציר z. לכמה קרניים קרן זו תתפצל, ומהו המספר היחסי של אטומים בהן ?
      ב) מה יהיו התוצאות אם הקרניים m=0 ו- m=-1 מהמגנט P היו גם הן נכנסות למגנט שכזה?
      e_80_1_160_p0.jpg

      CONTRIBUTIONS/e_81_1_001.html sol

      Two-dimensional well

      A particle of mass m is confined to a two-dimensional well LxL. From arguments based on the wave interpretation of matter, show that the energy of the particle can have only discrete values and determine these values.

      CONTRIBUTIONS/e_81_1_002.html sol

      Uncertainty

      Suppose that a momentum of a certain particle can be measured to an accuracy of 1/1000. Determine the minimum uncertainty in the position of the particle if the particle is:
      1. a 5x10-3 kg moving with a speed of 2 m/s
      2. an electron moving with a speed of 1.8x108 m/s

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_002.html sol sol

      עקרון סופרפוזיציה

      נניח כי A הוא אופרטור הרמיטי. נסמן ב-\psi_i(x) את הוקטורים העצמיים של A. נסמן ב-\alpha_i את הערכים העצמיים המתאימים לוקטורים העצמיים אלה. הוקטורים העצמיים מהווים סט אורתונורמלי שלם כך שכל פונקציית גל ניתנת לרישום ע"י \phi(x)=\sum_i b_i\psi_i(x).
      1. הראו כי אם \phi(x) מנורמלת אזי \sum_i |b_i|^2=1.
      2. הראו כי \int \phi^\ast(x)A\phi(x)dx=\sum_i \alpha_i|b_i|^2. מה המשמעות של התוצאה זו?

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_003.html sol sol

      חסם תחתון לתנע בריבוע

      נתונה פונקצית גל זוגית u(x). נתון גם כי \int u^\ast(x)x^2u(x)dx = A  .
      מצא\י חסם תחתון לערך הממוצע של התנע בריבוע <p^2> במצב זה.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_004.html sol sol

      פונציות גל בהצגת התנע והמקום

      נניח כי חלקיק מתואר ע" י פונקצית הגל \phi(x).
      נסמן את הטרנספורם פוריה שלה ע" י \hat\phi(k). נתון כי \psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\imath}{\hbar} p x} מייצגת פונקצית גל של חלקיק בעל תנע p.
      הראה\י כי ההסתברות שהתנע (של החלקיק המתואר ע" י \phi(x)) יהיה p היא  \hat\phi(k).

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_006.html sol sol

      אופרטורים הרמיטיים

      1. הוכח/י כי הערך עצמי של אופרטור הרמיטי הוא ממשי.
      2. הוכח/י כי וקטורים עצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים של אופרטור הרמיטי אורטוגונליים אחד לשני.
      הערה: כל האופרטורים הנצפים בקוונטים הם הרמיטיים.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_007.html sol sol

      ספינים

      נתונים האופרטורים הבאים:
      S_x=\frac{\hbar}{2}\left(\matrix{0&1\\1&0}\right), \;\;\; S_y=\frac{\hbar}{2}\left(\matrix{0&-\imath\\\imath&0}\right), \;\;\;S_z=\frac{\hbar}{2}\left(\matrix{1&0\\0&-1}\right)
       (הערה: אופרטורים אלו מציינים את מדידת היטלי הספין השונים)
      1. האם אופרטורים אלה הרמיטיים ?
      2. הוקטורים \vec{S}_{\uparrow}=\left(\matrix{1\\0}\right),\;\;\;\vec{S}_{\downarrow}=\left(\matrix{0\\-1}\right)  מתארים מהווים ו" ע של איזה אופרטור מוך הרשומים לעיל?
      (הערה: וקטורים אלו מתארים את שני מצבי היטל הספין של חלקיק (למעלה ולמטה)).

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_008.html sol sol

      חישוב ממוצעים

      נתונה פונקצית הגל המנורמלת \Psi(x) = A\exp{(-x^2/a^2)}של חלקיק מסוים.
      1. מהו A (מתוך נרמול)?
      2. מהו המיקום הממוצע של החלקיק <x>?
      3. מהו <x^2> ?
      4. מהם  <p>,  <p^2>?
      אופרטור התנע הינו  \hat{p} = -\imath\hbar\frac{\partial}{\partial x}.
      הדרכה: פונקצית גאמה     \Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt, \;\;\; \Gamma(z+1)=z\Gamma(z), \;\;\; \Gamma(3/2)=\sqrt{\pi}/2

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_009.html sol sol sol sol

      עקרון אי הוודאות

      רשום ביטוי לאנרגיה הכוללת (קינטית ופוטנציאלית) של קפיץ.
      בהנתן שהמיקום הממוצע והתנע הממוצע הם אפס, הראה בעזרת עקרון אי הודאות כי האנרגיה הממוצעת המינימלית של הקפיץ היא \frac12\hbar\sqrt{\frac{k}{m}}

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_010.html sol sol sol

      עקרון אי הוודאות

      נתונה פונקצית הגל  \psi(x)=C\exp{\left(-\frac{|x|}{2a}\right)} ,בתחום  -\infty<x<\infty, כאשר a נתון .

      א.מצאו את הקבוע C מתוך תנאי הנרמול.

      ב.חשבו את הממוצע  <x> ואת השונות   <x^2>-<x>^2.

      ג.חשבו את הממוצע ואת השונות של התנע,  <p> ו- <p^2>-<p>^2

      ד.חשבו את אי הודאות  \Delta x \Delta p. האם היא תלויה ב-a?


      CONTRIBUTIONS/e_81_2_011.html sol sol sol

      קליעה למטרה

      ילד על סולם בגובה H מנסה לקלוע לחריץ על הרצפה בדיוק מתחתיו.
      מצא את סטיית התקן המינימלית למרחק בו הגולות שהוא זורק יפספסו את החריץ.
      רמז: עקרון אי הוודאות...

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_012.html sol sol sol

      התאבכות של אלקטרונים

      1. אלקטרונים בעלי תנע p פוגעים במאונך בשני סדקים שהם במרחק d אחד מהשני. מה המרחק בין שני המקסימומים הסמוכים של תבנית ההתאבכות על המסך המרוחק מרחק D מהסדקים?
      2. בניסוי אמיתי שבוצע על ידי Joensson האלקטרונים הואצו על ידי הפוטנציאל של 50kV, המרחק בין הסדקים היה 2µm והמסך היה במרחק של 35cm. חשב את אורך הגל של האלקטרונים ואת  המרחק בין שני המקסימומים הסמוכים של תבנית ההתאבכות.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_013.html

      פונקציות גל

      פתרו את כל הסעיפים הבאים עבור כל אחת משתי פונקציות הגל הבאות.
      1. \Psi(x)=cx^2e^{-x^2/2a}
      2. \Psi(x)=\frac{c}{1+x^2/a}
      רמז מתמטי: עבור פונקצית הגל השנייה יהיה עליכם לחשב אינטגרלים ובהם חזקות שונות של
      \frac{1}{1+x^2/a}
      מומלץ להשתמש בהצבה
      x=\sqrt{a}\tan\theta

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_014.html

      יחסי חילוף

      1. הוכיחו את הקשר הבא: [\hat A,\hat B \hat C]=[\hat A\hat B, \hat C]+\hat B[\hat A, \hat C] 
        נתון ששני אופרטורים A ו-B מקיימים [[\hat A,\hat B], \hat A]=[[\hat A,\hat B], \hat B]=0 
      2. הוכיחו ש:  [\hat A,\hat B^n]=n[\hat A,\hat B]\hat B^{n-1}
      3. היעזרו בסעיף הקודם וחשבו את  [f(\hat x),\hat p].
        רמז: ניתן לפתח את f(\hat x)  בטור טיילור.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_015.html

      תנע זוויתי

      נתון אופרטור התנע הזוויתי  {\hat {\vec L}}={\hat {\vec r}}\times{\hat {\vec p}}.
      1. הוכיחו שהאופרטור הרמיטי.
        רמז: פרקו לרכיבים.
      2. חשבו את יחס החילוף שלו עם כל רכיבי אופרטור התנע ואופרטור המיקום.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_016.html

      אופרטור ההטלה

      נתון המילטוניאן H עם פונקציות עצמיות (מנורמלות) \psi_n(x)  ומצבים עצמיים E_n  בהתאמה (הניחו שאין ניוון).
      נגדיר אופרטור הטלה  \hat P_n , כך שפעולתו מוגדרת כך:
       \hat P_n\Psi(x)=\psi_n(x)\int dy\psi_n^*(y)\Psi(y)
       
      1. הסבירו מדוע \hat P_n  , נקרא אופרטור ההטלה.
        רמז: פרקו את פונקצית הגל, עליה מופעל \hat P_n , לפונקציות עצמיות.
      2. האם  \hat P_n הרמיטי?
      3. האם  \hat P_n הפיך?
      4. הראו כי:  \sum_n \hat P_n=I (I הוא אופרטור היחידה).
      5. הראו כי:  \hat P_n\hat P_m=\delta_{nm}\hat P_n\delta_{nm} היא דלתא של קרוניקר).
      6. הראו כי:  \sum_n E_n \hat P_n=\hat H.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_017.html

      חלקיק על רצועת מוביוס

      מצאו את הפונקציות העצמיות ואת האנרגיות העצמיות של חלקיק בבור דו-ממדי שהפוטנציאל עליו הוא 0 ושתנאי השפה הם:
      \psi(x,a)=\psi(x,-a)=0 \\ \psi(L,-y)=\psi(-L,y)
       
      זה מתאר רצועת מוביוס בעובי  2a  ובאורך 2L .

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_021.html sol

      פורמליזם קוונטי

      בהנתן סט שלם של פונקציות\{u_n(x)\}^\infty_{n=1}  , מצא/י ביטוי לפונקציה
      \delta(x-a), כטור של u_n(x) .


      CONTRIBUTIONS/e_81_2_022.html

      פורמליזם קוונטי

      מהם הפונקציות העצמיות והערכים העצמיים של האופרטור
       -\frac{\partial^2}{\partial x^2}  כאשר
      א.המרחב הוא מרחב הפונקציות הרציפות (-\infty,\infty) 
      ב.המרחב הוא מרחב הפונקציות הרציפות בקטע (L,0), שמתאפסות מחוץ לקטע זה.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_024.html

      פורמליזם קוונטי

      בטא\י את הפונקציה:
      pic
      ע" י טור פוריה.

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_025.html

      מטריצות פאולי

      הוכיחו ישירות (חשבון מטריצות) כי
      1x σ2yσ3y)(σ1y σ2xσ3y )(σ1y σ2yσ3x )= -(σ1xσ2xσ3x)
      כאשר σ1x  ו- σ1y הן פועלות על מרחב 1, σ2x  ו- σ2y הן פועלות על מרחב 2, וכן הלאה, כך ש-
      σ2xσ3y= σ3yσ2x    אף על פי    ש-    σ2xσ2y= -σ2yσ2x

      CONTRIBUTIONS/e_81_2_026.html

      How can we expand the function f(x)=x in orthonormal base of sin and cos?


      CONTRIBUTIONS/e_81_4_001.html

      אי - ודאות

      נתון ילד הזורק גולות ,בעלות מסה m, מראשו של סולם בגובה H כלפי מטה אל עבר סדק ברצפה.
      א) הראה/י שע"מ שהילד לא יחטיא את הסדק,  הרוחב המינימלי שלו צריך להיות  \Delta{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m}\sqrt{\frac{H}{2g}}} 
      ב) עבור H= 10 m, m=1 gram, האם הילד יוכל לבדוק את עיקרון האי-ודאות ?

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_002.html

      אי-וודאות

      א) נתונה רמה מעוררת בעלת אורך חיים של 0.01µs. מהו הרוחב האנרגטי של הרמה?
      ב) כאשר האלקטרון המאכלס את הרמה המעוררת הנ"ל יורד לרמה אנרגטית אחרת הוא פולט פוטון באורך גל של 6000Å. מצא.י את האי וודאות באנרגיית הפוטון, באורך הגל שלו ובתנע.
      ג) מהי האי וודאות במקום האטום?

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_131.html sol sol

      פורמליזם קוונטי

      ניסוי Davisson Germer מתבצע על סריג בעל d=1.04Å .
      מהי הזווית בה נראה התאבכות בונה אם מתח ההאצה הוא 65V?
      מהו מתח ההאצה הדרוש על-מנת שתתקבל התאבכות בונה מסדר שני בזוית של 50 מעלות?

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_132.html sol sol

      פורמליזם קוונטי

      א) מיקרוסקופ מאפשר להבחין בעצמים שגודלם הוא עד אורך הגל של האור בו משתמשים. מהו מתח ההאצה הדרוש למיקרוסקופ אלקטרונים על מנת שהרזולוציה שלו תהיה 0.5 אנגסטרם?
      ב) מהי האנרגיה של פוטון שבעזרתו ניתן יהיה להבחין בעצם בעל גודל זהה?
      ג) אם כן, למה מיקרוסקופ אלקטרוני עדיף על מיקרוסקופ אופטי? (רמז: מהו התחום של הפוטון בסעיף ב'?)

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_133.html sol sol

      פורמליזם קוונטי

      א) נתון חלקיק בעל מסה m הנע לאורך צירx במהירות v. בזמן t=0
      אי הודאות של החלקיק הינה Δ x0. מצא/י את אי הודאות במיקומו של החלקיק בזמן t.
      ב) האם אי הודאות Δ x גדלה או קטנה עם הזמן ? מה ניתן להסיק מכאן על חבילת הגלים המייצגת את החלקיק?
      ג) האם ידיעת מיקומו ההתחלתי של חלקיק בדיוק רב יותר תורמת או מפריעה לדיוק ידיעת מיקומו בזמן t?

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_134.html sol sol

      פורמליזם קוונטי

      א) נתון כי אורך החיים של אטום ברמה מעוררת מסוימת הוא 1.4*10^{-8}sec . מצא/י את רוחב האנרגטי של הרמה.
      ב) כאשר האטום חוזר לרמת היסוד הוא פולט פוטון. מתוך סעיף א' מצא/י את האי ודאות בתנע של האטום כתוצאה של פליטת הפוטון (רמז: מהי האי ודאות באנרגיה של הפוטון הנפלט?) ואת האי ודאות במקום של האטום.

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_135.html sol sol

      פורמליזם קוונטי

      א) בהנחת דה-ברוי, מצא/י את מהירות החבורה ואת מהירות הפאזהשל גוף מוצק.
      ב) מתוך סעיף א', האם המהירות ה'מכנית' v הנה מהירות הפאזה או מהירות החבורה?  

      CONTRIBUTIONS/e_81_4_136.html

      פורמליזם קוונטי

      א) מיקרוסקופ מאפשר להבחין בעצמים שגודלם הוא עד אורך הגל של האור בו משתמשים. מהו מתח ההאצה הדרוש למיקרוסקופ אלקטרונים על מנת שהרזולוציה שלו תהיה 0.5 אנגסטרם?
      ב) מהי האנרגיה של פוטון שבעזרתו ניתן יהיה להבחין בעצם בעל גודל זהה?
      ג) אם כן, למה מיקרוסקופ אלקטרוני עדיף על מיקרוסקופ אופטי? (רמז: מהו התחום של הפוטון בסעיף ב'?)
      ד) מהו התיקון היחסותי לנוסחת דה-ברוי? האם יש צורך בלתקן את הנוסחה גם במהירויות נמוכות?

      CONTRIBUTIONS/e_81_6_260.html

      אי-הודאות

      א.  להלן עדשה שבה משתמשים כדי לקבוע את המיקום של חלקיק קטן בעל מסה.  מאירים את החלקיק בעזרת פנס המקרין אור (פוטונים) מהצד.  כלומר הפוטונים נעים במקביל לציר האופקי x.  נוסחה מהאופטיקה הקלאסית אומרת שאי-הוודאות Δx במיקום של החלקיק היא
       
        Δx = λ / 2 sin θ
       
      כאשר λ הוא אורך הגל של האור מן הפנס. כלומר לקביעה מדויקת יותר של המיקום, דרוש אור בעל תדר גבוה יותר.  נניח שכאשר הפוטונים פוגעים בחלקיק, הם אינם מאבדים אנרגיה, אבל משנים כיוון.  על סמך שימור תנע, הוכיחו את עקרון אי-הוודאות של הייזנברג, כלומר שחוסר הוודאות Δp בקביעת התנע של החלקיק אחרי מדידת המיקום שלו הינו לפחות hx,  או בנוסחה המקובלת,
       
      Δx Δp > h.

      CONTRIBUTIONS/e_81_6_261.html

      חלקיק בבור פוטנציאל

      נתון חלקיק בבור פוטנציאל שגבולותיו בין –d/2  ל d/2
      מה רמות האנרגיה של אלקטרון בבור שרוכבו 1 ננומטר וגובהו 1.92 אלקטרון-וולט?
      (ראה יחידה 7 ספר הלימוד פרקים 3.1-2)

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_001.html sol sol sol

      בור פוטנציאל אינסופי

      חלקיק קוונטי נמצא בבור פוטנציאל סימטרי אינסופי  V(x)=\left{\matrix{0, & -a/2<x<a/2\\ \infty, & \text{otherwise}}\right..
      1. מצאו את המצבים העצמיים ואת האנרגיות העצמיות. ציירו את שלושת המצבים העצמיים הראשונים.
      2. האם התוצאות שקיבלתם דומות או שונות מהתוצאות שהתקבלו עבור בור לא סימטרי V(x)=\left{\matrix{0, & 0<x<a\\ \infty, & \text{otherwise}}\right.? מה המשמעות הפיסיקלית?
      3. חשבו את המיקום והתנע הממוצעים של חלקיק הנמצא במצב ה-n.
      4. נתון כי החלקיק נמצא בהסתברות 1/3 ברמה הראשונה ובהסתברות 2/3 ברמה השנייה. מהי פונקציית הגל? מה יהיה המיקום הממוצע של החלקיק?
      5. מה ההסתברות למצוא את החלקיק באזור  -a/3<x<a/3 ?

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_003.html sol sol

      בור אינסופי

      נתון חלקיק הנמצא בבור פוטנציאל אינסופי [0,2L]. החלקיק נמצא ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר (מצב היסוד).
      1. בזמן t=0 מזיזים את הקיר הימני בפתאומיות כך שהקירות נמצאים עכשיו ב- [0,L]. חשבו את ההסתברות למצוא את החלקיק ברמת היסוד החדשה ובכל אחת משלוש רמות האנרגיה המעוררות הראשונות (הבאות אחרי רמת היסוד).
        רמז: הכוונה בפתאומיות היא שהחלקיק לא "מרגיש" את תהליך הזזת הקיר.
      2. בזמן t=0 מזיזים את הקיר הימני מאוד מאוד לאט כך שהקירות מגיעים ל- [0,L]. מה ההסתברות שהחלקיק יימצא ברמת היסוד החדשה? פתרון איכותי מספיק...

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_004.html sol sol sol

      בור פוטנציאל אינסופי עם מדרגה

      חלקיק בהשפעת פוטנציאל חד ממדי מהצורה:
        V(x)=\left{\matrix{0, & -a<x<0 \\ V_0, & 0<x<a \\ \infty, & |x|>a}\right..
      1. הראה כי עבור E>V_0 התנאי המתקבל עבור המצבים העצמיים הוא: k_1\cot(k_1 a)=-k_2\cot(k_2 a), באשר k_1, k_2 הינם וקטורי הגל של החלקיק בשני חצאי הבור.
      2. הראה כי עבור E<V_0 התנאי המתקבל עבור המצבים העצמיים הוא: k_1\cot(k_1 a)=-k_2\coth(k_2 a)

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_005.html sol sol sol

      מחסום פוטנציאל - בור סופי

      חלקיק קוונטי טס משמאל לימין כשהוא ניתקל בפוטנציאל חיצוני מהצורה
       V(x)=\left{\matrix{0, &x< -a/2\\ -V_0, & -a/2<x<a/2\\ 0, &x>a/2}\right.
      (כאשר V_0>0)
      1. רשמו את משוואת שרדינגר ואת תנאי השפה והרציפות המתאימים.  
      2. פתרו את המשוואה, מצאו את פונקצית הגל בכל המרחב וחשבו את מקדם ההעברה  T לחלקיק בעל אנרגיה E>0.  במה התוצאה שקיבלתם ייחודית לתורת הקוונטים ?
      3. כעת הופכים את הפוטנציאל כך ש- V_0 \rightarrow -V_0 . חשבו את מקדם ההעברה T לחלקיק בעל אנרגיה 0<E<V_0 .  במה התוצאה שקיבלתם ייחודית לתורת הקוונטים ?
      4. עבור חלקיק בעל אנרגיה 0<E<V_0 , האם קיים מצב בו ההעברה מושלמת, כלומר T=1 ? 

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_006.html sol sol

      פוטנציאל הרמוני

      פונקציות הגל  של חלקיק בפוטנציאל הרמוני נתונות ע"י:
      \Psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp{\left(-\frac{m\omega%20x^2}{2\hbar}\right)}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)
      כאשר הפונקציות formula הן פולינומי הרמיט:
      H_0(y)=1
      H_1(y)=2y
      H_2(y)=4y^2-2
      1. חשב את אי הודאות במיקום ובתנע של החלקיק ברמת היסוד. וודא שעקרון אי הודאות מתקיים.
      2. צייר את שלוש פונקציות הגל הראשונות וגם את הפוטנציאל בו הן נמצאות תוך מתן דגש על האזורים שבהם חודרות הפונקציות לתוך הפוטנציאל. תן שם לחדירה זו והסבר מהו ההבדל בעוצמת התופעה בין שלוש הפונקציות. כתוב ביטוי מתמטי איכותי להתנהגות הפונקציות באזור זה.
      3. באלו אזורים של הבור הסיכויים הגדולים ביותר למצוא את החלקיק ברמת היסוד ובשני המצבים הבאים אחריו? (צייר...) מצא את נקודת המקסימום וכתוב את הביטוי עבור ההסתברות לגילוי עבור גלאי שרוחב המדידה שלו הוא אפסילון (אל תפתור...)
      הערה: מספיק לצייר ציורים סכמטיים בלבד....

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_007.html sol sol

      פוטנציאל הרמוני ושדה חשמלי

      נתון חלקיק בעל מטען חיובי e נע בהשפעת פוטנציאל הרמוני V(x)=\frac12 m\omega^2x^2 בשדה חשמלי \vec E = E_0 \hat x.
      מצא את האנרגיות העצמיות והמצבים העצמיים של החלקיק.
      רמז:
      מה הפוטנציאל הכולל שבו נתון החלקיק?
      עבור פוטנציאל הרמוני:
      formula  ,  formula.
      הפתרונות הם:
      formula
      formula

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_008.html sol sol

      פוטנציאל הרמוני וקיר אינסופי

      מצא את האנרגיות העצמיות והמצבים העצמיים של החלקיק הנתון בפוטנציאל
      V(x)=\left{\matrix{\frac12 m\omega^2x^2, & x>0\\ \infty, & x\leq 0}\right.

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_009.html sol sol sol

      אוסצילטור הרמוני

      בשלב הזה אתם לא צריכים להבין את הפיסיקה שמאחורי החישובים הבאים... בשלב מאוחר יותר נשתמש בפתרון זה...
      נתונה משוואת שרדינגר לא תלויה בזמן formula  עם הפוטנציאל הרמוני  formula.
      1. הראו כי הפונציות הבאות פותרות את המשוואה הנ"ל:
        formula
        כאשר הפונקציות formula הן פולינומי הרמיט המקיימים את משוואת הרמיט
        formula
      2. פתרו את משוואת הרמיט ע"י הצבת הטור formula ומצאו את יחסי הרקורסיה בין מקדמי הטור.
      3. מהו התנאי על formula כדי שהטור יתכנס לכל formula?
      4. בעזרת התשובה לסעיף הקודם הראו כי :    
      להשכלה כללית:
      בעזרת המשוואה ויחסי הרקורסיה ניתן להראות כי \exp(-t^2+2xt) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!} היא פונקציה יוצרת של פולינומי הרמיט ולמצוא את הפולינומים במפורש ע"י רקורסיה.
      כמו כן ניתן להראות כי פולינומי הרמיט מקיימים יחסי אורטוגונליות: \int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)\exp(-x^2)dx = \delta_{nm}2^n n!\sqrt{\pi} ומכאן מגיע מקדם הנרמול של הפונקציות העצמיות של אוסצילטור הרמוני.

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_010.html sol

      מה זה Y_l^m(\theta,\phi) ?

      הסבר קצר:
      הרמוניות ספריות  Y_l^m(\theta,\phi) מוגדרות ע"י:
      Y_l^m(\theta,\phi)=C_l^mP_l^m(\cos\theta)e^{\imath m \phi}
      באשר C_l^m הם מקדמי הנרמול וכן P_l^m(x) הם פונקציות לג'נדר (associated Legendre functions) המוגדרים ע"י:
      P_l^m(x)=(1-x^2)^{|m|/2}\frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_l(x)=P_l^{-m}(x)
      P_l הם פולינומי לג'נדר שהם הפתרון של המשוואה
      (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+l(l+1)y(x)=0
      עבור  l שלם.
      הפולינומים הראשונים הם:
      P_0(x)=1
      P_1(x)=x
      P_2(x)=1/2(3x^2-1)
      שאלה:
      חשבו את הפונקציות Y_1^0(\theta,\phi)Y_1^{\pm 1}(\theta,\phi).
      הערה:
      הפונקציות המתקבלות בשיטה זו מוגדרות עד כדי סימן "מינוס"... 

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_011.html sol

      שימושים של Y_l^m(\theta,\phi)

      נתון חלקיק המתואר ע"י פונקציית הגל:
      \psi(x,y,z)=N\cdot(xy+yz+zx)\cdot\exp\left(-\frac{x^2+y^2+z^2}{\alpha^2}\right)
      באשר N הוא קבוע הנרמול ו-\alpha הוא פרמטר כלשהו.
      מודדים את התנע הזוותי של החלקיק (L^2, L_z). מה ההסתברות למדוד:
      1. L^2=0
      2. L^2=6\hbar^2
      3. אםl=2 מה הסיכויים למדוד m=2,1,0,-1,-2
      השתמשו בהצגות מפורשות של Y_l^m(\theta,\phi).
      ניתן למצוא אותן ב:
      http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_012.html sol

      אוסצילטור הרמוני תלת-מימדי

      נתונה משוואת שרדינגר עבור אוסצילטור הרמוני תלת-מימדי:
      -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+\frac12m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\psi=E\psi
      באשר \psi=\psi(x,y,z).
      1. הראו כי רמות האנרגיה הן: E_{n',l}=\hbar\omega(3/2+n'+l)
        שלבי הפתרון:
        • רשמו את המשוואה בקואורדינטות כדוריות ורשמו אותה בעזרת האופרטור  L^2
        • בצעו הפרדת משתנים \psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_l^m(\theta,\phi) וקבלו משוואה עבור החלק הרדיאלי
        • הציבו  u(r)=rR(r) וקבלו משוואה מהצורה: 
          \left[\frac{d^2}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2} -\beta^2r^2+\epsilon\right]u(r)=0
        • וודאו כי הפתרון  f(r)=\exp\left(-\frac12\beta r^2\right) מקיים את המשוואה הנ"ל עבור r גדולים. 
        • רשמו u(r)=g(r)f(r) ומצאו את המשוואה עבור g(r).
        • פתרו את המשוואה ע"י הצבת הטור g(r)=r^s\sum_{n=0}^\infty a_n r^n ומצאו את יחסי הרקורסיה בין מקדמי הטור.
        • מהו התנאי כדי שהטור יתכנס לכל r?
        • עכשיו ניתן לחשב את רמות האנרגיה...
      2. אם הייתם פותרים את האוסצילטור התלת-מימדי בקואורדינטות קרטזיות, אלו רמות האנרגיה הייתם מקבלים?
      3. איך ניתן להסביר את הדימיון/הבדל בין שני הביטויים לאנרגיות (מה הניוון של כל רמה...)?

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_013.html sol

      אטום מימן

      נתונה פונקציית הגל של אטום מימן (ללא ספין):
      \psi(\vec r)=\frac{1}{(2a_0)^{3/2}}\left[e^{-r/a_0}Y_0^0+A\frac{r}{a_0}e^{-r/2a_0}\left(\frac{-\imath}{8\sqrt{2}}Y_1^1+\frac{1}{8\sqrt{2}}Y_1^{-1}+\frac{1}{8}Y_1^0\right)\right]
      1. מהו A?
      2. אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את האנרגיה? באיזה הסתברות?
      3. אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את גודל התנע הזוויתי? באיזה הסתברות? (ללא ספין) אילו ערכים נקבל כאשר נמדוד את רכיב z של התנע הזוויתי? באיזה הסתברות?
      4. הסבר מדוע בכל קליפה של אטום המימן (שמוגדרת ע"י n ו- L), יכולים להיות מקסימום 2(2L+1) אלקטרונים כאשר n הוא מספר הרמה הראשית ו- L הוא המספר הקוונטי של התנע הזויתי.

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_014.html sol

      אטום מימן

      נתונה פונקציית הגל של אטום מימן (עם ספין):
      \Psi_{n,l,m,m_s}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Psi_{2,1,-1,1/2}+\frac{1}{\sqrt{5}}\Psi_{2,1,1,1/2}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\Psi_{2,1,1,-1/2}
      1. הראו כי פונקציית הגל מנורמלת
      2. מצאו את הממוצעים של רכיב z של הספין
      3. מצאו את הממוצעים של רכיב z של התנע הזוויתי
      4. מהי אי הוודאות בכיוון z של התנע הזוויתי?

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_015.html sol

      ניסוי Stern-Gerlach

      1. הסבירו בעזרת ציורים ונוסחאות כיצד מודדים ספין של אלקטרון בניסוי SG. באיזה חלקיק משתמשים ומדוע?
      2. מה המרחק בין שתי הפגיעות על המסך אם B(z)=Az ואם אורך המכשיר L ס"מ ומהירות החלקיק V מטר לשניה (המסך מרוחק מהמכשיר 10L ).
      3. כמה פוטונים שונים היינו רואים נפלטים מהאטום בגלל המעבר בין רמות האנרגיה של אלקטרון זה בשדה הומוגני? כיצד הייתה תשובתך משתנה אם לאחד האלקטרונים גם היה L=1?
      4. מה היה קורה לו אם SG היו לוקחים אטום שרמת היסוד שלו L=2  ?
      5. מה היה קורה לו לאלקטרון היה ספין 1 ולא 1/2  ?


      CONTRIBUTIONS/e_84_2_016.html sol

      אפקט Zeeman

      חשבו את פיצול הרמות כתוצאה של אפקט זימן נורמלי (ללא התחשבות בספין) של הקו האדום בספקטרום של קדמיום בעל אורך גל של 6438 אנגסטרם כאשר על האטומים הופעל שדה מגנטי של 0.009T.

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_017.html sol

      צימוד ספין-מסילה

      הסבר קצר (מאוד):
      אינטרקציית ספין-מסילה היא אינטרציה בין הספין של האלקטרון לבין השדה המגנטי שיוצר הגרעין בגלל התנועה שלו סביב האלקטרון (במערכת הייחוס של האלקטרון). האנרגיה הפוטנציאלית של האינטרקציה היא: U=k\bf{L}\cdot\bf{S}. כתוצאה מהפיצול מתקבל "המבנה הדק" (fine structure). אפקטיבית, אינטרקציית ספין-מסילה מתנהגת כאפקט זימן פנימי, אשר מפצל כל רמת אנרגיה עם l \neq 0 לשתי תת רמות המתאימות לשני הערכים של הספין 1/2.
      שאלה:
      העריכו את העוצמה של השדה המגנטי הנוצר ע"י תנועת האלקטרון האורביטלית שתוצאתה בשני קווי סודיום (L=1) שהם 5889.95, 5895.92 אנגסטרם.


      CONTRIBUTIONS/e_84_2_018.html

      מודל קרונינג-פני

      פתחו את מודל קרונינג-פני, עבור פוטנציאל מחזורי של  V(x)=u\delta(x) כאשר u הוא שלילי.
      שרטטו את פסי האנרגיה המותרים.
      חשבו את פס האנרגיה האסור הראשון אם נתון ש-u הוא מאוד קטן.

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_020.html

      אטום המימן

      נתונה פונקציית הגל:  \Psi_{n,l,m,m_s}=\alpha\psi_{3,0,0,1/2}+\beta\psi_{2,1,1,-1/2}+\gamma\psi_{1,0,0,1/2}.
      כאשר  \alpha,\beta,\gamma  הם מקדמים כלשהם, כך שפונקציית הגל מנורמלת.
      1. מהו ערך התוחלת של האנרגיה?
      2. מהו ערך התוחלת של L^2?
      3. מהו ערך התוחלת של הספין?
      4. נתון ש-\beta=0 .מהי ההסתברות למצוא את האלקטרון ב-x,y,z>0?

      CONTRIBUTIONS/e_84_2_021.html
      חלקיק על טבעת
      בכל המקרים הבאים מדובר בחלקיק בעל מסה m ואנרגיה קינטית p2/2m.  יש לפתור את משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן ולמצוא את שלוש רמות האנרגיה הנמוכות ביותר יחד עם המצבים העצמיים ψ המנורמלים של כל האנרגיה.  יש לציין את המספרים הקוונטיים המתאימים ואת הניוון לכל רמת אנרגיה.
      א.  קטע חד-מימדי בעורך L ותנאי שפה מחזורי על (x)ψ, כלומר (x)ψ(x+L) = ψ.
      ב. בור פוטנציאלי אין-סופי במימד אחד באורך L (כלומר –L/2 <x<L/2).
       
      הערה: חלקיק עם תנאי שפה מחזוריים – הכוונה היא לחלקיק בטבעת.

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_100.html

      שרדינגר

      מה הם רמות האנרגיה של חלקיק בעל מסה m (למשל אלקטרון) הכלוא בבור פוטנציאל הסופי הבא:

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_136.html

      פורמליזם קוונטי

      נתון הוקטור  \vec{ \Psi}(x)=\sqrt{\frac{2}{10}}\Psi_1+\sqrt{\frac{1}{2}}\Psi_2+\sqrt{\frac{3}{10}}\Psi_  (המתאר מערכת מסוימת), כאשר וקטורי הבסיס (וקטורי יחידה) הם \Psi_i(x)=\zeta_i(x)e^(\frac{i\epsilon{t}}{\hbar}
          א) הראה/י כי  \vec{\Psi}(x) מנורמלת.
          ב) מה ההסתברות של המערכת להיות במצב השני (כל וקטור בסיס הוא מצב)?
          ג) מה התוחלת של המדידה המיוצגת על ידי האופרטור \hat{A}=i\hbar{\frac{\partial}{\partial{t}}} ?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_140.html

      שרדינגר

      עבור פונקציות גל \Psi_i\ ,\Psi_j  רציפות, תנאי האורתונורמליות הוא  \int \Psi_i\Psi_jdx=\delta_{ij}=\left\{\text\{0\ \ i\not{j}\\1\ \ i=j} .
      א) הראה/י כי a^b \frac{\partial p}, a^b \frac{\partial p} הן אורתונורמליות.
      ב) נסמן  \Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Psi_1+A\Psi_2 , ונתון כי -iA ממשי וחיובי. מהו A ?
       ג) מהי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב  \Psi_1 ?
      ד) מהי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב \Psi_2  ?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_141.html

      שרדינגר

      א) נתון האופרטור a^b \frac{\partial p} . מהי התוחלת של אופרטור זה כאשר הוא מודד  את (פועל על) פונקציית הגל משאלה 3 (\Psi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Psi_1+A\Psi_2 ) ?
      ב) אי הודאות במדידת אופרטור E מוגדרת כשונות של אופרטור זה. כלומר: \Delta{\hat{E}}=\sqrt{<\hat{E}^2>-<\hat{E}>^2}} , כאשר a^b \frac{\partial p} .
       מצא/י את אי הודאות במדידת אופרטור E.

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_142.html

      שרדינגר

      א) בתרגול ראינו איך מוצאים את רמות האנרגיה עבור בור פוטנציאל סופי.
          מצא\י באופן נומרי את רמות האנרגיה בבור פוטנציאל כזה (כמה יש?) אם נתון כי a^b \frac{\partial p}  כאשר V הוא גובה הפוטנציאל, m מסת החלקיק,
          ו-d רוחב הבור.
      ב) נתון חלקיק בבור הסופי הבא:

      מהם רמות האנרגיה של אלקטרון בבור שרוחבו 5 ננומטר וגובהו הוא 1 eV?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_150.html

      שרדינגר

      נתון חלקיק בבור הסופי הבא:

      מהם רמות האנרגיה של אלקטרון בבור שרוחבו 5 ננומטר וגובהו הוא 1 eV?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_151.html

      Franck – Herz

      השפופרת בניסוי Franck – Herz מכילה גז בעל רמת אלקטרונים 6 eV
      ו-8 eV מעל רמת היסוד. אלקטרונים המואצים במתח V0 על פני טווח L יכולים למסור את האנרגיה הקינטית שלהם לגז כך שהאלקטרונים של הגז הנמצאים ברמת היסוד מעוררים לרמות הנ" ל. אנרגיית הערור נפלטת בצורת קרינה.
      א) באיזה מתחים בטווח  0<V_0<20V תהיה נפילה חדה של הזרם? שרטט/יסכמאטיתאת הזרם כתלות במתח V0 בטווח זה.
      ב) עבור מתח של V_0=15V, באיזה מרחק מהקתודה יהיו המישורים הקורנים? בטא/י את תשובתך באחוזים מ-L.

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_152.html sol sol

      שרדינגר

      נתון הפוטנציאל:
      V(x)=\left{\matrix{0,%20&%20-a/2%3Cx%3Ca/2\\%20\infty,%20&%20\text{otherwise}}\right.
      בהינתן שפונקצית הגל רציפה, חלקה ומתאפסת בתחום בו הפוטנציאל מתבדר, 
      א) מצא\י במדויק את רמות האנרגיה של המערכת. (שים/י לב. זה לא זהה לשאלה לשאלה של ברוך!)
      ב) מהו התנע הממוצע ומהי האי ודאות בתנע החלקיק ברמת היסוד?



      CONTRIBUTIONS/e_84_4_153.html sol sol sol

      שרדינגר

      א) מצא/י את רמות האנרגיה עבור חלקיק הנמצא בבור פוטנציאל החצי אינסופי הבא:
      pic
      ב) מהו המיקום והתנע הממוצע של החלקיק?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_154.html sol

      שרדינגר

      מצא\י באופן נומרי את רמות האנרגיה בבור פוטנציאל כזה (כמה יש?) אם נתון כי V_0=\frac{24\hbar^2}{md^2} כאשר V הוא גובה הפוטנציאל, m מסת החלקיק,  ו-d רוחב הבור.
      א) בליבו של טרנזיסטור (הרכיב ממנו בונים מעבדי מחשבים – צ'יפ) נמצאמחסום פוטנציאל. הערך/י מהו העובי המינימאלי של המחסום (ומכאן גם גודלו המינימאלי של הטרנזיסטור) כך שלפחות 90% מהאלקטרונים לא יברחו דרכו ע" י מנהור.
      נתונים נוספים: אנרגיית האלקטרון היא \epsilon=1eV , גובה המחסום
      הוא V0=5 eV.
      ב) תן/י ביטוי להסתברות המעבר של חלקיק מעל בור פוטנציאל בגובה –V0 ורוחב a.
      pic 

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_155.html sol

      שרדינגר

      נתונה מטוטלת במשקל 1 kg בקצהו של מוט קל באורך 1 m. המטוטלת מתנודדת במשרעת של 0.1 m.
      א) מצא/י תדירות התנודות.
      ב) מצא/י אנרגיית התנודות.
      ג) הערך/י את המספר הקוונטי עבור התנודה.
      ד) מצא/י את המרווח בין שתי רמות אנרגיה סמוכות.

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_156.html sol

      שרדינגר

      א) מה היא האי ודאות מקום-תנע עבור חלקיק הנמצא תחת פוטנציאל של אוסצילטור הרמוני ברמה הראשונה (מעל לרמת היסוד)?
      ב) נתונה פונקצית הגל של אוסצילטור הרמוני:
      \psi(\vec r,t)=\sqrt2A\psi_{1}e^{-\imath E_1t/\hbar}+\frac{A}{\sqrt2}\psi_{2}e^{-\imath E_2t/\hbar}+A\psi_{3}e^{-\imath E_3t/\hbar}
      כאשר \psi_n הם הפונקציות העצמיות של האוסצילטור ההרמוני.
      מצא/י את A )A ממשי).
      ג) מה היא האנרגיה הממוצעת בזמן t?
       

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_157.html sol sol

      שרדינגר

      האם תלמה (מתלמה ולואיז) יודעת קוונטים?
      נתונה מכונית בעלת מסה m=1000kg  הנוסעת במהירות קבועה v=100km/hr אל עבר תהום (ראה/י שרטוט). מהי ההסתברות שהמכונית תוחזר משפת התהום ולא תיפול (אל תנסו את זה בבית – השאירו את זה למקצוענים...)?
      pic

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_158.html sol

      שרדינגר

      פונקצית הגל באטום המימן מאופיינת על ידי המספר הקוונטי הראשי n (רמות האנרגיה הן E_n=-\frac{13.6}{n^2}eV , המספר הקוונטי (השלםl (ריבוע התנע הזוויתי מקיים \hat L^2\psi=\hbar^2l(l+1)\psi) והמספר m הקוונטי (השלם) (היטל התנע הזוויתי בכיוון z מקיים \hat L_z\psi=\hbar m\psi). נתון שהפונקציות\psi_{n,l,m}(\vec r)  אורתונורמליות.
      א) איזה מצבים מאוכלסים באטום He ? ( יש לאכלס 2 אלקטרונים ) אם נניח שלא קיים ספין, איזה מצבים היו מאוכלסים? האם He נשאר גז אציל? הסבר/י.
      ב) מצא/י כמה מצבים (=ניוון) יש לאנרגיה E_2 (n=2)? הסבר/י את תשובתך.
      ג)נתון אלקטרון במצב
      \psi(\vec r,t)=\frac{1}{\sqrt 5}\left(\psi_{100}(\vec r)e^{-\imath E_1t/\hbar}+2\psi_{21-1}(\vec r)e^{-\imath E_2t/\hbar}\right) הראה ש-\psi(\vec r,t) מנורמלת ומצא את ההסתברות שהאלקטרון נמצא ברמת היסוד E1.
      ד) חשב/י את הערכים הממוצעים של:
      I) האנרגיה.
      II) \hat L^2
      III) \hat L_z
      ה) מהי אי הודאות למצב בסעיף ג' עבור \hat L_z?
        

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_159.html

      שרדינגר

      נתונה פונקציית גל של אטום דמוי מימן  \Psi(r)=Ce^{-\frac{r}{a}}, כאשר נתון כי a_0=\frac{1}{2}\AA\ ,a=\frac{a_0}{Z}  - הוא רדיוס בוהר ו-Z הוא המספר האטומי.
      א) חשב/י את קבוע הנרמול (C).
      ב) מצא/י את ההסתברות לכך שהאלקטרון ימצא בתוך הגרעין, כאשר רדיוס הגרעין הוא  r_N=6.686\times10^{-12}m=6.686fm ו-Z=73.
          הנחייה לסעיף ב': בגלל שרדיוס הגרעין כ"כ קטן בהשוואה לרדיוס מסלול האלקטרון, ניתן להשתמש בתחומו של הגרעין בטור טיילור: e^{-\frac{2r}{a}}=1-\frac{2r}{a}

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_160.html

      שרדינגר - פוטנציאל הרמוני

      הכוח הפועל אטומים במולקולה דו-אטומית של חנקן הוא מהצורה F=-kx , כאשר  k=10^3\frac{J}{m^2} ו-x הוא ההזזה משיווי משקל של המרחק היחסי.
      א) חשב/י את תדירות התנודה הקלאסית ω בעזרת המסה המצומצמת \mu=\frac{1}{2}m_N כאשר מסת אטום החנקן היא m_N=23.24\times{10^{-27}}kg.
      ב) חשב/י את האנרגיה (התנודתית) הנמוכה ביותר ואת אנרגיית הרמה המעוררת הראשונה של המולקולה ביחידות eV.
      ג) מהי תדירות הפוטון הנפלט במעבר בין הרמה הראשונה לרמת היסוד?
      ד) מצא/י את ההזזה Xm (של המולקולה הקלאסית) המכסימלית אילו  למולקולה הייתה אנרגיית הרמה המעוררת מסעיף ב'.
      ה) חשב/י את ההסתברות של המולקולה להיות בתחום האסור קלאסית. כלומר עבור \mid{x}\mid>x_m

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_161.html

      מנהור

      מה ההסתברות שחלקיק בעל מסה m ואנרגיה הקטנה מ-V0 יעבור לצד השני של המחסום?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_164.html

      אוסצילטור הרמוני

      מה המיקום והתנע הממוצעים ברמת היסוד? האם עיקרון האי ודאות מתקיים?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_167.html

      שרדינגר

      פונקציית הגל של אלקטרון באטום המימן נתונה בעזרת הפונקציות העצמיות \Psi_{nlm}(\vec{r})  בעלות אנרגיות עצמיות  E_n=-\frac{R_y}{n^2}=-\frac{13.6eV}{n^2}:
       \Psi(\vec{r},t=0)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Psi_{100}(\vec{r})+A(\Psi_{200}(\vec{r}+i\Psi_{21-1}(\vec{r})        
      א) מצא/י את A.
      ב) כתוב/י את התלות בזמן  \Psi_{nlm}(\vec{r},t).
      ג) מהו ממוצע האנרגיה ומהי האי וודאות באנרגיה?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_168.html

      שרדינגר

      מה ההסתברות שרדיוס ההקפה של אלקטרון ברמת היסוד באטום המימן תהיה יותר גדולה מ-r0?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_169.html

      שרדינגר

      אלקטרון נמצא במצב n=3. מהם הערכים העצמיים האפשריים של {\hat{L}_x}^2+{\hat{L}_y}^2?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_170.html

      שרדינגר

      א) בתרגול ראינו איך מוצאים את רמות האנרגיה עבור בור פוטנציאל סופי. מצא\י באופן נומרי את רמות האנרגיה בבור פוטנציאל כזה (כמה יש?), אם נתון כי a^b \frac{\partial p}{\partial x} , כאשר V הוא גובה הפוטנציאל, m מסת החלקיק,
          ו-d רוחב הבור.
      ב) נתון חלקיק בבור הסופי הבא:
                                                                         
      מהם רמות האנרגיה של אלקטרון בבור שרוחבו 5 ננומטר וגובהו הוא 1 eV?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_171.html

      שרדינגר

      נתון בור פוטנציאל אינסופי בעל רוחב a. בבור נתון חלקיק המתואר על ידי הפונקציה: a^b \frac{\partial p}{\partial x}                    
      א) הוכח/י עבור  n=2 שעיקרון האי וודאות מתקיים -  a^b \frac{\partial p}{\partial x}.
      ב) הכלל/י את החישוב עבור  a^b \frac{\partial p}{\partial x}, ומצא/י את a^b \frac{\partial p}{\partial x} 
      ג) נתונה פונקצית הגל  a^b \frac{\partial p}{\partial x} המתארת חלקיק עם תנע p. הראה/י כי זוהי פונקציה עצמית של אופרטור התנע, ומצא את  הערכים העצמיים. האם התשובה מסתדרת עם הנחת דה-ברוי?

      CONTRIBUTIONS/e_84_4_172.html

      שרדינגר

      מה הם רמות האנרגיה של חלקיק בעל מסה m (למשל אלקטרון) הכלוא בבור פוטנציאל הסופי הבא:


      CONTRIBUTIONS/e_84_4_173.html

      שרדינגר

      א) בהיותך מהנדס/ת במפעל לייצור שבבים מגיעה דרישה מההנהלה ליצור קבל לוחות כך שזליגת המטען דרך הקבל תהיה בשיעור קטן יותר מ-a^b \frac{\partial p}{\partial x}. נתון  רוחב הקבל (המרחק בין הלוחות) של  5Å ונתון מחסום פוטנציאל  בחומר     הדיאלקטרי (בין לוחות הקבל) של 10V. אנרגיית האלקטרון בקבל   היא קטנה כ-0.1eV. האם ניתן לייצר קבל כזה?
      ב) נתון כי אלקטרון בעל אנרגיה השווה לאנרגיה שיש להשקיע על מנת ליינן אלקטרון מהרמה השלישית באטום המימן מגיע משמאל למדרגת פוטנציאל הבאה. חשב/י את ההסתברות שהאלקטרון יוחזר ממדרגת הפוטנציאל.


      CONTRIBUTIONS/e_84_4_174.html

      שרדינגר

      א) ניתן להתייחס למולקות מימן H2 כאל שני אטומי מימן המחוברים בקפיץ בעל קבוע של a^b \frac{\partial p}{\partial x}. מצא/י את תדירות התנודה של המולקולה (לא לשכוח מסה מצומצמת!), ואת אורכי הגל של הפוטונים הדרושים על מנת לעורר את הרמה הראשונה של האלקטרון באטום, את הרמה הרוטציונית (סיבובית) הראשונה ואת הרמה הויברציונית (תנודות אורכיות של האטומים במולקולה). לאיזה תחומי אורכי גל שייכים פוטונים אלו?
       ב) נתונה מולקולה כזו, כאשר ההסתברות להימצא באנרגיה הגבוהה מ- a^b \frac{\partial p}{\partial x} היא 0. מצא/י את  a^b \frac{\partial p}{\partial x}, האנרגיה הממוצעת, מיקום ממוצע ואנרגיה ממוצעת. (ניתן להניח כי החלק התלוי בזמן בפונקציה הוא  a^b \frac{\partial p}{\partial x} )

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_001.html sol

      התפרקות חלקיק

      חלקיק נע בכיוון x ומתפרק לשני חליקים חסרי מסה. הראשון נע בכיוון x והשני בכיוון x- והאנרגיה של השני היא מחצית מהאנרגיה של הראשון.
      מה הייתה המהירות של החלקיק שהתפרק?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_011.html sol

      Relativity

      A box has the volume in its rest frame. What is its volume in the frame moving with the velocity ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_012.html sol

      Relativity

      Two bodies are moving with the same speed . The angle between their velocities is . What is the relative velocity ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_013.html sol

      Relativity

      The momentum of a particle is and the energy is . Find the velocity .

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_014.html sol

      Relativity

      A star is moving on a circular orbit with the radius and period . The star emits at the wavelength in its rest frame. The line of sight of a distant observer (distance ) is in the orbit plane (makes the angle with the normal to the orbit plane). Find ( is the wavelength measured by the distant observer).

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_015.html sol

      Relativity

      Same as in the previous problem but the angle between the line of sight and the orbit plane is .

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_016.html sol

      Relativity

      A hot gas of identical atoms emitting at the same wavelength (in the rest frame) is observed by a distant observer. The atoms are moving and the number of atoms moving with the velocity (parallel to the line of sight) is given but the relation , where and are constant. Each atom emits the energy . How much energy obtaines the distant observer at the wavelength .

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_017.html sol

      Relativity

      In the rest frame of the particle , the particle moves with the velocity , and the particle moves with the velocity . What is the angle between the velocities of and in the rest frame of ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_018.html sol

      Relativity

      In the process of -decay a neutron decays in into a proton , electron and antineutrino : . The rest masses obey the following inequality , the rest of the antinuetrino . What is the energy of the antineutrino if the proton momentum is negligible ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_019.html sol

      Relativity

      What should be the electron Lorentz factor in order that the gyroradius of the gyration around the magnetic field T be equal to the Earth radius km? Find yourself all relevant data.

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_020.html sol

      Relativity

      A charged particle of the charge and mass is moving in the electric field . Find if the particle is in the rest at .

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_021.html sol

      Relativity

      A source of light is moving with the angular velocity on the circle with the radius in the plane . The light frequency in the source frame is . A distant observer (in the same plane) measures the frequency of received light as a function of time. Find this function.

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_022.html sol

      פגיעת פוטונים במראה

      מראה בעלת החזרה מושלמת במשקל 1 גרם תלויה במאונך בחוט שאורכו 10 ס"מ. המראה מוארת על ידי קרן לייזר קבועה המאונכת לפני המראה, בעוצמה של 30 קילו-ואט.
      מה הסטייה של המראה מהאנך ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_023.html sol

      לחץ קרינה

      הערך את לחץ הקרינה על ידי השמש על חלקיק בקוטר 1x10-6 m  בעל הצפיפות של 1 gr/cm3 במרחק 1AU מהשמש כאשר במרחק זה עוצמת הקרינה מהשמש היא 1.36x103 W/m2.
      מה התוצאה אומרת?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_024.html

      Special Relativity

      A body moves with a velocity \vec{v}_A=(v,0,0) while another body moves with a velocity
      \vec{v}_B=(0,v,0). What is the relative velociy between the bodies (the velocity of B as measured by A)?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_025.html

      Special Relativity

      A particle (Muon) has a lifetime of 10^{-7}~sec in his rest frame.
      1. What distance will it pass before it decays if an observer see it move in a speed of  v=0.99c?
      2. What will be the distance if the observer is unfamiliar with the special theory of  relativity?

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_026.html

      Special Relativity

      A particle of rest mass M decays into 3 particles.
      The masses and momenta of 2 of the particles are m_1~,~p_1~,~m_2~,~p_2.
      Find the rest mass of the third particle.

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_027.html

      Special Relativity

      A star of radius R is spinning around its axis. An observer, which its line of sight is perpendicular to the star spinning axis,
      measures the wave length of the light emitting from the star. The wave length is found to be in the range
      \lambda_1\leq\lambda\leq\lambda_2.
      1. What is the meaning of the wave lengths \lambda_1 and \lambda_2?
      2. Find the angular velocity of the star.

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_028.html

      יחסות פרטית

      מצאו את טרנספורמצית לורנץ. הנחיות:
      1) הניחו כי קיים קבוע \gamma, כך ש x'=\gamma\left(x-vt\right) (כלומר, הקבוע מכפיל את טרנספורמצית גליליי).
      2) דרשו כי הטרנספורמציה מקיימת כי מהירות האור קבועה, כלומר המרחק שקרן אור עוברת כפי שנמדד במערכת אחת הוא x=ct, ואילו במערכת אחרת הוא x'=ct'.
      3) מצאו את \gamma.
      4) מצאו את הטרנספורמציה של הזמן.

      CONTRIBUTIONS/e_87_1_029.html

      יחסות פרטית

      (פיסיקה 1 לפיסיקאים, 17/2/2005, מועד ב', 6)
      שני חלקיקים זהים בעלי מסת מנוחה m כל אחד, מתנגשים חזיתית כאשר לכל אחד מהם אותו גורם לורנץ \gamma במערכת המעבדה. מהי אנרגית אחד מהם במערכת יחוס של השני?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_010.html sol sol

      אורך המבחן

      המבחן בפיסיקה התחיל בשעה 9:00 והמשגיחה יצאה לטייל במהירות 0.8c (דודה זריזה במיוחד). לאחר שעה לפי שעונה היא שולחת לסטודנטים אות רדיו לסיים את הבחינה.
      כמה זמן ארכה הבחינה עבור הסטודנטים?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_011.html sol sol sol

      זווית בין אלומות האור

      בן אדם על סירה הנעה במהירות v מאיר את השמים בפנס, כך שהזוית בין אלומת האור לסירה היא 'θ (כפי שמודד האדם).
      צופה הנמצאת על החוף מודדת את הזווית בין אלומת האור לסירה ומוצאת שהיא θ .
      1. מה הקשר בין θ ל θ' ?
      2. הראה כי גם במערכת הצופה, מהירות האור היוצא מהפנס היא c.

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_012.html sol sol

      זמן טיסה בחללית

      המרחק בין כדור הארץ לאחד הכוכבים הנו105שנות אור (במערכת כדור הארץ – כוכב).
      באיזה מהירות צריך לשלוח חללית על מנת שתגיע לשם במשך 10 שנים (בזמן העצמי שלו) ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_013.html sol sol

      מלחמת הכוכבים

      שתי חלליות בעלות אורך מנוחה זהה, עוברות זו ליד זו במקביל במהירות גבוהה.
      בזנב החללית S מצוי תותח המכוון בניצב לכיוון תנועת החללית ולעבר מסלול התנועה של החללית 'S (איור 1).
      האסטרונאוט S מבצע בדיקת ירי בתותח ברגע שהנק' a בראש החללית מתלכד עם ‘a (בזנב ‘S). מכיוון שאורך החללית ‘S קצר מהאורך העצמי, האסטרונאוט ב S יפספס את החללית השניה (איור 2). אולם במע' ‘S, אורך החללית S קצר מהאורך העצמי ולכן כאשר a ו ‘a מתלכדות האסטרונאוט ב S יפגע. (איור 3).
      ישב/י את הפרדוקס.
      p0
      איור 2:  במערכת S החללית 'S קצרה יותר לכן התותחן בחללית S יורה ללא חשש לפגיעה.
      איור 3:  במערכת 'S החללית S קצרה יותר לכן התותחן יפגע.

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_014.html sol sol

      מלחמת הכוכבים 2

      חללית מכדה"א נשלחה לבדוק מוצב בכוכב 1407P, אשר על הירח שלו שוכנים קבוצת חייזרים תוקפנית.
      החללית נעה במסלול ישר. בהתחלה היא עוברת ליד הכוכב, ולאחר מכן ליד הירח. כאשר היא עוברת ליד הירח היא מגלה פולס אלקטרו-מגנטי באנרגיה גבוהה
      ו 1.10 שניות מאוחר יותר פיצוץ במוצב. המרחק בין הירח למוצב הוא 400 מיליון מטרים במערכת החללית.
      1. מהירות החללית יחסית לכוכב וירחו היא 0.980c.  מהו מרווח הזמן והמרחק בין גילוי הגל לפיצוץ במערכת הכוכב והירח?
      2. מה משמעות הסימן בהפרש הזמן?
      3. האם ההפולס אלקטרו-מגנטי גרם לפיצוץ או להיפך?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_015.html sol sol

      זמן הטיסה לסידני

      בכמה מתארך הזמן עבור נוסע הטס בטיסה מסחרית מת" א לסידני?
      נתונים: משך הטיסה 23 שעות, מהירות הקרקע של המטוס היא 930 קמ" ש.

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_016.html sol sol

      אורך הטיל

      טיל באורך 100m (במערכת המנוחה של עצמו) נע במהירות v ביחס  לצופה.
      באיזו מהירות עליו לנוע כך שאורכו ביחס לצופה יהיה 99m?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_017.html sol sol

      עבירת תנועה - דופלר

      במהלך משפטו של עבריין תנועה (לכאורה) בגין נסיעה באור אדום, טען החשוד כי בשל אפקט דופלר האור ברמזור הוסח מאדום לירוק, ומכאן הוא זכאי.
      1. באיזו מהירות יש לנסוע כדי לקבל את האפקט הנ"ל?
      2. מה יהיה גזר הדין?  
      תדירות אורכי הגל:  ירוק :525nm,  אדום: 720nm

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_018.html sol sol

      גז בין חללי - דופלר

      הגרף למטה מראה עקומה של עצמה מול תדירות של אור הנפלט מגז בין חללי המגיע אלינו מקצוות הגלקסיה M87.
      לעקומה אחת ישנו מקסימום באורך גל של 499.8nm ולעקומה שניה מקסימום באורך גל של 501.6nm.
      הנח/י כי הגז מתקרב אלינו בצד אחד של הגלקסיה ומתרחק מאתנו בצד השני.
      1. איזה עקומה מתאימה לענן הגז המתקרב אלינו?
      2. מצא/י את תדירות האור הנפלט מהגז.
      3. מצא/י את מהירות הגז.

      pic


      CONTRIBUTIONS/e_87_2_019.html sol sol

      מהירות הטיל - דופלר

      מטוס קרב (המצויד במכ" ם דופלר) הנע במהירות קרקע v , משדר אות מכ" ם בתדרf . ברגע מסוים הוא מזהה על הצג אות, המוחזר מטיל שיוט הנע לעברו, בתדר f'.
      מצא/י את מהירות הטיל ביחס לקרקע.
      רמז: פתור/י את השאלה בשלושה שלבים:

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_020.html sol sol

      התפרקות חלקיק חסר מסה

      הראה/י כי חלקיק חסר מסה לא יכול להתפרק לשני חלקיקים מסיביים. (רמז: יש להראות זאת במע' מרכז המסה.)

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_021.html sol sol

      התפרקות חלקיקים

      חלקיק בעל אנרגית מנוחה E_0 מתפרק במע' המנוחה שלו לשני חלקיקים זהים עם אנרגית מנוחה 0.4E_0 ואנרגיות קינטיות שוות.
      1. הראה כי החלקיקים נעים בקו ישר במע' המנוחה של חלקיק האב.
      2. חשב את מהירות כל אחד מהחלקיקים במע' המנוחה של חלקיק האב.
      3. חשב את מהירות אחד החלקיקים במע' המנוחה של החלקיק השני.


      CONTRIBUTIONS/e_87_2_022.html sol sol

      פיזור

      חלקיק חסר מסה מתפזר מחלקיק בעל מסה m. לאחר הפיזור החלקיק חסר המסה נע בכיוון מאונך לכיוון תנועתו המקורי.
      לפני הפיזור אנרגית החלקיק חסר המסה שווה לאנרגית המנוחה של החלקיק המסיבי.
      מהם התנעים של החלקיקים לאחר הפיזור?

      CONTRIBUTIONS/e_87_2_023.html sol

      יצירת זוגות

      אלקטרון ופוזיטרון נעים ביחד באותו כיוון במהירות (2-\sqrt3)c. השניים משמידים זה את זה ונוצר זוג פוטונים הנעים הנעים לאורך אותו קו תנועה.
      מהם אורכי הגל של הפוטונים?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_001.html sol

      התפרקות מיואון

      חלקיק (מיואון) נוצר בחלקה עליון של האטמוספירה מקרינה קוסמית. למיואון אורך חיים מוגבל והוא מתפרק כעבור במערכת המנוחה של עצמו.
      א) לפי המכניקה הקלאסית, האם ניתן לגלות מיואונים בגובה פני הים בהנחה שהם נעים במהירות 0.999c ונוצרים בגובה 14 km?
      ב) הסבר/י את העובדה שחלקיקים אלו כן מתגלים בגובה פני הים!

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_002.html

      טיסה בחלל

      חללית עברה מעל כדור הארץ במהירות 0.9c בשעה 10:00 לפי שעון החללית. בשעה 10:40 לפי שעון החללית, היא עברה ליד תחנת חלל קבועה ביחס לכדור הארץ.
      א) מהו המרחק של תחנת החלל מכדור הארץ, על-פי שעון (מערכת) כדור הארץ ועל-פי שעון החללית?
      ב) בשעה 10:40 לפי שעון החללית נשלח אות רדיו מהחללית לכדה"א – מתי לפי שעון הארץ יגיע האות לארץ?
      ג) אות רדיו מוחזר מהארץ לחללית – מתי על פי שעון החללית יגיע האות לחללית?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_003.html

      מבוא ליחסות פרטית

      חומר עזר שלאלה זו ניתן למצוא ב:   ( Basic Concepts in Relativity and Early Quantum Theory, R. Resnick, D. Halliday (QC  173.55.R47 עמ' 19-22
      א) הראה/י כי אם האורך של הזרוע היה מתקצר בפקטור של  a^b \frac{\partial p}{\partial x} בכיוון התנועה (מסיבה עלומה כלשהיא..), אזי בניסוי MM היה מתקבל a^b \frac{\partial p}{\partial x}. (הערה: זה נקרא התכווצות לורנץ-פיצג'רלד)
      ב) אחת התיאוריות שניסו להציל את האתר הייתה שבגלל אפקט הגרר של מעבר כדו"ה דרך האתר, האתר נדבק אליו ולכן אינו זז בקרבתו, ומכאן הכישלון של ניסוי MM. הסבר/י בקצרה מה היא אברציה כוכבית ולמה היא מפילה     את תאוריית הגרר.
      ג) מצא/י את זווית האברציה המכסימלית הנגרמת עקב סיבוב כדו"ה סביב צירו בקו המשווה, בקוטב ובישראל.

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_004.html sol

      דיילת במטוס

      מטוס הנוסעים הבא של אל על יהיה בעל אורך מנוחה וינוע במהירות 0.8c. בתוך המטוס יש דיילת הנעה במהירות 0.55c מזנב המטוס לקידמתו.
      א) מה מהירות הדיילת יחסית לכדה"א?
      ב) מהו הזמן הדרוש לדיילת לעבור את המטוס על-פי שעונה?
      ג) מהו הזמן הדרוש לדיילת לעבור את המטוס על-פי צופה בכדור הארץ?
      ד) בשעה 10:00 יצאה הדיילת מזנב המטוס עם עגלת חטיפים ו-0.3 לאחר מכן נצפה נוסע הממוקם 34 מטרים מקדמת המטוס פותח שקית בוטנים. האם יתכן שהדיילת היא זו שהביאה את השקית לנוסע (או שהנוסע הביא אותה בעצמו)?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_005.html

      יחסות

      א) קרן אור נעה אל עבר טיל הנע במהירות 0.6c יחסית לכדו"ה. הראה/י שמהירות קרן האור יחסית לטיל היא c.
      ב) קרן וחן רודפות אחרי אלעד. מהירותה של חן ביחס לקרן היא 0.2c. מהירותה של חן ביחס לאלעד היא 0.5c. מצא/י את המהירות של קרן ביחס לאלעד.

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_006.html

      התפרקות רדיואקטיבית

      גרעין רדיואקטיבי נמצא במנוחה במערכת המעבדה. הוא מתפרק לגרעין בעל מסת מנוחה ולקרינת (קרינה אלקטרומגנטית) בעלת אנרגיה במערכת המעבדה. בטא/י את הגדלים הבאים בעזרת ו- .
      א) מסת המנוחה של הגרעין .
      ב) מהירות הגרעין במערכת המעבדה.
      ג) תדירות הפוטון במערכת המנוחה של  

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_007.html

      התפרקות פיון

      נתון פיון הנמצא במנוחה במעבדה מתפרק למיואון (חלקיק מסיבי) ולניטרינו שהוא חלקיק חסר מסת מנוחה (הערה – במציאות הוא כנראה בעל מסת מנוחה קטנה מאוד): . נתון כי במערכת המנוחה של המיואון האנרגיה שלו היא 105.7 MeV, ואנרגיית הניטרינו היא 39.38 MeV.
      א) כמה MeV יש בג'אול אחד?
      ב) מה היא מהירות הניטרינו?
      ג) מה היא אנרגיית המנוחה של הפיון במערכת שלו? 

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_008.html

      יחסות


      צופה S רואה הבזק אור במרחק של 1.2 ק"צ ממקומו, והבזק נוסף 5 מילישניות אחרי ההבזק הראשון במרחק 480 מטרים ממנו.
      א) צופה 'S רואה את שני ההבזקים באותו מקום. מה מהירותו?
      ב) מנקודת המבט של 'S, איזה מאורע התרחש קודם?
      ג) מנקודת המבט של 'S, מהו הפרש הזמן בין שני המאורעות?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_009.html

      יחסות - פרדוקס האסם

      כיצד ניתן להכניס מוט באורך של 10 מטרים לתוך אסם באורך של מטר אחד, כאשר באסם יש שתי דלתות?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_010.html

      יחסות

      החללית Soneyahasut חלפה על פני כדו"ה, ושנייה וחצי לאחר מכן (במערכת כדו"ה) עברה החללית על פני הירח. כעשרים דקות (במערכת החללית) לאחר מכן שולחת החללית אות רדיו לכדו"ה.
           א) מה מהירות החללית, ומהו המרחק בין כדו"ה לירח במערכת החללית?
           ב) לאחר כמה דקות ( במערכת כדו"ה) יגיע האות לכדו"ה?
           ג) ברגע שהאות מגיע לכדו"ה הוא מוחזר לחללית. לאחר כמה זמן (במערכת החללית) יגיע האות לחללית?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_011.html sol

      דיילת במטוס

      מטוס הנוסעים הבא של אל על יהיה בעל אורך מנוחה וינוע במהירות 0.85c. בתוך המטוס יש דיילת הנעה במהירות 0.55c מזנב המטוס לקידמתו.
      א) מה מהירות הדיילת יחסית לכדה"א?
      ב) מהו הזמן הדרוש לדיילת לעבור את המטוס על-פי שעונה?
      ג) מהו הזמן הדרוש לדיילת לעבור את המטוס על-פי צופה בכדור הארץ?
      ד) בשעה 10:00 יצאה הדיילת מזנב המטוס עם עגלת חטיפים ו-0.3 לאחר מכן נצפה נוסע הממוקם 34 מטרים מקדמת המטוס פותח שקית בוטנים. האם יתכן שהדיילת היא זו שהביאה את השקית לנוסע (או שהנוסע הביא אותה בעצמו)?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_012.html

      אקוויוולנטיות מסה - אנרגיה

      האם לחלקיק חסר מסה יש תנע?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_013.html

      יחסות

      טיל A נע ימינה במהירות 0.6c, וטיל B נע שמאלה במהירות 0.8c (במערכת כדו"ה). מהי מהירותו של טיל B כפי שנמדד על ידי טיל A?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_014.html

      יחסות - אפקט דופלר

      טיל שיוט משדר אות בתדר f, תחנת אע"א מסוגלת לקלוט בתחום תדרים f+\Delta{f}, כאשר \frac{\Delta{f}}{f}=0.1. נתון כי הטיל נע אל עבר התחנה. מה צריכה להיות מהירותו של הטיל ע"מ שלא יקלט במכשירי התחנה?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_015.html

      יחסות - אקוויוולנטיות מסה - אנרגיה

      חלקיק מסיבי נע בכיוון \hat{x} ומתפרק לשני חלקיקים חסרי מסה. האחד נע בכיוון \hat{x}, והשני נע בכיוון -\hat{x} עם מחצית מהאנרגיה של החלקיק הראשון. מהי מהירותו של החלקיק המקורי?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_016.html

      עבירת תנועה - דופלר

      במהלך משפטו של עבריין תנועה (לכאורה) בגין נסיעה באור אדום, טען החשוד כי בשל אפקט דופלר האור ברמזור הוסח מאדום לירוק, ומכאן הוא זכאי.
      1. באיזו מהירות יש לנסוע כדי לקבל את האפקט הנ"ל?
      2. מה יהיה גזר הדין?  
      תדירות אורכי הגל:  ירוק :545nm,  אדום: 685nm


      CONTRIBUTIONS/e_87_4_017.html

      יחסות

      מהי האנרגיה המינימלית שצריכה להיות לפוטון הפוגע בפרוטון במנוחה, על מנת ליצור פיון (בנוסף לפרוטון המקורי)? M_p=938.3MeV\ ,M\pi=139.6MeV

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_018.html

      יחסות

      חלקיק A בעל אנרגיה כוללת EA ומסת מנוחה m0A נע במעבדה בכיוון \hat{x} . ברגע מסוים, מתפרק החלקיק לפוטון בעל אנרגיה Eph הנע בכיוון  \hat{y} ולחלקיק אחר B הנפלט בזווית θ מתחת לציר  \hat{x}. נתוני השאלה: EA, m0A, Eph, c.

      א) מהו התנע של חלקיק A לפני ההתפרקות?
      ב) מהו גודל התנע של חלקיק B?
      ג) מהי זווית הפיזור θ של החלקיק B?
      ד) מצא/י את מהירותה של מערכת ייחוס S' ביחס למעבדה שבה הפוטון נפלט בכיוון הנגדי לכיוון תנועתו של B.

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_019.html sol

      יחסות פרטית

      נתונים שלושת האירועים A, B, C הבאים על גבי תרשים x-ct. מצא/י:
      א) הפרש הזמן בין אירוע A לבין אירוע B במערכת ייחוס בה הם מתרחשים באותו מקום.
      ב) המרחק בין אירועים A, C במערכת בה הם מתרחשים סימולטנית.


      CONTRIBUTIONS/e_87_4_020.html

      יחסות

      החללית Soneyahasut חלפה על פני כדו"ה, ושתי שניות לאחר מכן (במערכת החללית) עברה החללית על פני הירח. כעשרים וחמש דקות (במערכת כדו"ה) לאחר מכן שולחת החללית אות רדיו לכדו"ה.
      א) מה מהירות החללית, ומהו המרחק בין כדו"ה לירח במערכת החללית?
      ב) לאחר כמה דקות מתחילת הטיסה, (במערכת החללית) יגיע האות לכדו"ה?
      ג) ברגע שהאות מגיע לכדו"ה הוא מוחזר לחללית. לאחר כמה זמן (במערכת החללית וכדו"ה) יגיע האות לחללית?

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_021.html

      יחסות

      הראה/י שגל אלקטרומגנטי  a^b \frac{\partial p}{\partial x} אינווריאנטי תחת טרנספורמציית לורנץ.

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_022.html sol

      יחסות פרטית

      א) הראה/י כי חלקיק חסר מסה לא יכול להתפרק לשני חלקיקים מסיביים. 
      ב) חלקיק חסר מסה מתפזר מחלקיק בעל מסה m. לאחר הפיזור החלקיק חסר המסה נע בכיוון מאונך לכיוון תנועתו המקורי. לפני הפיזור אנרגית החלקיק חסר המסה שווה לאנרגית המנוחה של החלקיק המסיבי. מהם התנעים של החלקיקים לאחר הפיזור? (יש לשים לב שמדובר כאן בבעיה דו מימדית.)

      CONTRIBUTIONS/e_87_4_023.html sol

      יחסות פרטית

      נתון תהליך בו חלקיק A פוגע בחלקיק B. השניים נעלמים ונוצר חלקיק C. ההתנגשות מתרחשת במימד אחד. המסה והאנרגיה של חלקיקים A, B נתונות במערכת המעבדה:  a^b \frac{\partial p}{\partial x}.
      א) מצא/י את מסת חלקיק C (a^b \frac{\partial p}{\partial x})ואת מהירותו.
      ב) מצא/י את מהירות מרכז המסה של חלקיקים A, B לפני ההתנגשות ואת מהירות מרכז המסה לאחר ההתנגשות.
      ג) מצא/י את האנרגיה ואת התנע של כל החלקיקים לפני ואחרי ההתנגשות במערכת מרכז המסה.

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_252.html
      ניסוי מיקלסון מורלי (Michelson–Morley experiment)
       
      בניסוי זה הניחו כי כדור הארץ נע בתוך חומר בשם "אתר". האתר נייח ואילו כדה"א נע במהירות v בניסוי זה נבנתה המערכת מיקלסון מורלי שהוסברה בשיעור. את החישובים יש לעשות ביחס לצופה חיצוני למערכת.
      א.   חשב את הפרשי הזמנים התנועה בין קרן אור נעה ממפצל הקרן למראה A
      וחזרה לבין קרן אור שנעה מהמפצל למראה B וחזרה. ( Δt=tA-tB)
      ב.  חשב את הפרש הדרכים האופטיות (הדרך שעברה הקרן)
      ג.  מה הפרש הפאזה בין הקרניים אם הפרש הדרכים האופטיות שווה לאורך גל λ
      מה הפרש הפאזה בין הקרניים עבור הפרש הדרכים האופטיות שחושב בסעיף ב ?

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_253.html sol

      יחסות

      אינשטיין הניח, בהתאם לניסויים, כי צופה במערכת ייחוס התמדית (מערכת הנעה בכיוון קבוע במהירות קבועה) בכלל לא יכול לגלות (בלי מידע מבחוץ) את המהירות שלו ובפרט לא יכול לגלות את המהירות שלו על ידי מדידת מהירות האור בריק, שהיאm/s  c = 3 × 108 לכל הצופים.
      1  
       
      א.     "שעון אינשטיין" שהותקן ברכבת שגובהה 300000 ק"מ.  בצד שמאל נראה השעון כפי שהוא נראה ברכבת:  כל מחזור הלוך ושוב של גל אור עובר 600,000 ק"מ ואורך 2 שניות.  בצד ימין נראה השעון כפי שהוא נראה על ידי צופה מהקרקע.  הרכבת נעה במהירות c0.75 יחסית לקרקע.  מהי הדרך שעושה גל האור במחזור אחד, על פי צופה זה?  כמה זמן אורך מחזור זה במערכת הייחוס של הקרקע, על פי ההנחה של אינשטיין? (לקטע וידיאו משעשע:
      www.youtube.com/watch?v=V7vpw4AH8QQ .)
       
      ב.       נניח ששתי רכבות זהות עוברות אחת על יד השנייה בכיוונים הפוכים, והצופה בתוך כל רכבת יכול להסתכל על השעון של הצופה שברכבת ממול.  נניח שכאשר ראשי הרכבות נפגשים, השעה לפי כל שעון הוא t=0.  מה יראו הצופים בזנבות הרכבות כשיפגשו?  האם השעונים יציגו אותה שעה?  אם לא, השעון של איזו רכבת יפגר?  האם יש כאן סתירה?
       
      ג.        מרצה מבולבל מנסה לתרץ את הקשר בין זמן לאורך על ידי הניסוי המחשבתי הבא:  צופה ברכבת הנוסעת במהירות v שולח קרן אור קדימה בעזרת פנס.  אורך הרכבת הוא L והצופה עומד בקצה האחורי שלה.  הזמן הדרוש לגל האור להגיע לקצה הקדמי הוא, כמובן, t’ = L/c.  במערכת הייחוס של הקרקע, על פי הנוסחה

      הקושרת בין פרק זמן t’ לצופה ברכבת לבין פרק זמן t לצופה מהקרקע, הזמן בין יצירת הגל ובליעתו הוא
      אבל הדרך שעשה גל האור בין יצירתו לבליעתו הוא L+vt במערכת הייחוס של הקרקע, ואם כן מהירות האור אינו c.  הפתרון האומלל של המרצה הוא שאורך הרכבת, במערכת הייחוס שבקרקע, אינו L כי אם αL.  מהו α?  הוכח\הוכיחי שמהירות האור שווה c אם 
      הסבר\הסבירי למרצה שפתרונו לוקה בכך שלפיו האורך של הרכבת הנצפה מהקרקע תלוי לא רק במהירותה של הרכבת אלא גם בכיוון התנועה שלה.

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_254.html

      התפרקות גרעינית

      אחד התהליכים המתרחשים בפצצת מימן ובכור תרמו-גרעיני הוא התנגשות של גרעין 3H1 (טריטיום) עם גרעין 2H1 (דאוטריום) ליצור גרעין 4He2 (הליום) אחד ועוד ניטרון אחד ועוד MeV 17.6 של אנרגיה.

      (ה- MeVאו מא"ו הוא יחידת אנרגיה שווה ל-1.602×10-13 J, כלומר 1 מא"ו = 1.602×10-13 ג'אול.)  הסימון  ZXA  מתפרש ככה:  X הוא סמל של יסוד,  Z הוא מספר הפרוטונים שבגרעין של היסוד ו-A הוא מספר הנוקלאונים (פרוטונים וניטרונים) שבגרעין.  (א)  הוכח\הוכיחי שתהליך זה שומר את מספר הניטרונים לחוד ומספר הפרוטונים לחוד.  (ב) מסת כל נוקלאון הינה בערך MeV/c2 940. איזה חלק של המסה המקורית נהפך לאנרגיה בתהליך זה?  (ג) חשב\חשבי את כמות האנרגיה (בג'אולים) המשתחררת מהיתוך של מספר שווה של גרעיני טריטיום ודאוטריום במסה כוללת של 10 גרם.  (ד) יחידה אחרת לאנרגיה היא הקילוטון, שווה ערך ל-1012 J ×4.184, שזהו בערך כמות האנרגיה המשתחררת בפיצוץ אלף קילוגרם של חומר נפץ.  בטא\י את התשובה לשאלה הקודמת בקילוטון.


      CONTRIBUTIONS/e_87_6_255.html

      תנע יחסותי

      נניח ששני חלקיקים זהים נעים על קו אחד במהירויות  שוות אבל בכיוונים הפוכים.  החלקיקים מתנגשים בהתנגשות אי-אלסתית לחלוטין ונוצר חלקיק אחר שלא נע.  בפיסיקה של ניוטון היינו מתארים את ההתנגשות כדלקמן:  התנע ההתחלתי הינו  
      mvmv =0  
      כאשר m הוא המסה של כל חלקיק.  כלומר, התנע הכולל לפני ואחרי ההתנגשות מתאפס.  (א) עכשיו נעבור למערכת ייחוס התמדית אחרת, הנע באותו ציר במהירות v ביחס למערכת הייחוס המקורית, ונצפה שוב בהתנגשות.  הוכח\הוכיחי שהמהירויות ההתחלתיות (לפי תורת היחסות) הן 0 ו-

      והמהירות הסופית (של החלקיק המורכב) היא v.  (ב)  על פי ניוטון, התנע של חלקיק הוא מכפלת המסה והמהירות שלו.  הוכח\הוכיחי שלפי ההגדרה הזאת, התנע הכללי אינו נשמר בהתנגשות.  (ג) כעת יש להשתמש בהגדרה היחסותית של תנע (מסה כפול מהירות כפול γ) ולהוכיח שהתנע הכללי בהתחלה הוא
        והתנע בסוף הוא  
       
      כאשרM  הוא המסה של החלקיק המורכב.  אם נציב M=2m עדיין לא נקבל שימור תנע!  מה קורה?  התשובה היא שהמסה של החלקיק המורכב אינה m2 אלא γm2, כאשר , משום שהיא כוללת גם את האנרגיה הקינטית ההתחלתית של החלקיקים ולא רק את המסה שלהם.  הוכח\הוכיחי עכשיו כי התנע נשמר בהתנגשות.

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_256.html

      התפרקות אורניום

      (א) הגרעין 238U92 מתפרק דרך התפרקויות α, β, ו-γ.   (נזניח תהליכים אחרים, שהם נדירים ביותר.)  אחרי סדרה של התפרקויות, במשך זמן עצום, הגרעין הסופי המתקבל הוא אחד האיזוטופים היציבים של עופרת, כלומר 206Pb82  או  207Pb82  או  208Pb82  או  209Pb82.  איזה איזוטופ מתקבל, ומדוע רק אחד מהם?  
      (ב) כמה התפרקויות מסוג α אירעו בדרך, וכמה מסוג β? 
      (ג) באופן כללי, מהי המגמה של פחת המסה של גרעיני האב וגרעיני הבת בתהליכי התפרקות, וכיצד היא קשורה לנוסחת אינשטיין E=mc2?

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_257.html

      זמן מחצית החיים

      זמן מחצית-החיים של  226Ra88  (רדיום-226) הינו 1622 שנה.  אילו מרי ופייר קירי היו מכינים לבנה במסה של קילוגרם מרדיום-226 טהור בשנת 1898 (השנה בה הם גילו את היסוד) וגונזים אותה בכספת שמורה היטב עד היום, מה הייתה המסה של הרדיום  שבלבנה היום?  

      CONTRIBUTIONS/e_87_6_258.html

      האפקט הפוטואלקטרי

      לוויין הנמצא במסלול סביב כדור הארץ נטען במטען חשמלי לא רצוי, וזאת כתוצאה מהאפקט הפוטואלקטרי (כאשר אור השמש  משחרר אלקטרונים מפניו של הלוויין).  הפתרון המקובל לבעיה זאת הוא ציפוי גוף הלוויין בפלטינה.  כדי לשחרר כל אלקטרון מתוך פלטינה דרוש לפחות E =5.32 eV באנרגיה.  מצא\י את אורך הגל הארוך ביותר של אור השמש המסוגל לגרום לפליטת אלקטרונים מפני השטח של הלוויין (אחרי ציפוי בפלטינה).  

      CONTRIBUTIONS/e_90_2_001.html

      התפרקות טריטיום

      1. כמה הליום-3 נוצר מהתפרקות של טריטיום לאחר 8 שנים?
        T_{1/2}=12.26 y
        _1H^{3.01605}\;\;\rightarrow\;\;_2He^{3.01603}+e^-+\overline \nu
      2. מה היא האנרגיה המכסימאלית של האלקטרון בהתפרקות β של טריטיום?
      3. מה היא מהירותו של האלקטרון ?

      CONTRIBUTIONS/e_90_2_002.html

      התפרקות גרעינית

      1. מה היא מהירותו של חלקיק \alpha בהתפרקות של Ra^{226} (בהזנחת הרתע) ?
      2. מה היא מהירותו של חלקיק \alpha בהתפרקות של Ra^{226} (ללא הזנחת רתע)
      3. כמה אנרגיה משתחררת בפיצוץ גרעיני של 1 ק"ג של אורניום ?
      Ra^{226.0254}\;\;\rightarrow\;\;Rn^{222.0176}+\alpha
      n+U^{235.0439}\;\;\rightarrow\;\;Ba^{143.9229}+Kr^{88.9176}+3n

      CONTRIBUTIONS/e_90_2_003.html

      מציאת חלקיקים

      מצא/י בתגובות הבאות את החלקיק X.
      1. \overline{K}^- + p \;\;\rightarrow\;\; K^++X
      2. \pi^-+p \;\;\rightarrow\;\; K^++X
      3. p+p \;\;\rightarrow\;\;  \pi^++n+\Lambda^0+X

      CONTRIBUTIONS/e_90_2_004.html

      מציאת חלקיקים

      מצא/י את X ואת אורך הגל שלו:
      \Sigma^0 \;\;\rightarrow\;\; \Lambda^0+X